Ecuación diferencial lineal
En matemáticas, se dice que una ecuación diferencial es lineal si lo es respecto a la función incógnita y sus derivadas.
Se caracterizan por tener soluciones que se pueden obtener mediante combinaciones lineales de otras soluciones, formando así un espacio vectorial (en el caso homogéneo) o afín (no homogéneo), propiedad que no cumplen las ecuaciones diferenciales no lineales.
son funciones diferenciales arbitrarias no necesariamente lineales, y
El orden de la ecuación diferencial viene dado por el mayor entero no negativo
La solución general de la ecuación no homogénea viene dada por
Es decir, que sus soluciones forman un espacio afín de dimensión
sean continuas y acotadas en un entorno de los valores iniciales.
Sustituyendo f y g en la ecuación de la parte anterior se obtiene (nótese que
es el vector columna cuyo única componente no nula es
En lo que sigue, usaremos la norma euclídea de un vector, denotada como
es la solución (única) del problema de valor inicial con datos
por lo que hay unicidad y existencia de soluciones para dicho PVI.
En estos casos los métodos preferidos (sin contar el cálculo numérico) son los que emplean series de potencias o series de Fourier.
Otro método consiste en calcular la exponencial de la matriz del sistema.
Una ecuación lineal homogénea con coeficientes constantes es de la forma:
Derivando y sustituyendo en la ecuación general llegamos a
tendremos información para crear una solución asociada a dicho valor.
: En este caso no podemos expresar la solución como antes, ya que si lo hacemos tendríamos información redundante.
es fácil ver que su sistema equivalente tiene como polinomio característico asociado
Por otro lado, volviendo a la ecuación lineal, si empleamos el método de proponer soluciones exponenciales, obtendremos
Observamos que nos queda la misma expresión que el polinomio característico asociado al sistema, luego los autovalores obtenidos anteriormente serán las soluciones de esta misma ecuación.
es un vector que se construye como el producto de cierta función
será el vector nulo, y por tanto linealmente dependiente del resto de soluciones
Si los autovectores son linealmente dependientes las funciones asociadas también lo serán.
Para este ejemplo usaremos el oscilador armónico sin entrar en la interpretación física.
que al sustituirla en la EDO nos da la ecuación de segundo grado
permitiéndonos separar en distintos casos: La solución será de la forma:
que haciendo el mismo desarrollo en senos y cosenos de antes os queda
Finalmente atenderemos a la ecuación no homogénea con unos términos concretos, los trigonométricos:
Dividiremos esta resolución en distintos apartados según el valor que le demos a las constantes: Dada la ecuación de segundo orden:
