Centro de homotecia

Si dos figuras geométricas poseen un centro homotético, son semejantes entre sí; en otras palabras, deben tener los mismos ángulos en los puntos correspondientes y diferir solo en su escala relativa.

Si el centro es interno, las dos figuras geométricas son imágenes escaladas especulares la una de la otra; en lenguaje técnico, tienen quiralidad opuesta.

Los círculos son geométricamente semejantes entre sí y presentan simetría especular respecto a cualquier diámetro.

Por lo tanto, un par de círculos poseen indistintamente ambos tipos de centros homotéticos, internos y externos, a menos que los centros sean coincidentes, o sus dos radios sean iguales.

Estos casos excepcionales se tratan más adelante, según su posición general.

esto es: El centro externo se puede calcular con la misma ecuación, pero considerando uno de los radios como negativo; cualquiera de los dos produce la misma ecuación, que es: De manera más general, tomar ambos radios con el mismo signo (tanto positivo como negativo) produce el centro interno, mientras que tomar los radios con signos opuestos (uno positivo y el otro negativo) produce el centro externo.

Nótese que la ecuación para el centro interno es válida para cualquier valor (a menos que ambos radios sean cero o uno sea el negativo del otro), pero la ecuación para el centro externo requiere que los radios sean diferentes, de lo contrario implica una división por cero.

Si los círculos tienen el mismo radio (pero centros diferentes), no poseen un centro homotético externo en el plano afín: en la geometría analítica esto da como resultado una división por cero, mientras que en la geometría sintética las líneas A1A2 y B1B2 son paralelas a la línea de centros (tanto para líneas secantes como para las líneas bitangentes) y, por lo tanto, no tienen intersección.

Un centro externo se puede definir en el plano proyectivo como el punto del infinito correspondiente a la pendiente de esta línea.

Sin embargo, no hay una línea de centros, y la construcción sintética falla cuando las dos líneas paralelas coinciden.

De estos cuatro puntos, se dice que dos son «homólogos» si los radios dibujados forman el mismo ángulo con la línea que conecta los centros, por ejemplo, los puntos A1 y A2 en la Figura 3.

Del mismo modo, se puede demostrar que PRS′Q′ puede inscribirse en una circunferencia y EP · EQ′ = ER · ES′.

La prueba es similar para el centro homotético interno I. PIR ~ P′IR′ luego ∠RPI = ∠IP′R′ = α.

Del mismo modo QSP′R′ se puede inscribir en un círculo, e IQ · IP′ = IS · IR′.

El eje radical es siempre perpendicular a la línea de centros, y si se cruzan dos círculos, su eje radical es la línea que une sus puntos de intersección.

Las tangentes tendidas desde el centro radical a los tres círculos tendrían la misma longitud.

Considérense los dos rayos que emanan del centro homotético externo E en la Figura 4.

Por lo tanto, el punto G también se encuentra en el eje radical de los dos círculos dados.

Se traza un rayo arbitrario desde E que cruza los dos círculos en P, Q, P′ y Q′.

Se comprueba fácilmente que los triángulos O1PQ y O2P′Q′ son semejantes debido a su homotecia.

Para demostrarlo, considérense dos rayos del centro homotético, que se cruzan con los círculos dados (Figura 8).

Si los dos círculos tangentes tocan pares colineales de puntos antihomólogos, como en la Figura 5, entonces debido a la homotecia

A continuación se demuestra: Considérese el plano de los tres círculos (Figura 9).

Los centros se pueden desplazar a cualquier lado del plano.

Las líneas atraviesan el plano de círculos en los puntos «HAB», HBC y HAC.

Dado que el lugar geométrico de puntos que son comunes a dos planos distintos y no paralelos es una recta, necesariamente estos tres puntos se encuentran en dicha recta.

Repetir el procedimiento anterior para diferentes combinaciones de centros homotéticos (en el método empleado esto está determinado por el lado en el que se compensen los centros de los círculos) produciría un total de cuatro rectas, con tres centros homotéticos en cada recta (Figura 10).

A continuación se expone otra forma de probar esto: Sean C1 y C2 un par de círculos conjugados tangentes a tres círculos determinados (Figura 11).

Como los círculos tangentes son comunes para los tres pares de círculos dados, todos sus centros homotéticos pertenecen al eje radical de C1 y C2, por ejemplo, se encuentran en una sola línea.

Esta propiedad se explota en la solución general ideada por Joseph Diaz Gergonne para el problema de Apolonio.

Figura 1: El punto O es un centro de homotecia externo de los dos triángulos. El tamaño de cada figura es proporcional a su distancia al centro de homotecia.
Figura 2: Dos figuras geométricas relacionadas por un centro de homotecia externo S . Los ángulos en puntos correspondientes son los mismos y tienen el mismo sentido; por ejemplo, los ángulos ABC y A'B'C' giran en sentido antihorario y tienen igual magnitud.
Los centros de homotecia externo (arriba) e interno (abajo) de los dos círculos (rojo) figuran como puntos en color negro.
Figura 3: Dos círculos poseen los dos tipos de centros de homotecia, el interno ( I ) y el externo ( E ). Sus radios ( r 1 y r 2 ) son proporcionales a la distancia (d) al centro de homotecia. Los puntos A 1 y A 2 son homotéticos, al igual que los puntos B 1 y B 2 .
Figura 4: Rectas a través de sus correspondientes puntos antihomólogos se cortan en el eje radical de los dos círculos dados (verde y azul). Los puntos Q y P′ son antihomólogos, como S y R′ . Estos cuatro puntos yacen en una circunferencia que interseca los dos círculos dados; las rectas a través de los puntos de intersección del nuevo círculo con los dos círculos dados deben cortarse en el centro radical G de los tres círculos, que descansa sobre el eje radical de los dos círculos dados.
Figura 5: Cada círculo que es tangente a dos círculos dados, los toca en un par de puntos antihomólogos.
Figura 6: Familia de círculos tangentes por el centro homotético externo.
Figura 7: Familia de círculos tangentes por el centro homotético interno.
Figura 8: El eje radical de los círculos tangentes pasa por el centro radical.
Figura 9: En una configuración con tres círculos, tres centros homotéticos (uno por cada par de círculos) descansan sobre la misma recta.
Figura 10: Los seis centros homotéticos (puntos) de tres círculos yacen en cuatro líneas rectas (trazos finos).
Figura 11: La línea azul es el eje radical de los dos círculos tangentes C 1 y C 2 (rosa). Cada par de círculos dados given posee un centro de homotecia que pertenece al eje radical de los dos círculos tangentes. Dado que el eje radical es una recta , esto significa que estos tres centros homotéticos son colineales.