(Ramanujan usó el término "función theta" para lo que hoy se llamaría una forma modular).
Ramanujan asoció un orden a sus funciones theta simuladas, que no estaban claramente definidas.
En las siguientes décadas, Watson, Andrews, Selberg, Hickerson, Choi, McIntosh y otros estudiaron las funciones simuladas theta de Ramanujan.
Probaron las declaraciones de Ramanujan sobre ellas y encontraron varios ejemplos e identidades más.
Sin embargo, durante muchos años no hubo una buena definición de una función theta simulada.
Esto permite ampliar muchos resultados sobre formas modulares de las funciones theta simuladas.
En particular, las funciones theta simuladas poseen expansiones asintóticas en las cúspides del grupo modular, actuando sobre el semiplano superior, que se parecen a las de forma modular de peso 1/2 con polos en las cúspides.
La integral converge siempre que g tiene un cero en la cúspide i, y la función gamma incompleta se puede extender por continuación analítica, por lo que esta fórmula se puede utilizar para definir la parte holomórfica g* de F incluso en el caso de que g sea meromórfica en i∞, aunque esto requiere cierto cuidado si k es 1 o no entero, o si n = 0.
El inverso del operador diferencial está lejos de ser único, ya que se puede agregar cualquier función homomórfica a g* sin afectar a su imagen, y como resultado la función g* no necesita ser invariante bajo el grupo Γ.
Es bastante común que diferentes funciones theta simuladas tengan la misma sombra.
Las funciones theta simuladas son formas modulares simuladas de peso 1/2 cuya sombra es una función theta unitaria, multiplicada por una potencia racional de q (por razones históricas).
La función μ fue encontrada por Ramanujan, tal como figura en su cuaderno perdido.
Véase también (Fine, 1988) Las siete funciones theta simuladas de orden 3 dadas por Ramanujan son Las primeras cuatro forman un grupo con la misma sombra (dependiente de una constante), y también las tres últimas.
Más precisamente, las funciones satisfacen las siguientes relaciones (encontradas por Ramanujan y probadas por Watson): Ramanujan escribió diez funciones theta simuladas de orden 5 en su carta de 1920 a Hardy, y declaró algunas relaciones entre ellas que fueron probadas por Watson (1937).
Gordon y McIntosh (2000) encontró ocho funciones theta simuladas de orden 8.
Ramanujan (1988, p. 9) enumeró cuatro funciones theta simuladas de orden 10 en su cuaderno perdido, y estableció algunas relaciones entre ellas, que fueron probadas por ().