Matriz de transformación
Las matrices permiten mostrar aplicaciones lineales arbitrarias en un formato coherente, muy adecuado para el cálculo.
[1] Además, presenta la ventaja de permitir concatenar fácilmente transformaciones sucesivas (multiplicando sus matrices).
Las transformaciones lineales no son las únicas que se pueden representar mediante matrices.
Por defecto, cuando en matemáticas se habla de transformación, normalmente se hace referencia a transformaciones activas, mientras que en física puede designar cualquiera de los dos tipos.
[2] Sin embargo, existe una base especial para una transformación, en la que sus componentes forman una matriz diagonal y, por lo tanto, la complejidad de la multiplicación se reduce a n. Ser diagonal significa que todos sus coeficientes
) son ceros, dejando solo un término no nulo en la suma anterior
[3] Los valores y vectores propios se calculan mediante el polinomio característico de la matriz.
Las transformaciones geométricas más comunes que mantienen el origen fijo son lineales, incluidas la rotación, el escalado, el cizallamiento, la reflexión y la proyección ortogonal.
Un alargamiento en el eje x tiene la forma x' = kx; y' = y para alguna constante positiva k. Se debe tener en cuenta que si k es >1, entonces se produce realmente un estiramiento; y si k es <1, técnicamente es una compresión, aunque de forma genérica también se denomina estiramiento.
Además, si k = 1 , entonces la transformación es una identidad, es decir, no tiene ningún efecto.
La matriz asociada con un estiramiento por un factor k en el eje x viene dada por: De manera similar, un estiramiento por un factor k en el eje y tiene la forma x' = x; y' = ky, por lo que la matriz asociada con esta transformación es Si dos de los estiramientos anteriores se combinan con valores recíprocos, entonces la matriz de transformación representa una contracción: Un cuadrado con lados paralelos a los ejes se transforma en un rectángulo que tiene la misma área que el cuadrado.
El estiramiento y la compresión recíprocos no alteran el valor del área de la figura sobre la que se aplican.
Escrito en forma de matriz, esto se convierte en:[4] De manera similar, para una rotación en sentido antihorario respecto al origen, la forma funcional es
Para generar un cizallamiento (visualmente similar a una inclinación), hay dos posibilidades.
Escrito en forma de matriz, esto se convierte en: Un cizallamiento paralelo al eje y tiene la expresión
Entonces, basta con usar la matriz de transformación: Para proyectar un vector ortogonalmente respecto a una recta que pasa por el origen, se toma primero
, un vector en la dirección de la recta, y se usa la matriz de transformación siguiente: Al igual que con las reflexiones, la proyección ortogonal sobre una recta que no pasa por el origen es una transformación afín, no lineal.
Las proyecciones paralelas también son transformaciones lineales y se pueden representar simplemente mediante una matriz.
Sin embargo, las proyecciones en perspectiva no lo son, y para representarlas con una matriz, se deben utilizar coordenadas homogéneas.
Si la cuarta componente del vector es 0 en lugar de 1, entonces solo se refleja la dirección del vector y su longitud permanece sin cambios, como si se reflejara a través de un plano paralelo que pasa por el origen.
Consúltese coordenadas homogéneas y transformaciones afines a continuación para obtener más información sobre el tema.
En algunas aplicaciones prácticas, la inversión se puede calcular utilizando algoritmos de inversión generales o realizando operaciones inversas (que tienen una interpretación geométrica obvia, como rotar en dirección opuesta) y luego componerlas en orden inverso.
Con este sistema, la traslación se puede expresar mediante una multiplicación de matrices.
Esta última se obtiene expandiendo la matriz de transformación lineal correspondiente en una fila y en una columna, llenando el espacio extra con ceros excepto la esquina inferior derecha, cuyo valor debe ser 1.
Por ejemplo, la matriz de rotación en sentido antihorario (vista la figura desde arriba) se convierte en: Al utilizar matrices de transformación que contienen coordenadas homogéneas, las traslaciones se convierten en linealmente independientes y, por lo tanto, pueden ser similarmente combinadas con todos los demás tipos de transformaciones.
Aunque una traslación no es una transformación lineal en un espacio euclídeo 2-D o 3-D descrito por coordenadas cartesianas (es decir, no se puede combinar con otras transformaciones conservando la conmutatividad y otras propiedades), cuando se utiliza un espacio proyectivo descrito por coordenadas homogéneas con una componente adicional, puede asimilarse a una transformación lineal simple (un cizallamiento).
una rotación R en un ángulo θ en sentido antihorario, un escalado S con factores
Por lo tanto, se puede asumir con seguridad que siempre es 1 e ignorarlo.
Mientras que las proyecciones paralelas se utilizan para proyectar puntos en el plano de la imagen mediante líneas paralelas, la proyección en perspectiva proyecta puntos en el plano de la imagen en líneas que irradian desde un punto determinado, llamado centro de proyección.
Se puede expresar en coordenadas homogéneas como: Tras realizar la multiplicación de matrices, la componente homogénea
