Punto isodinámico

Los triángulos que son semejantes entre sí tienen puntos isodinámicos en ubicaciones correspondientes en el plano, por lo que los puntos isodinámicos son elementos notables de un triángulo y, a diferencia de otros centros de triángulos, los puntos isodinámicos también son invariantes bajo la transformación de Möbius.Por otro lado, todo triángulo no equilátero tiene dos puntos isodinámicos.Los puntos isodinámicos fueron estudiados y nombrados por primera vez por Neuberg (1885).[2]​ De manera equivalente a la fórmula del producto, las distanciasson inversamente proporcionales a las correspondientes longitudes de los lados del triángulo, las tres circunferencias que pasan cada una por un vértice del triángulo y mantienen una relación constante de distancias a los otros dos vértices.La bisectriz perpendicular del segmento de líneatambién pueden definirse por sus propiedades con respecto a transformaciones del plano, y particularmente con respecto a la inversión y la transformación de Möbius (productos de múltiples inversiones).[5]​ La inversión con respecto a la circunferencia circunscrita del triángulodeja el triángulo invariante, pero transforma un punto isodinámico en el otro.es igual a la misma transformación aplicada al paral interior de la circunferencia circunscrita del triángulo transformado, y se intercambian mediante transformaciones que hacen corresponder el interior y el exterior de la circunferencia circunscrita.[6]​ Los ángulos formados por el primer punto isodinámico con los vértices del triángulo satisfacen las ecuacionesDe manera análoga, los ángulos formados por el segundo punto isodinámico satisfacen las ecuacionesa cada uno de los tres lados del triánguloa través de cada lado del triángulo., el triángulo podal del primer punto isodinámico es el que tiene área mínima.[9]​ La cúbica de Neuberg contiene los dos puntos isodinámicos.[4]​ Si una circunferencia se divide en tres arcos, el primer punto isodinámico de los puntos finales del arco es el único punto dentro del círculo con la propiedad de que cada uno de los tres arcos tiene la misma probabilidad de ser el primer arco alcanzado por un movimiento browniano que comienza en ese punto.cuyos ceros son los vértices de un triánguloEsta construcción generaliza puntos isodinámicos a polinomios de gradoExiste una construcción similar para funciones racionales en lugar de polinomios.[11]​ El círculo de Apolonio que pasa por el vérticese puede construir encontrando las dos bisectrices (interior y exterior) de los dos ángulos formados por las rectas[3]​ Otra construcción con compás y regla implica encontrar la reflexión), y construir un triángulo equilátero hacia adentro en el ladoconstruidas de manera similar en el primer punto isodinámico.El segundo punto isodinámico puede construirse de manera similar, pero con los triángulos equiláteros erigidos hacia afuera y no hacia adentro.[12]​ Alternativamente, la posición del primer punto isodinámico se puede calcular a partir de sus coordenadas trilineales, que son[13]​El segundo punto isodinámico utiliza coordenadas trilineales con una fórmula similar que involucra