Función de Clausen
En matemáticas, la función de Clausen, introducida por Thomas Clausen en 1832, es una función especial transcendental de una sola variable.
, la función seno carece del signo de valor absoluto por ser estrictamente positiva, de manera que el símbolo del valor absoluto puede omitirse.
También tienen diversas aplicaciones para el cálculo de series hipergeométricas, sumas que impliquen la inversa del coeficiente binomial central, sumas de la función poligamma y series L de Dirichlet.
Las siguientes propiedades son consecuencia inmediata de la definición de serie:[1] Con un carácter más amplio, se definen las dos funciones generalizadas de Clausen: que son válidas en el campo complejo z con Re z >1.
La definición se puede extender a todo el plano complejo a través de su extensión analítica.
Cuando z es reemplazado por un número entero no-negativo, las funciones estándar de Clausen se definen mediante la serie de Fourier siguiente: Cabe notar que las funciones de Clausen de tipo SL tienen la notación alternativa
Las funciones de Clausen del tipo SL son polinomiales en
, y están estrechamente relacionadas con los polinomios de Bernoulli.
en la expresión anterior y reordenando después los términos resultan las siguientes expresiones (polinomiales) de forma cerrada: donde los polinómios de Bernoulli
por la relación: Las ecuaciones explícitas deducidas de las anteriores incluyen: Para
Aplicando el mismo proceso repetidamente, se tiene que: Y más en general, con la inducción de
, se puede ver que: Por tanto, Derivando directamente los desarrollos en serie de Fourier de las funciones de Clausen, se obtiene: Aplicando el primer teorema fundamental del cálculo, también se tiene que: Se define la integral de la tangente inversa en el intervalo
reduce esta última parte de la integral a así Para los números reales
Una de estas relaciones se demuestra a continuación: Sean
dos números enteros positivos, tal que
y, a continuación, por la definición de las series para la función de orden superior de Clausen (de índice par): se divide este sumatorio exactamente en p partes, de manera que la primera serie contenga todos, y no más, los términos congruentes con
la segunda serie contiene todos los términos congruentes con
etc., quedando la parte final de orden p, que contiene todos los términos congruentes con
Se pueden indexar estos sumatorios para formar una sumatorio doble: Aplicando la fórmula de adición para la función seno,
el término sinusoidal en el numerador se convierte en: y como consecuencia Para convertir el sumatorio interior del doble sumatorio en una suma no alterna, se divide exactamente en dos partes de la misma manera que el sumatorio interior anterior se dividió en p partes: Para
, la función poligamma se puede representar con la serie Por tanto, en términos de la función poligamma, el sumatorio anterior se convierte en: Aplicando este término en el sumatorio doble, se obtiene el resultado deseado La integral log-seno generalizada se define por: En esta notación generalizada, la función de Clausen se puede expresar en la forma: Ernst Kummer y Rogers dieron la relación válida para
La función de Lobachevski (Λ o Л) es esencialmente la misma función con un cambio de variable: aunque históricamente el nombre de «función de Lobachevski» no es del todo precisa, dado que las fórmules de Lobachevski para el volumen hiperbólico que utilicen la función ligeramente diferente Para los valores racionales de
con los números enteros p i q), la función
puede ser utilizada para representar una órbita periódica de un elemento en el grupo cíclico, y por tanto
se puede expresar con una simple suma que implica la función zeta de Hurwitz.
También permite que las relaciones entre ciertas series L de Dirichlet se puedan calcular fácilmente.
Una forma de convergencia más rápida viene dada por El factor
ayuda a la convergencia acercándola rápidamente a cero para valores grandes de n.[3] Algunos valores especiales incluyen Algunos valores especiales para funciones de Clausen de orden superior incluyen donde
es la función eta de Dirichlet, y
, y los casos especiales de la función zeta,
