La topología algebraica es una rama de las matemáticas que utiliza herramientas del álgebra abstracta para estudiar los espacios topológicos . El objetivo básico es encontrar invariantes algebraicos que clasifiquen los espacios topológicos hasta el homeomorfismo , aunque normalmente la mayoría los clasifica hasta la equivalencia de homotopía .
Aunque la topología algebraica utiliza principalmente el álgebra para estudiar problemas topológicos, a veces también es posible utilizar la topología para resolver problemas algebraicos. La topología algebraica, por ejemplo, permite demostrar de forma cómoda que cualquier subgrupo de un grupo libre es a su vez un grupo libre.
A continuación se presentan algunas de las principales áreas estudiadas en la topología algebraica:
En matemáticas, los grupos de homotopía se utilizan en topología algebraica para clasificar espacios topológicos . El primer grupo de homotopía y el más simple es el grupo fundamental , que registra información sobre los bucles de un espacio. Intuitivamente, los grupos de homotopía registran información sobre la forma básica, o los agujeros, de un espacio topológico.
En topología algebraica y álgebra abstracta , la homología (en parte del griego ὁμός homos "idéntico") es un cierto procedimiento general para asociar una secuencia de grupos o módulos abelianos con un objeto matemático dado, como un espacio topológico o un grupo . [1]
En teoría de homología y topología algebraica, la cohomología es un término general para una secuencia de grupos abelianos definidos a partir de un complejo de cocadenas . Es decir, la cohomología se define como el estudio abstracto de cocadenas , cociclos y colímites . La cohomología puede verse como un método de asignación de invariantes algebraicos a un espacio topológico que tiene una estructura algebraica más refinada que la homología . La cohomología surge de la dualización algebraica de la construcción de la homología. En un lenguaje menos abstracto, las cocadenas en el sentido fundamental deberían asignar "cantidades" a las cadenas de la teoría de la homología.
Una variedad es un espacio topológico que cerca de cada punto se asemeja al espacio euclidiano . Algunos ejemplos son el plano , la esfera y el toro , que pueden realizarse en tres dimensiones, pero también la botella de Klein y el plano proyectivo real , que no pueden incorporarse en tres dimensiones, pero sí en cuatro. Normalmente, los resultados de la topología algebraica se centran en los aspectos globales y no diferenciables de las variedades; por ejemplo, la dualidad de Poincaré .
La teoría de nudos es el estudio de los nudos matemáticos . Aunque está inspirada en los nudos que aparecen en la vida cotidiana en los cordones de los zapatos y las cuerdas, el nudo matemático difiere en que los extremos están unidos de modo que no se puede deshacer. En un lenguaje matemático preciso, un nudo es una incrustación de un círculo en el espacio euclidiano tridimensional . Dos nudos matemáticos son equivalentes si uno puede transformarse en el otro mediante una deformación de sobre sí mismo (conocida como isotopía ambiental ); estas transformaciones corresponden a manipulaciones de una cuerda anudada que no implican cortar la cuerda o pasar la cuerda a través de sí misma.
Un complejo simplicial es un espacio topológico de un tipo determinado, construido "pegando" puntos , segmentos de línea , triángulos y sus contrapartes n -dimensionales (ver ilustración). Los complejos simpliciales no deben confundirse con la noción más abstracta de un conjunto simplicial que aparece en la teoría moderna de homotopía simplicial. La contraparte puramente combinatoria de un complejo simplicial es un complejo simplicial abstracto .
Un complejo CW es un tipo de espacio topológico introducido por JHC Whitehead para satisfacer las necesidades de la teoría de homotopía . Esta clase de espacios es más amplia y tiene mejores propiedades categóricas que los complejos simpliciales , pero aún conserva una naturaleza combinatoria que permite el cálculo (a menudo con un complejo mucho más pequeño).
Un nombre más antiguo para el tema era topología combinatoria , lo que implicaba un énfasis en cómo se construía un espacio X a partir de otros más simples [2] (la herramienta estándar moderna para dicha construcción es el complejo CW ). En las décadas de 1920 y 1930, hubo un énfasis creciente en la investigación de los espacios topológicos mediante la búsqueda de correspondencias entre ellos y grupos algebraicos , lo que llevó al cambio de nombre a topología algebraica. [3] El nombre de topología combinatoria todavía se usa a veces para enfatizar un enfoque algorítmico basado en la descomposición de espacios. [4]
En el enfoque algebraico, se encuentra una correspondencia entre espacios y grupos que respeta la relación de homeomorfismo (o más general homotopía ) de espacios. Esto permite reformular enunciados sobre espacios topológicos en enunciados sobre grupos, que tienen una gran cantidad de estructura manejable, lo que a menudo hace que estos enunciados sean más fáciles de demostrar. Dos formas principales en las que esto se puede hacer son a través de grupos fundamentales , o más generalmente teoría de homotopía , y a través de grupos de homología y cohomología . Los grupos fundamentales nos dan información básica sobre la estructura de un espacio topológico, pero a menudo son no abelianos y puede ser difícil trabajar con ellos. El grupo fundamental de un complejo simplicial (finito) tiene una presentación finita .
Por otra parte, los grupos de homología y cohomología son abelianos y, en muchos casos importantes, finitamente generados. Los grupos abelianos finitamente generados están completamente clasificados y es particularmente fácil trabajar con ellos.
En general, todas las construcciones de topología algebraica son funtoriales ; las nociones de categoría , funtor y transformación natural se originaron aquí. Los grupos fundamentales y los grupos de homología y cohomología no sólo son invariantes del espacio topológico subyacente, en el sentido de que dos espacios topológicos que son homeomorfos tienen los mismos grupos asociados, sino que sus morfismos asociados también se corresponden: una aplicación continua de espacios induce un homomorfismo de grupo en los grupos asociados, y estos homomorfismos pueden usarse para mostrar la no existencia (o, mucho más profundamente, la existencia) de aplicaciones.
Uno de los primeros matemáticos en trabajar con diferentes tipos de cohomología fue Georges de Rham . Se puede utilizar la estructura diferencial de variedades suaves a través de la cohomología de de Rham , o la cohomología de Čech o de haces para investigar la resolubilidad de ecuaciones diferenciales definidas en la variedad en cuestión. De Rham demostró que todos estos enfoques estaban interrelacionados y que, para una variedad cerrada y orientada, los números de Betti derivados a través de la homología simplicial eran los mismos números de Betti que los derivados a través de la cohomología de de Rham. Esto se amplió en la década de 1950, cuando Samuel Eilenberg y Norman Steenrod generalizaron este enfoque. Definieron la homología y la cohomología como funtores equipados con transformaciones naturales sujetas a ciertos axiomas (por ejemplo, una equivalencia débil de espacios pasa a un isomorfismo de grupos de homología), verificaron que todas las teorías de (co)homología existentes satisfacían estos axiomas y luego demostraron que tal axiomatización caracterizaba de manera única la teoría.
Las aplicaciones clásicas de la topología algebraica incluyen:
