Ecuación de Laplace
En cálculo vectorial, la ecuación de Laplace es una ecuación en derivadas parciales de segundo orden de tipo elíptico, que recibe ese nombre en honor al físico y matemático Pierre-Simon Laplace.
En tres dimensiones, el problema consiste en hallar una función real
, Muchas veces se escribe de la siguiente manera: donde
Esta ecuación en derivadas parciales, también se puede escribir como donde
O si no, algunas veces la notación puede ser: donde
Si del lado derecho de la igualdad se específica una función,
La temperatura fluye hasta que alcanza un estado estacionario en el que dicha temperatura en cada punto del dominio no cambia más.
Físicamente, esto corresponde a la construcción de un potencial para un campo vectorial cuyo efecto es conocido en el contorno de
: Las soluciones de la ecuación de Laplace son funciones armónicas; son todas analíticas dentro del dominio donde la ecuación se satisface.
Esta propiedad, llamada principio de superposición, es muy útil, por ejemplo, las soluciones de problemas complejos pueden construirse simplemente sumando las soluciones determinadas e variables.
, y si entonces la condición necesaria para que
sea analítica es que se satisfagan las ecuaciones de Cauchy-Riemann: donde
, sólo sus incrementos: La ecuación de Laplace para
implica que la condición de integrabilidad para
Esta construcción sólo es válida localmente, o siempre que el camino no esté rodeando a una singularidad.
son coordenadas polares y entonces una función analítica correspondiente es Sin embargo, el ángulo
es univaluada solamente en una región que no incluye al origen.
, esto significa que con coeficientes definidos adecuadamente cuyas partes reales e imaginarias están dadas por: Entonces la cual es una serie de Fourier de
las componentes horizontal y vertical del campo de velocidad del flujo incompresible estacionario e irrotacional en dos dimensiones, respectivamente.
son y la condición de irrotacionalidad establece que
Las ecuaciones de Cauchy-Riemann establecen que Así que, a cada función analítica le corresponde un flujo de fluido incompresible estacionario e irrotacional en el plano.
No es una función en sí, sin embargo puede pensarse como el límite de funciones cuya integral sobre todo el espacio es unitaria, y cuya región donde la función es distinta de cero es sólo en un punto (ver solución débil).
Es común elegir una convención de signos diferente para esta ecuación, esto se hace cuando se define la solución fundamental.
Frecuentemente la elección de este signo es conveniente para trabajar con un
es el ángulo con el eje vertical, la cual es contraria a la notación matemática estadounidense, pero cumple con el estándar europeo y la práctica de la Física.
Esta propiedad de valor medio implica inmediatamente que funciones armónicas no constantes no pueden tomar su valor máximo en un punto interior.
En el espacio libre la ecuación de laplace de cualquier potencial electroestático debe ser igual a cero ya que
(densidad de carga volumétrica) es cero en el espacio libre.
A partir del gradiente del potencial se obtiene el campo eléctrico Tomando la divergencia del campo eléctrico se obtiene la ecuación de Poisson, que relaciona el potencial eléctrico con la densidad de carga En el caso particular del espacio libre (
Un potencial que no satisface la ecuación de Laplace junto con la condición de contorno es un potencial electroestático inválido.
