En matemáticas, las aplicaciones lineales forman una clase importante de funciones "simples" que conservan la estructura algebraica de los espacios vectoriales, y se utilizan a menudo como aproximaciones a funciones más generales (véase aproximación lineal).
Resulta que para aplicaciones definidas en espacios vectoriales topológicos de dimensión infinita (como por ejemplo, los espacios vectoriales normados de dimensión infinita), la respuesta generalmente es no: existen aplicaciones lineales discontinuas.
Aunque se puede demostrar que tales aplicaciones existen, la prueba se basa en el axioma de elección, que no proporciona ningún ejemplo explícito.
Si X es de dimensión infinita, esta argumentación falla, ya que no hay garantía de que exista el elemento supremo M. Si Y es el espacio cero {0}, la única aplicación entre X e Y es la aplicación "cero", que es trivialmente continua.
En todos los demás casos, cuando X es de dimensión infinita e Y no es el espacio cero, se puede encontrar una aplicación discontinua de X a Y.
En cierto sentido, los operadores lineales no son continuos porque el espacio tiene "huecos".
Por ejemplo, considérese el espacio X de funciones infinitamente diferenciables de valor real en el intervalo [0, 1] con norma del supremo, es decir, La aplicación derivada-en-un-punto, dada por definida en X y con valores reales, es lineal, pero no continua.
El hecho de que el dominio no esté completo aquí es importante.
Teniendo en consideración que dos números no conmensurables cualesquiera, como por ejemplo 1 y
Se puede encontrar una base de Hamel que los contenga y definir un aplicación
Sea {rn}n cualquier secuencia de racionales que converge a
Este ejemplo se puede ampliar a un teorema general sobre la existencia de aplicaciones lineales discontinuas en cualquier espacio normado de dimensión infinita (siempre que el codominio no sea trivial).
Se puede demostrar que las aplicaciones lineales discontinuos existen de manera más general, incluso si el espacio está completo.
Sean X e Y espacios vectoriales normados sobre el cuerpo K, donde
Supóngase que X es de dimensión infinita e Y no es el espacio cero.
Si X es de dimensión infinita, mostrar la existencia de un funcional lineal que no es continuo equivale a construir f que no está acotado.
Ahora, se completa esta secuencia de vectores linealmente independientes para formar una base del espacio vectorial de X, definiendo T como los otros vectores en la base, que serán cero.
Así, para los matemáticos dedicados al estudio del análisis, todos los espacios vectoriales topológicos de dimensión infinita admiten aplicaciones lineales discontinuas.
[1] Esto implica que no existen funciones reales lineales discontinuas.
Por ejemplo, H. G. Garnir, al buscar los llamados "espacios oníricos" (espacios vectoriales topológicos en los que cada aplicación lineal en un espacio normado es continua), se vio obligado a adoptar ZF + ED + PB (la elección dependiente (ED) es una forma debilitada, y la propiedad de Baire (PB) es una negación del AE fuerte) como sus axiomas para probar el Teorema del grafo cerrado de Garnir-Wright, que establece, entre otras cosas, que cualquier aplicación lineal desde un espacio F a un EVT es continua.
Es consistente con la teoría de conjuntos sin AE que no hay aplicaciones lineales discontinuas en espacios completos.
En particular, ninguna construcción concreta como la derivada puede lograr definir una aplicación lineal discontinua en todas partes de un espacio completo.
Tiene sentido preguntar qué operadores lineales en un espacio dado son cerrados.
El teorema de la gráfica cerrada afirma que un operador cerrado "definido en todas partes" en un dominio completo es continuo, por lo que para obtener un operador cerrado discontinuo, se deben permitir operadores que no estén definidos en todas partes.
Es decir, al estudiar operadores que no están definidos en todas partes, se puede restringir su atención a operadores densamente definidos sin pérdida de generalidad.
Como en el caso de los operadores discontinuos considerados anteriormente, la demostración requiere el axioma de elección y, por lo tanto, en general no es constructiva, aunque nuevamente, si X no es completo, existen ejemplos construibles.
En la práctica, existe incluso un ejemplo de un operador lineal cuyo gráfico tiene cierre en "todo"
Téngase en cuenta que X no está completo aquí, como debe ser el caso cuando existe un aplicación construible.
[3] Por otro lado, el teorema de Hahn–Banach, que se aplica a todos los espacios localmente convexos, garantiza la existencia de muchos funcionales lineales continuos y, por lo tanto, un gran espacio dual.
Téngase en cuenta que aquí se indica la medida de Lebesgue en la recta real.