Red de enteros

Grupo reticular en el espacio euclidiano cuyos puntos son n-tuplas enteras

Aproximaciones de pentagramas regulares con vértices en una red cuadrada con coordenadas indicadas

Los aproximantes racionales de valores irracionales se pueden asignar a puntos que se encuentran cerca de líneas que tienen gradientes correspondientes a los valores.

En matemáticas , la red entera n -dimensional (o red cúbica ), denotada ⁠ ⁠ , es la red en el espacio euclidiano ⁠ ⁠ cuyos puntos de red son n -tuplas de números enteros . La red entera bidimensional también se denomina red cuadrada o red de cuadrícula. ⁠ ⁠ es el ejemplo más simple de una red raíz . La red entera es una red unimodular impar . ${\displaystyle \mathbb {Z} ^{n}}$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$ ${\displaystyle \mathbb {Z} ^{n}}$

Grupo de automorfismos

El grupo de automorfismos (o grupo de congruencias ) de la red entera consiste en todas las permutaciones y cambios de signo de las coordenadas, y es de orden 2 ⁿ  n !. Como grupo matricial está dado por el conjunto de todas las matrices de permutación con signo n  ×  n . Este grupo es isomorfo al producto semidirecto

${\displaystyle (\mathbb {Z} _{2})^{n}\rtimes S_{n}}$

donde el grupo simétrico S _n actúa sobre ( Z ₂ ) ⁿ por permutación (este es un ejemplo clásico de un producto de corona ).

Para la red cuadrada, este es el grupo del cuadrado , o grupo diedro , de orden 8; para la red cúbica tridimensional, obtenemos el grupo del cubo , o grupo octaédrico , de orden 48.

Geometría diofántica

En el estudio de la geometría diofántica , el entramado cuadrado de puntos con coordenadas enteras se suele denominar plano diofántico . En términos matemáticos, el plano diofántico es el producto cartesiano del anillo de todos los números enteros . El estudio de las figuras diofánticas se centra en la selección de nodos en el plano diofántico de manera que todas las distancias por pares sean números enteros. ${\displaystyle \scriptstyle \mathbb {Z} \times \mathbb {Z} }$ ${\displaystyle \scriptstyle \mathbb {Z} }$

Geometría gruesa

En geometría básica , la red entera es aproximadamente equivalente al espacio euclidiano .

Teorema de Pick

yo = 7 , b = 8 , A = yo +b/2⁠ − 1 = 10

El teorema de Pick , descrito por primera vez por Georg Alexander Pick en 1899, proporciona una fórmula para el área de un polígono simple con todos los vértices en la red entera bidimensional, en términos del número de puntos enteros dentro de él y en su límite. ^[1]

Sea el número de puntos enteros en el interior del polígono y sea el número de puntos enteros en su borde (incluyendo tanto los vértices como los puntos a lo largo de los lados). Entonces el área de este polígono es: ^[2] El ejemplo mostrado tiene puntos interiores y puntos de borde, por lo que su área es de unidades cuadradas. ${\displaystyle i}$ ${\displaystyle b}$ ${\displaystyle A}$ $${\displaystyle A=i+{\frac {b}{2}}-1.}$$ ${\displaystyle i=7}$ ${\displaystyle b=8}$ ${\displaystyle A=7+{\tfrac {8}{2}}-1=10}$

Véase también

• Cuadrícula regular

Referencias

1. Elegir, Georg (1899). "Geometrisches zur Zahlenlehre". Sitzungsberichte des deutschen naturwissenschaftlich-medicinischen Vereines für Böhmen "Lotos" en Praga . (Neue Folge). 19 : 311–319. JFM  33.0216.01.Banco Cite:47270
2. Aigner, Martin ; Ziegler, Günter M. (2018). "Tres aplicaciones de la fórmula de Euler: el teorema de Pick". Demostraciones de EL LIBRO (6.ª ed.). Springer. págs. 93–94. doi :10.1007/978-3-662-57265-8. ISBN 978-3-662-57265-8.

Lectura adicional

• Olds, CD ; Lax, Anneli ; Davidoff, Giuliana (2000). La geometría de los números . New Mathematical Library. Vol. 41. Asociación Matemática de Estados Unidos. ISBN 0-88385-643-3.