Extensión de grupo

En álgebra abstracta, se denomina extensión del grupoa cualquier otro grupoque haga exacta la sucesión corta Esta condición es equivalente a que la imagensea un subgrupo normal deel grupo en cierto modo contenido en la extensión, se dice que...», por ejemplo Mac Lane y Birkhoff (1967, p. 409).En tal caso existen dos homomorfismos: uno inyectivodado por la inclusión de conjuntos, y otro sobreyectivodado por la proyección en el cociente, que hacen que la sucesión corta sea exacta.La extensión de grupos es el proceso inverso, que partiendo de unos grupos conocidosgenera un nuevo grupoEste último contiene una copia isomorfa ahace las veces del grupo factorque, sin embargo, no es necesariamente la única extensión posible.Junto con la clasificación de grupos finitos simples (ya resuelto), su solución permitiría clasificar de forma completa los grupos finitos, lo que se conoce como programa de Hölder.[1]​ En general, una extensión dedenota el grupo de automorfismos exteriores: el cociente{\displaystyle {\rm {Out}}\ B={\rm {Aut}}B/{\rm {Inn}}B}No obstante, extensiones diferentes pueden dar lugar al mismo homomorfismo.El problema de la extensión es considerado de difícil solución; sin embargo se conocen soluciones cuando se cumple alguna condición adicional, como por ejemplo cuando la extensión es el producto semidirecto de los gruposes un autohomeomorfismo de la superficie F, entonces desde la sequencia homotópica larga del fibrado tenemos el tramo: Pero como los homomorfismos de grupo: clasifican a estas extensiones y donde el generador de, entonces tenemos que el grupo fundamental del fibrado E está dado por es decir, estamos extendiendo el grupo fundamental de la superficie F por el grupo cíclico infinitoEs conocido que tales grupos tiene una presentación de la forma que corresponde a una extensión HNN del grupo fundamental de la superficie F.