La siguiente es una lista de fórmulas importantes que involucran la constante matemática π . Muchas de estas fórmulas se pueden encontrar en el artículo Pi o en el artículo Aproximaciones de π .
Geometría euclidiana
![{\displaystyle \pi ={\frac {C}{d}}={\frac {C}{2r}}}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
donde C es la circunferencia de un círculo , d es el diámetro y r es el radio . De manera más general,
![{\displaystyle \pi ={\frac {L}{w}}}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
donde L y w son, respectivamente, el perímetro y el ancho de cualquier curva de ancho constante .
![{\displaystyle A=\pi r^{2}}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
donde A es el área de un círculo . De manera más general,
![{\displaystyle A=\pi ab}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
donde A es el área encerrada por una elipse con semieje mayor a y semieje menor b .
![{\displaystyle C={\frac {2\pi }{\operatorname {agm} (a,b)}}\left(a_{1}^{2}-\sum _{n=2}^{\infty }2^{n-1}(a_{n}^{2}-b_{n}^{2})\right)}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
donde C es la circunferencia de una elipse con semieje mayor a y semieje menor b y son las iteraciones aritméticas y geométricas de , la media aritmético-geométrica de a y b con los valores iniciales y .![Estilo de visualización a_{n},b_{n}}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle \nombreoperador {agm} (a,b)}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle a_{0}=a}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![Estilo de visualización b_{0}=b](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle A=4\pi r^{2}}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
donde A es el área entre la bruja de Agnesi y su línea asintótica; r es el radio del círculo que la define.
![{\displaystyle A={\frac {\Gamma (1/4)^{2}}{2{\sqrt {\pi }}}}r^{2}={\frac {\pi r^{2}}{\operatorname {agm} (1,1/{\sqrt {2}})}}}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
donde A es el área de una ardilla con radio menor r , es la función gamma .![{\estilo de visualización \Gamma}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle A=(k+1)(k+2)\pi r^{2}}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
donde A es el área de un epicicloide con el círculo más pequeño de radio r y el círculo más grande de radio kr ( ), asumiendo que el punto inicial se encuentra en el círculo más grande.![{\displaystyle k\in \mathbb {N}}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle A={\frac {(-1)^{k}+3}{8}}\pi a^{2}}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
donde A es el área de una rosa con frecuencia angular k ( ) y amplitud a .![{\displaystyle k\in \mathbb {N}}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle L={\frac {\Gamma (1/4)^{2}}{\sqrt {\pi }}}c={\frac {2\pi c}{\operatorname {agm} (1,1/{\sqrt {2}})}}}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
donde L es el perímetro de la lemniscata de Bernoulli con distancia focal c .
![{\displaystyle V={4 \sobre 3}\pi r^{3}}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
donde V es el volumen de una esfera y r es el radio.
![{\displaystyle SA=4\pi r^{2}}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
donde SA es el área de la superficie de una esfera y r es el radio.
![{\displaystyle H={1 \sobre 2}\pi ^{2}r^{4}}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
donde H es el hipervolumen de una 3-esfera y r es el radio.
![{\displaystyle SV=2\pi ^{2}r^{3}}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
donde SV es el volumen superficial de una 3-esfera y r es el radio.
Polígonos convexos regulares
Suma S de ángulos internos de un polígono regular convexo con n lados:
![{\displaystyle S=(n-2)\pi}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
Área A de un polígono regular convexo con n lados y longitud de lado s :
![{\displaystyle A={\frac {ns^{2}}{4}}\cot {\frac {\pi }{n}}}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
Radio r de un polígono convexo regular con n lados y longitud lateral s :
![{\displaystyle r={\frac {s}{2}}\cot {\frac {\pi }{n}}}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
Radio circunscrito R de un polígono regular convexo de n lados y longitud lateral s :
![{\displaystyle R={\frac {s}{2}}\csc {\frac {\pi }{n}}}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
Física
![{\displaystyle \Lambda ={{8\pi G} \sobre {3c^{2}}}\rho }](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle \Delta x\,\Delta p\geq {\frac {h}{4\pi }}}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle R_{\mu \nu }-{\frac {1}{2}}g_{\mu \nu }R+\Lambda g_{\mu \nu }={8\pi G \over c^{4 }}T_{\mu \nu }}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle F={\frac {|q_{1}q_{2}|}{4\pi \varepsilon _{0}r^{2}}}}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle \mu _{0}\aproximadamente 4\pi \cdot 10^{-7}\,\mathrm {N} /\mathrm {A} ^{2}}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
- Periodo aproximado de un péndulo simple de pequeña amplitud:
![{\displaystyle T\approx 2\pi {\sqrt {\frac {L}{g}}}}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
- Período exacto de un péndulo simple con amplitud ( es la media aritmético-geométrica ):
![{\displaystyle \theta_{0}}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle \nombre del operador {agm} }](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle T={\frac {2\pi }{\operatorname {agm} (1,\cos(\theta _{0}/2))}}{\sqrt {\frac {L}{g}}}}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
- Periodo de un sistema resorte-masa con constante de resorte y masa :
![{\estilo de visualización k}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\estilo de visualización m}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle T=2\pi {\sqrt {\frac {m}{k}}}}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle {\frac {R^{3}}{T^{2}}}={\frac {GM}{4\pi ^{2}}}}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle F={\frac {\pi ^{2}EI}{L^{2}}}}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
Un rompecabezas que involucra "bolas de billar que chocan":
![{\displaystyle \lpiso {b^{N}\pi }\rpiso }](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
es el número de colisiones realizadas (en condiciones ideales, perfectamente elásticas sin fricción) por un objeto de masa m inicialmente en reposo entre una pared fija y otro objeto de masa b 2 N m , cuando es golpeado por el otro objeto. [1] (Esto da los dígitos de π en base b hasta N dígitos más allá del punto de la base).
Fórmulas que dan como resultadoπ
Integrales
(integrando dos mitades para obtener el área del círculo unitario)![{\displaystyle y(x)={\sqrt {1-x^{2}}}}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle \int _{-\infty }^{\infty }\operatorname {sech} x\,dx=\pi }](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle \int _{-\infty }^{\infty }\int _{t}^{\infty }e^{-1/2t^{2}-x^{2}+xt}\,dx\,dt=\int _{-\infty }^{\infty }\int _{t}^{\infty }e^{-t^{2}-1/2x^{2}+xt}\,dx\,dt=\pi }](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle \int _{-1}^{1}{\frac {dx}{\sqrt {1-x^{2}}}}=\pi }](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
[2] [nota 2] (véase también distribución de Cauchy )
(ver integral de Dirichlet )
(ver integral gaussiana ).
(cuando el camino de integración gira una vez en sentido antihorario alrededor de 0. Véase también la fórmula integral de Cauchy ).
[3]
(ver también Prueba de que 22/7 excede π ).
![{\displaystyle \int _{0}^{1}{x^{2}(1+x)^{4} \sobre 1+x^{2}}\,dx=\pi -{17 \sobre 15}}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle \int _{0}^{\infty }{\frac {x^{\alpha -1}}{x+1}}\,dx={\frac {\pi }{\sin \pi \alpha }},\quad 0<\alpha <1}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
(donde es la media aritmético-geométrica ; [4] véase también integral elíptica )![{\displaystyle \nombre del operador {agm} }](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
Téngase en cuenta que con integrandos simétricos , las fórmulas de la forma también se pueden traducir a fórmulas .![{\displaystyle f(-x)=f(x)}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\textstyle \int _{-a}^{a}f(x)\,dx}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\textstyle 2\int _{0}^{a}f(x)\,dx}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
Serie infinita eficiente
(ver también Factorial doble )
![{\displaystyle \sum_{k=0}^{\infty} {\frac {k!}{2^{k}(2k+1)!!}}={\frac {2\pi} {3{\sqrt {3}}}}}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle \sum _{k=0}^{\infty }{\frac {k!\,(2k)!\,(25k-3)}{(3k)!\,2^{k}}} ={\frac {\pi }{2}}}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
(ver algoritmo de Chudnovsky )
(ver Srinivasa Ramanujan , serie Ramanujan–Sato )
Los siguientes son eficientes para calcular dígitos binarios arbitrarios de π :
[5]
(ver fórmula de Bailey-Borwein-Plouffe )
![{\displaystyle \sum_{k=0}^{\infty} {\frac {1}{16^{k}}}({\frac {8}{8k+2}}+{\frac {4}{8k+3}}+{\frac {4}{8k+4}}-{\frac {1}{8k+7}})=2\pi}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle \sum _{k=0}^{\infty }{\frac {{(-1)}^{k}}{2^{10k}}}\left(-{\frac {2^{5}}{4k+1}}-{\frac {1}{4k+3}}+{\frac {2^{8}}{10k+1}}-{\frac {2^{6}}{10k+3}}-{\frac {2^{2}}{10k+5}}-{\frac {2^{2}}{10k+7}}+{\frac {1}{10k+9}}\right)=2^{6}\pi }](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
Serie de Plouffe para calcular dígitos decimales arbitrarios de π : [6]
![{\displaystyle \sum _{k=1}^{\infty }k{\frac {2^{k}k!^{2}}{(2k)!}}=\pi +3}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
Otras series infinitas
(ver también el problema de Basilea y la función zeta de Riemann )
![{\displaystyle \zeta (4)={\frac {1}{1^{4}}}+{\frac {1}{2^{4}}}+{\frac {1}{3^{4 }}}+{\frac {1}{4^{4}}}+\cdots ={\frac {\pi ^{4}}{90}}}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
, donde B 2 n es un número de Bernoulli .
[7]
![{\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }{\frac {7^{n}-1}{8^{n}}}\,\zeta (n+1)=(1+{ \sqrt{2}})\pi}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle \sum _{n=2}^{\infty }{\frac {2(3/2)^{n}-3}{n}}(\zeta (n)-1)=\ln \ pi }](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty}\zeta(2n){\frac {x^{2n}}{n}}=\ln {\frac {\pix}{\sin \pix}},\quad 0<|x|<1}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
(ver fórmula de Leibniz para pi )
( Newton , Segunda carta a Oldenburg , 1676) [8]
( Serie Madhava )
![{\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }{\frac {(-1)^{n+1}}{n^{2}}}={\frac {1}{1^{2}}}-{\frac {1}{2^{2}}}+{\frac {1}{3^{2}}}-{\frac {1}{4^{2}}}+\cdots ={\frac {\pi ^{2}}{12}}}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{(2n)^{2}}}={\frac {1}{2^{2}}}+{\frac {1}{4^{2}}}+{\frac {1}{6^{2}}}+{\frac {1}{8^{2}}}+\cdots ={\frac {\pi ^{2}}{24}}}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle \sum _{n=0}^{\infty }\left({\frac {1}{2n+1}}\right)^{2}={\frac {1}{1^{2}}}+{\frac {1}{3^{2}}}+{\frac {1}{5^{2}}}+{\frac {1}{7^{2}}}+\cdots ={\frac {\pi ^{2}}{8}}}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle \sum _{n=0}^{\infty }\left({\frac {(-1)^{n}}{2n+1}}\right)^{3}={\frac {1}{1^{3}}}-{\frac {1}{3^{3}}}+{\frac {1}{5^{3}}}-{\frac {1}{7^{3}}}+\cdots ={\frac {\pi ^{3}}{32}}}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle \sum _{n=0}^{\infty }\left({\frac {1}{2n+1}}\right)^{4}={\frac {1}{1^{4}}}+{\frac {1}{3^{4}}}+{\frac {1}{5^{4}}}+{\frac {1}{7^{4}}}+\cdots ={\frac {\pi ^{4}}{96}}}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle \sum _{n=0}^{\infty }\left({\frac {(-1)^{n}}{2n+1}}\right)^{5}={\frac {1}{1^{5}}}-{\frac {1}{3^{5}}}+{\frac {1}{5^{5}}}-{\frac {1}{7^{5}}}+\cdots ={\frac {5\pi ^{5}}{1536}}}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle \sum _{n=0}^{\infty }\left({\frac {1}{2n+1}}\right)^{6}={\frac {1}{1^{6}}}+{\frac {1}{3^{6}}}+{\frac {1}{5^{6}}}+{\frac {1}{7^{6}}}+\cdots ={\frac {\pi ^{6}}{960}}}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
En general,
![{\displaystyle \sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{n}}{(2n+1)^{2k+1}}}=(-1)^{k}{\frac {E_{2k}}{2(2k)!}}\left({\frac {\pi }{2}}\right)^{2k+1},\quad k\in \mathbb {N} _{0}}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
donde es el ésimo número de Euler . [9]![Estilo de visualización E_{2k}}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\estilo de visualización 2k}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle \sum _{n=0}^{\infty }{\binom {\frac {1}{2}}{n}}{\frac {(-1)^{n}}{2n+1}}=1-{\frac {1}{6}}-{\frac {1}{40}}-\cdots ={\frac {\pi }{4}}}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle \sum _{n=0}^{\infty }{\frac {1}{(4n+1)(4n+3)}}={\frac {1}{1\cdot 3}}+{\frac {1}{5\cdot 7}}+{\frac {1}{9\cdot 11}}+\cdots ={\frac {\pi }{8}}}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
(ver coeficientes de Gregory )
(donde es el factorial ascendente ) [10]![Estilo de visualización (x)_{n}}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
( Serie Nilakantha )
(donde está el n -ésimo número de Fibonacci )![Estilo de visualización F_{n}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
(donde es la función suma de divisores )![{\estilo de visualización \sigma}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
(donde es el número de factores primos de la forma de ) [11] [12]![{\displaystyle \épsilon (n)}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle p\equiv 1\,(\mathrm {mod} \,4)}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\estilo de visualización n}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
(donde es el número de factores primos de la forma de ) [13]![{\displaystyle \varepsilon (n)}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle p\equiv 3\,(\mathrm {mod} \,4)}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\estilo de visualización n}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle \pi =\sum _{n=-\infty }^{\infty }{\frac {(-1)^{n}}{n+1/2}}}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
[14]
Las dos últimas fórmulas son casos especiales de
![{\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {\pi }{\sin \pi x}}&=\sum _{n=-\infty }^{\infty }{\frac {(-1)^{n}}{n+x}}\\\left({\frac {\pi }{\sin \pi x}}\right)^{2}&=\sum _{n=-\infty }^{\infty }{\frac {1}{(n+x)^{2}}}\end{aligned}}}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
que generan infinitas fórmulas análogas para cuando![{\estilo de visualización \pi}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle x\in \mathbb {Q} \setminus \mathbb {Z} .}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
Aquí se dan algunas fórmulas que relacionan π con los números armónicos . Otras series infinitas que involucran π son: [15]
donde es el símbolo de Pochhammer para el factorial ascendente. Véase también la serie de Ramanujan-Sato .![Estilo de visualización (x)_{n}}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
Fórmulas de tipo maquinista
![{\displaystyle {\frac {\pi }{4}}=\arctan 1}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle {\frac {\pi }{4}}=\arctan {\frac {1}{2}}+\arctan {\frac {1}{3}}}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle {\frac {\pi }{4}}=2\arctan {\frac {1}{2}}-\arctan {\frac {1}{7}}}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle {\frac {\pi }{4}}=2\arctan {\frac {1}{3}}+\arctan {\frac {1}{7}}}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
(la fórmula original de Machin )
![{\displaystyle {\frac {\pi }{4}}=5\arctan {\frac {1}{7}}+2\arctan {\frac {3}{79}}}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle {\frac {\pi }{4}}=6\arctan {\frac {1}{8}}+2\arctan {\frac {1}{57}}+\arctan {\frac {1}{239}}}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle {\frac {\pi }{4}}=12\arctan {\frac {1}{49}}+32\arctan {\frac {1}{57}}-5\arctan {\frac {1}{239}}+12\arctan {\frac {1}{110443}}}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle {\frac {\pi }{4}}=44\arctan {\frac {1}{57}}+7\arctan {\frac {1}{239}}-12\arctan {\frac {1}{682}}+24\arctan {\frac {1}{12943}}}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
Productos infinitos
(Euler)- donde los numeradores son los primos impares; cada denominador es el múltiplo de cuatro más cercano al numerador.
![{\displaystyle {\frac {{\sqrt {3}}\pi }{6}}=\left(\displaystyle \prod _{p\equiv 1{\pmod {6}} \atop p\in \mathbb {P} }{\frac {p}{p-1}}\right)\cdot \left(\displaystyle \prod _{p\equiv 5{\pmod {6}} \atop p\in \mathbb {P} }{\frac {p}{p+1}}\right)={\frac {5}{6}}\cdot {\frac {7}{6}}\cdot {\frac {11}{12}}\cdot {\frac {13}{12}}\cdot {\frac {17}{18}}\cdots }](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
(ver también producto Wallis )
(otra forma de producto de Wallis)
Fórmula de Viète :
![{\displaystyle {\frac {2}{\pi }}={\frac {\sqrt {2}}{2}}\cdot {\frac {\sqrt {2+{\sqrt {2}}}}{2}}\cdot {\frac {\sqrt {2+{\sqrt {2+{\sqrt {2}}}}}}{2}}\cdot \cdots }](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
Una fórmula de producto doble infinito que involucra la secuencia de Thue-Morse :
![{\displaystyle {\frac {\pi }{2}}=\prod _{m\geq 1}\prod _{n\geq 1}\left({\frac {(4m^{2}+n-2)(4m^{2}+2n-1)^{2}}{4(2m^{2}+n-1)(4m^{2}+n-1)(2m^{2}+n)}}\right)^{\epsilon _{n}},}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
- donde y es la secuencia Thue-Morse (Tóth 2020).
![{\displaystyle \epsilon_{n}=(-1)^{t_{n}}}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle t_{n}}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
Fórmulas de arcotangente
![{\displaystyle {\frac {\pi }{2^{k+1}}}=\arctan {\frac {\sqrt {2-a_{k-1}}}{a_{k}}},\qquad \qquad k\geq 2}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle {\frac {\pi }{4}}=\sum _{k\geq 2}\arctan {\frac {\sqrt {2-a_{k-1}}}{a_{k}}},}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
donde tal que .![{\displaystyle a_{k}={\sqrt {2+a_{k-1}}}}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle a_{1}={\sqrt {2}}}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle {\frac {\pi }{2}}=\sum _{k=0}^{\infty}\arctan {\frac {1}{F_{2k+1}}}=\arctan {\frac {1}{1}}+\arctan {\frac {1}{2}}+\arctan {\frac {1}{5}}+\arctan {\frac {1}{13}}+\cdots }](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
¿Dónde está el k -ésimo número de Fibonacci?![Estilo de visualización F_ {k}}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle \pi =\arctan a+\arctan b+\arctan c}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
siempre que y , , sean números reales positivos (véase Lista de identidades trigonométricas ). Un caso especial es![{\displaystyle a+b+c=abc}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\estilo de visualización a}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\estilo de visualización b}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\estilo de visualización c}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle \pi =\arctan 1+\arctan 2+\arctan 3.}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
Funciones complejas
( Identidad de Euler )
Las siguientes equivalencias son verdaderas para cualquier complejo :![{\estilo de visualización z}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle e^{z}\in \mathbb {R} \leftrightarrow \Im z\in \pi \mathbb {Z} }](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
[16]
También
![{\displaystyle {\frac {1}{e^{z}-1}}=\lim _{N\to \infty }\sum _{n=-N}^{N}{\frac {1}{z-2\pi in}}-{\frac {1}{2}},\quad z\in \mathbb {C} .}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
Supongamos que una red está generada por dos períodos . Definimos los cuasi-períodos de esta red por y donde es la función zeta de Weierstrass ( y de hecho son independientes de ). Entonces los períodos y los cuasi-períodos están relacionados por la identidad de Legendre :
![{\displaystyle \omega _ {1}, \ omega _ {2}}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle \eta _{1}=\zeta (z+\omega _{1};\Omega )-\zeta (z;\Omega )}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle \eta _{2}=\zeta (z+\omega _{2};\Omega )-\zeta (z;\Omega )}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\estilo de visualización \zeta}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![estilo de visualización {\eta _{1}}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![estilo de visualización {\eta _{2}}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\estilo de visualización z}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle \eta _{1}\omega _{2}-\eta _{2}\omega _{1}=2\pi i.}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
Fracciones continuas
[17]
( Ramanujan , es la constante lemniscata ) [18]![{\estilo de visualización \varpi}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
[17]
![{\displaystyle \pi ={\cfrac {4}{1+{\cfrac {1^{2}}{3+{\cfrac {2^{2}}{5+{\cfrac {3^{2} }{7+{\cfrac {4^{2}}{9+\ddots }}}}}}}}}}}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle 2\pi ={6+{\cfrac {2^{2}}{12+{\cfrac {6^{2}}{12+{\cfrac {10^{2}}{12+{ \cfrac {14^{2}}{12+{\cfrac {18^{2}}{12+\ddots }}}}}}}}}}}}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle \pi =4-{\cfrac {2}{1+{\cfrac {1}{1-{\cfrac {1}{1+{\cfrac {2}{1-{\cfrac {2} {1+{\cfrac {3}{1-{\cfrac {3}{\ddots }}}}}}}}}}}}}}}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
Para obtener más información sobre la cuarta identidad, consulte la fórmula de fracción continua de Euler .
(Véase también Fracción continua y Fracción continua generalizada .)
Algoritmos iterativos
![{\displaystyle a_{0}=1,\,a_{n+1}=\left(1+{\frac {1}{2n+1}}\right)a_{n},\,\pi =\lim _{n\to \infty }{\frac {a_{n}^{2}}{n}}}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
(estrechamente relacionada con la fórmula de Viète)
(donde es la entrada h+1-ésima del código Gray de m bits , ) [19]![estilo de visualización g_{m,h+1}}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle h\in \left\{0,1,\ldots ,2^{m}-1\right\}}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
(convergencia cuadrática) [20]
(convergencia cúbica) [21]
( Algoritmo de Arquímedes , véase también media armónica y media geométrica ) [22]
Para algoritmos más iterativos, consulte el algoritmo de Gauss-Legendre y el algoritmo de Borwein .
Asintóticos
(tasa de crecimiento asintótico de los coeficientes binomiales centrales )
(tasa de crecimiento asintótica de los números catalanes )
( Aproximación de Stirling )
![{\displaystyle \log n!\simeq \left(n+{\frac {1}{2}}\right)\log n-n+{\frac {\log 2\pi }{2}}}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
(donde está la función totiente de Euler )![{\estilo de visualización \varphi}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle \sum_{k=1}^{n}{\frac {\varphi (k)}{k}}\sim {\frac {6n}{\pi ^{2}}}}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
El símbolo significa que la relación entre el lado izquierdo y el lado derecho tiende a uno como .![{\estilo de visualización \sim}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle n\to \infty}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
El símbolo significa que la diferencia entre el lado izquierdo y el lado derecho tiende a cero cuando .![{\estilo de visualización \simeq}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle n\to \infty}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
Inversiones hipergeométricas
Siendo la función hipergeométrica :![Estilo de visualización {}_{2}F_{1}}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle \sum_{n=0}^{\infty}r_{2}(n)q^{n}={}_{2}F_{1}\left({\frac {1}{2}},{\frac {1}{2}},1,z\right)}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
dónde
![{\displaystyle q=\exp \left(-\pi {\frac {{}_{2}F_{1}(1/2,1/2,1,1-z)}{{}_{2}F_{1}(1/2,1/2,1,z)}}\right),\quad z\in \mathbb {C} \setminus \{0,1\}}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
y es la función suma de dos cuadrados .![estilo de visualización r_{2}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
Similarmente,
![{\displaystyle 1+240\sum _{n=1}^{\infty }\sigma _{3}(n)q^{n}={}_{2}F_{1}\left({\frac {1}{6}},{\frac {5}{6}},1,z\right)^{4}}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
dónde
![{\displaystyle q=\exp \left(-2\pi {\frac {{}_{2}F_{1}(1/6,5/6,1,1-z)}{{}_{2}F_{1}(1/6,5/6,1,z)}}\right),\quad z\in \mathbb {C} \setminus \{0,1\}}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
y es una función divisora .![estilo de visualización {\displaystyle \sigma _{3}}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
Se pueden dar más fórmulas de esta naturaleza, como lo explica la teoría de Ramanujan de funciones elípticas para bases alternativas.
Quizás las inversiones hipergeométricas más notables son los dos ejemplos siguientes, que involucran la función tau de Ramanujan y los coeficientes de Fourier del invariante J ( OEIS : A000521 ):![{\estilo de visualización \tau}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle \mathrm {j}}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle \sum_{n=-1}^{\infty}\mathrm {j}_{n}q^{n}=256{\dfrac {(1-z+z^{2})^{3}}{z^{2}(1-z)^{2}}},}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }\tau (n)q^{n}={\dfrac {z^{2}(1-z)^{2}}{256}}{}_{2}F_{1}\left({\frac {1}{2}},{\frac {1}{2}},1,z\right)^{12}}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
donde en ambos casos
![{\displaystyle q=\exp \left(-2\pi {\frac {{}_{2}F_{1}(1/2,1/2,1,1-z)}{{}_{2}F_{1}(1/2,1/2,1,z)}}\right),\quad z\in \mathbb {C} \setminus \{0,1\}.}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
Además, al expandir la última expresión como una serie de potencias en
![{\displaystyle {\dfrac {1}{2}}{\dfrac {1-(1-z)^{1/4}}{1+(1-z)^{1/4}}}}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
y estableciendo , obtenemos una serie rápidamente convergente para : [nota 3]![{\displaystyle z=1/2}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle e^{-2\pi}}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle e^{-2\pi }=w^{2}+4w^{6}+34w^{10}+360w^{14}+4239w^{18}+\cdots,\quad w={ \dfrac {1}{2}}{\dfrac {2^{1/4}-1}{2^{1/4}+1}}.}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
Misceláneas
(Fórmula de reflexión de Euler, ver función Gamma )
(la ecuación funcional de la función zeta de Riemann)
![{\displaystyle e^{-\zeta '(0)}={\sqrt {2\pi }}}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
(donde es la función zeta de Hurwitz y la derivada se toma con respecto a la primera variable)![{\displaystyle \zeta(s,a)}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
(ver también función Beta )
(donde agm es la media aritmético-geométrica )
(donde y son las funciones theta de Jacobi [23] )![{\displaystyle \theta_{2}}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![estilo de visualización {\theta_{3}}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
(debido a Gauss , [24] es la constante lemniscata )![{\estilo de visualización \varpi}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
(donde está la función N de Gauss )![{\displaystyle \nombre del operador {N} }](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
(donde es el valor principal del logaritmo complejo ) [nota 4]![{\displaystyle \operatorname {Registro} }](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
(donde es el resto de la división de n por k )![{\textstyle n{\bmod {k}}}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
(sumando el área de un círculo)
( Suma de Riemann para evaluar el área del círculo unitario)
(combinando la aproximación de Stirling con el producto de Wallis)
(donde es la función lambda modular ) [25] [nota 5]![{\estilo de visualización \lambda}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
(donde y son los invariantes de clase de Ramanujan ) [26] [nota 6]![Estilo de visualización G_{n}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![Estilo de visualización g_{n}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
Véase también
Referencias
Notas
- ^ La relación fue válida hasta la redefinición de las unidades base del SI en 2019 .
![{\displaystyle \mu _{0}=4\pi \cdot 10^{-7}\,\mathrm {N} /\mathrm {A} ^{2}}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
- ^ (forma integral de arctan sobre todo su dominio, dando el período de tan )
- ^ Los coeficientes se pueden obtener invirtiendo la serie de Puiseux de
![{\displaystyle z\mapsto {\sqrt {z}}{\dfrac {\sum _{n=0}^{\infty }z^{2n^{2}+2n}}{\sum _{n=-\infty }^{\infty }z^{2n^{2}}}}}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
en .![{\displaystyle z=0}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
- ^ Se elige la raíz n con el argumento principal positivo más pequeño.
![{\estilo de visualización n}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
- ^ Cuando , esto da aproximaciones algebraicas a la constante de Gelfond .
![{\displaystyle e^{\pi }}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
- ^ Cuando , esto da aproximaciones algebraicas a la constante de Gelfond .
![{\displaystyle {\sqrt {n}}\in \mathbb {Q} ^{+}}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle e^{\pi }}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
Otro
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Lectura adicional
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