Cuarto problema de Hilbert
Si se asume además el axioma de continuidad, entonces, en el caso del plano euclídeo, se llega al problema planteado por Darboux: "Determinar todos los problemas de cálculo de variaciones en el plano cuyas soluciones son todas las rectas del plano".
[3][4] En 1976, el matemático armenio Rouben V. Ambartzumian propuso otra prueba del cuarto problema de Hilbert.
La condición necesaria para resolver el cuarto problema de Hilbert es el requisito de que un espacio métrico que satisfaga los axiomas de este problema sea desarguesiano, es decir: Para los espacios desarguesianos, Georg Hamel demostró que cada solución del cuarto problema de Hilbert se puede representar en un espacio proyectivo
Las métricas de este tipo se denominan planas o proyectivas.
[2] Sin embargo, como muestran ejemplos simples, la clase de métricas planas regulares es más pequeña que la clase de todas las métricas planas.
Por lo tanto, para resolver completamente el cuarto problema de Hilbert es necesario determinar constructivamente todas las métricas planas continuas.
[7] Para las métricas multidimensionales de Riemann, E. Cartan demostró esta afirmación en 1930.
una variedad suave de dimensión finita y su paquete tangente, respectivamente.
un conjunto convexo abierto acotado con el límite de clase C2 y curvaturas normales positivas.
(véase la figura), se tiene que La métrica es simétrica y plana.
Se define en un dominio delimitado por una hipersuperficie convexa cerrada y también es plana.
Georg Hamel fue el primero en contribuir a la solución del cuarto problema de Hilbert.
es un conjunto de líneas rectas que se cruzan con la curva
completamente aditiva, que cumple las siguientes condiciones: Si se considera una métrica
es el conjunto de líneas rectas que se cruzan con el segmento
es plana, es decir, las geodésicas son las líneas rectas del espacio proyectivo.
Por tanto, el cuarto problema de Hilbert para el caso bidimensional quedó completamente resuelto.
En 1976, Ambartsumian propuso otra prueba del cuarto problema de Hilbert.
Sin embargo, esta estructura no se puede generalizar a dimensiones superiores debido al tercer problema de Hilbert resuelto por Max Dehn.
En el caso bidimensional, los polígonos con el mismo volumen son oblicuamente congruentes.
Como demostró Dehn, esto no es cierto para una dimensión superior.
Las condiciones necesarias y suficientes para que la métrica regular definida por la función del conjunto
sea plana son las siguientes tres condiciones: Además, Pogorelov mostró que cualquier métrica plana continua completa en el caso tridimensional es el límite de las métricas
regulares con la convergencia uniforme en cualquier subdominio compacto del dominio de la métrica.
El método de Pogorelov funciona para n > 3, pero requiere mayores tecnicismos".
[12] El caso multidimensional del cuarto problema de Hilbert fue estudiado por Szabo.
-medida que genera una medida plana tiene las siguientes propiedades: Se dio el ejemplo de una métrica plana no generada por la construcción de Blaschke-Busemann.
Szabo describió todas las métricas planas continuas en términos de funciones generalizadas.
es par y no necesariamente con medida de Borel positiva.
[14] Los cuerpos delimitados por tales hipersuperficies se denominan zonoides generalizados.
