Está definido como el límite de la diferencia entre la serie armónica y el logaritmo natural donde
La constante apareció por primera vez, en 1734, en un artículo escrito por el matemático suizo Leonhard Euler, llamado De Progressionibus harmonicis observationes, calculando los 6 primeros dígitos para la constante y llamándola C. En 1781 calcularía otros 10 decimales más.
En 1790, Lorenzo Mascheroni calcularía los primeros 19 decimales y la denotaría como A.
Ya más tarde se denotaría de la forma moderna como γ, debido a su conexión con la función gamma.
A continuación se exponen las más importantes relaciones de γ con funciones, series e integrales.
Descubierta en 1734 por Euler, representándola como una serie infinita de la siguiente forma:
En 1912 Vacca encontró la siguiente serie relacionada con γ. donde log2 es el logaritmo en base 2 y
En 1926, Vacca encontró otra serie similar a la anterior: o escrito como Estas dos últimas series pueden ser obtenidas mediante la manipulación de la Integral de Catalán (ver Sondow y Zudilin) Srinivasa Ramanujan, en su cuaderno perdido dio una serie que se aproxima a γ:[4] La representación en forma de fracción continua es: más concretamente
es igual a las siguientes fórmulas asintóticas (donde Hn es el n-ésimo número armónico) (Euler) (Negoi) (Cesàro) La última fórmula también es llamada Expansión de Ramanujan.
eγ es igual al siguiente límite, donde pn es el n-ésimo número primo: También se puede expresar como un producto infinito, usando funciones hipergeométricas como sigue: Su valor numérico aproximado es Las constantes generalizadas de Euler están dadas por para 0 < α < 1, con γ como caso especial cuando α = 1.
[5] Esto puede ser más generalizado por para una determinada función f decreciente, por ejemplo dando lugar a las constantes de Stieltjes, y dadas por donde de nuevo el límite aparece.
La constante de Euler-Mascheroni aparece en los siguientes casos (la mayoría en teoría de números): Para más información en este sentido, ver Gourdon and Sebah (2004).