Paraleloedro

En geometría, un paraleloedro es un poliedro que puede ser trasladado sin rotaciones en el espacio euclídeo tridimensional para llenar el espacio como un panal de miel en el que todas las copias del poliedro se encuentran cara a cara.Hay cinco tipos de paraleloedros, identificados por primera vez por Evgraf Fedorov en 1885 en sus estudios de sistemas cristalográficos: el cubo, el prisma hexagonal, el dodecaedro rómbico, el dodecaedro alargado y el octaedro truncado.[4]​ La clasificación de los paralelocedros en cinco tipos fue realizada por primera vez por el cristalógrafo ruso Evgraf Fedorov, como capítulo 13 de un libro en ruso publicado por primera vez en 1885, cuyo título ha sido traducido al inglés como An Introduction to the Theory of Figures.La clasificación de los paralelóedros fue más tarde firmemente fundamentada por Hermann Minkowski, quien utilizó su teorema de unicidad para poliedros con áreas y normales de caras dadas para demostrar que los paralelóedros son centralmente simétricos.Hay 52 paralelotopos diferentes en cuatro dimensiones, enumerados por primera vez por Boris Delaunay (con un paralelotopo que falta, descubierto más tarde por Mijaíl Shtogrin),[8]​ y 103 769 tipos en cinco dimensiones.[9]​ A diferencia del caso para tres dimensiones, no todos ellos son zonotopos.[7]​ Como demostró Boris Delaunay en 1929,[11]​ todo paraleleedro puede convertirse en un plesioedro mediante una transformación afín,[1]​ pero esto queda abierto en dimensiones superiores,[2]​ y en tres dimensiones también existen otros plesioedros que no son paraleleedros.Las tilings del espacio por plesiohedra tienen simetrías que toman cualquier célula a cualquier otra célula, pero a diferencia de los paraleloedros, estas simetrías pueden implicar rotaciones, no sólo translaciones.