Límite de una sucesión
Es el valor al que tienden los términos de la sucesión cuando
[1] Este concepto está estrechamente ligado al de convergencia.
Una sucesión de elementos de un conjunto es convergente si y solo si en el mismo conjunto existe un elemento (al que se le conoce como límite) al cual la sucesión se aproxima tanto como se desee a partir de un momento dado.
En caso contrario, la sucesión es divergente o alternada.
[2] La definición significa que finalmente todos los elementos de la sucesión se aproximan tanto como queramos al valor límite.
La condición que impone que los elementos se encuentren arbitrariamente cercanos a los elementos subsiguientes no implica, en general, que la sucesión tenga un límite (véase sucesión de Cauchy).
Qué se entiende por próximo da lugar a distintas definiciones de límite dependiendo del conjunto donde se ha definido la sucesión (véase distancia).
, es decir: Se dice que la sucesión converge hacia un complejo
, con módulo en lugar del valor absoluto.
Se puede escribir Las sucesiones complejas convergentes poseen las mismas propiedades que las sucesiones reales, excepto las de relación de orden: el límite es único, una sucesión convergente tiene módulo acotado, toda sucesión de Cauchy converge (en efecto,
El enunciado recíproco es falso, y un contraejemplo clásico lo constituyen las sucesión de funciones
Esta sucesión converge puntualmente a la función
Sin embargo esta sucesión no converge uniformemente, pues para
si, y sólo si, converge en la norma del sup, i.e.,
de la sucesión se pueden hacer arbitrariamente cercanos a
A partir de la definición es posible demostrar que si una sucesión converge, lo hace hacia un único límite.
La definición se aplica en particular a los espacios vectoriales normados y a los espacios con producto interno.
Una sucesión se dice que converge débilmente a
o en sentido débil si para toda funcional lineal
hasta infinito converge débilmente a cero.
Es posible también que una sucesión en un espacio topológico general, pueda tener varios límites diferentes,[cita requerida] pero una sucesión convergente posee un único límite si T es un espacio de Hausdorff, por ejemplo la recta real (extendida), el plano complejo, sus subconjuntos (R, Q, Z...) y productos cartesianos (Rn...).
El filósofo griego Zenón de Elea es famoso por formular sus paradojas que implican procesos limitantes.
Arquímedes logró resumir lo que hoy se llama una serie geométrica.
Grégoire de Saint-Vincent dio la primera definición de límite (término) de una serie geométrica en su obra Opus Geometricum (1647): "El término de una progresión es el final de la serie, que ninguna progresión puede alcanzar, incluso si ella continúa en el infinito, pero al que puede acercarse más que un segmento dado.
Newton trató las series en sus obras Análisis con series infinitas (escrito en 1669, distribuido en manuscrito, publicado en 1711), Método de las fluxiones y series infinitas (escrito en 1671, publicado en traducción al inglés en 1736, original en latín publicado mucho más tarde) y Tractatus de Quadratura Curvarum (escrito en 1693, publicado en 1704 como apéndice de su Optiks).
En este último trabajo, Newton considera la expansión binomial de
En el siglo XVIII, matemáticos como Euler lograron sumar algunas series divergentes deteniéndose en el momento adecuado; no les importaba mucho si existía un límite, siempre que pudiera calcularse.
A finales de siglo, Lagrange en su Théorie des fonctions analytiques (1797) opinó que la falta de rigor impedía un mayor desarrollo del cálculo.
Gauss en su estudio de series hipergeométricas (1813) investigó rigurosamente por primera vez las condiciones bajo las cuales una serie convergía hasta un límite.
de modo que...) fue dada por Bernard Bolzano (Der binomische Lehrsatz, Praga 1816, que fue poco notada en la época), y por Karl Weierstrass en la década de 1870.
