Grupo diédrico
Existen dos notaciones para el grupo diédrico asociado a un polígono con n lados.
En geometría el grupo se denota como Dn, mientras que en álgebra el mismo grupo se denota como D2n para indicar el número de elementos.
En este artículo, Dn se refiere a las simetrías de un polígono regular con n lados.
Las rotaciones y reflexiones asociadas forman el grupo diedral Dn.
La primera fila muestra el efecto de las ocho rotaciones, y la segunda fila muestra el efecto de las ocho reflexiones.
(Éste es el orden normal hacia atrás para la composición.)
Nótese que la operación de composición no es conmutativa.
En general, el grupo Dn tiene elementos R0,...,Rn−1 y S0,...,Sn−1, con composición dada por las siguientes fórmulas: En todos los casos, la adición y sustracción de subíndices debería ser realizada utilizando aritmética modular con módulo n. Si centramos un polígono regular en el origen de coordenadas, entonces los elementos del grupo diedral actúan como transformaciones lineales del plano.
Esta notación es raramente utilizada excepto en el marco de las series, porque es igual a Z2.
El vértice oscuro en los grafos ciclos debajo de varios grupos diedrales permanece para el elemento identidad, y los otros vértices son los otros elementos del grupo.
Un ejemplo de grupo abstracto Dihn, y una forma común para visualizarlo, es el grupo Dn de isometrías euclídeas planas que mantienen fijo el origen.
radianes en sentido antihorario y una reflexión respecto del eje x vienen dadas por las aplicaciones lineales con matrices asociadas: (en términos de números complejos: multiplicación por
podemos reescribir las reglas del producto en Dn como: El grupo diedral D2 es generado por la rotación r de 180 grados, y la reflexión s a través del eje x.
Los elementos de D2 pueden entonces ser representados como {e, r, s, rs}, donde e es la identidad o transformación nula y rs es la reflexión respecto del eje y. D2 es isomorfo al grupo de Klein.
Así, más allá de su aplicación obvia a problemas de simetría en el plano, estos grupos están entre los ejemplos más simples de grupos no-abelianos, y como tal, surgen con frecuencia como contraejemplos sencillos a teoremas que están restringidos a grupos abelianos.
Los 2n elementos de Dn pueden ser escritos como e, r, r2, ..., rn−1, s, r s, r2 s, ..., rn−1 s. Los primeros n elementos listados son rotaciones y el resto de elementos son n reflexiones axiales (todas ellas tienen orden 2).
Hasta ahora, hemos considerado que Dn como un subgrupo de O(2), por ejemplo el grupo de rotaciones (respecto al origen) y reflexiones (a lo largo de ejes a través del origen) del plano.
Sin embargo, la notación Dn es usada también para un subgrupo de SO(3) que es también un grupo abstracto de tipo Dihn: el grupo de simetría apropiado para un polígono regular incrustado en en el espacio tridimensional (si n ≥ 3).
Tal figura puede ser considerada como un sólido regular degenerado con su cara contada dos veces.
Por tanto, es llamada también diedro (en griego: sólido con dos caras), que explica el nombre de grupo diedral o diédrico (en analogía con grupo tetraédrico, octaédrico e icosaédrico, refiriéndose a los grupos de simetría de un tetraedro, octaedro, e icosaedro regulares respectivamente).
consiste solamente de la identidad si n es impar, pero si n es par, el centro tiene dos elementos, concretamente la identidad y el elemento rn / 2 (viendo
como un subgrupo de O(2), esto es la rotación de 180 grados; debido a que también lo podemos ver como una multiplicación escalar por −1, está claro que conmuta con cualquier transformación lineal y, en particular, que pertenece al centro del grupo).
Para el doble de un n impar, el grupo abstracto
Algebráicamente, esto es un ejemplo del Teorema de Sylow conjugado (para n impar): para n impar, cada reflexión, junto con la identidad, forman un subgrupo de orden 2, que es un subgrupo de Sylow (
, para k primo a n); cuyos automorfismos son internos y externos dependiendo de la paridad de n: Dih9 tiene 18 automorfismos internos.
Los 18 automorfismos internos proveen rotación a los espejos por múltiplos de 20°, y reflexiones.
Como grupo abstracto hay, además a éstos, 36 automorfismos externos, por ejemplo multiplicando los ángulos de rotación por 2.
Como grupo de isometría hay 10 automorfismos más; hay conjugados por isometrías fuera del grupo, rotando los espejos 18° con respecto a los automorfismos internos.
Comparando los valores 6 y 4 para la función φ de Euler, el grupo multiplicativo de enteros módulo n para n = 9 y 10, respectivamente, esto triplica y duplica el número de automorfismo comparado con los dos automorfismos como isometrías (manteniendo igual el orden de las rotaciones o invirtiendo el orden).
Hay varias generalizaciones importantes de los grupos diedrales:
