Círculos de Malfatti
El propio Malfatti obtuvo una fórmula para los radios de los tres círculos.
[1] Malfatti publicaba en italiano, por lo que su obra original no tuvo mucha difusión.
Fue popularizado para un público más amplio al ser traducido al francés por Joseph Diaz Gergonne en el primer volumen de sus Annales (1810/11), con una discusión más en los tomos segundo y décimo.
La conjetura es incorrecta; (Lob y Richmond, 1930), que volvieron al texto original en italiano, observaron que para algunos triángulos se puede obtener un área más grande utilizando un algoritmo voraz que inscribe un solo círculo de radio máximo dentro del triángulo; inscribe un segundo círculo dentro de una de las tres esquinas restantes del triángulo, el que tiene el ángulo más pequeño; e inscribe un tercer círculo dentro de la más grande de las cinco piezas restantes.
(Zalgaller y Los', 1994) clasificaron todas las diferentes maneras en que un conjunto de círculos máximos pueden ser empacados dentro de un triángulo; utilizando su clasificación, demostraron que el algoritmo voraz siempre encuentra tres círculos de maximización del área, y proporcionaron una fórmula para determinar qué disposición es óptima para un triángulo dado.
En su doctorado en 1997, Melissen conjeturó más generalmente que, para cualquier entero n, el algoritmo voraz encuentra el área que maximiza el sistema de n círculos dentro de un triángulo dado; la conjetura se sabe que es cierta para n ≤ 3.
[6] Jakob Bernoulli también se dice que estudió un caso especial del problema, para triángulos isósceles.
[7] Notablemente, en 1826 Jakob Steiner presentó una construcción geométrica simple basada en bitangentes.
Si el problema se generaliza para permitir tangencias de cualquier tipo, entonces un triángulo dado tendrá 32 soluciones diferentes[8] y, a la inversa, un trío de círculos mutuamente tangentes será una solución para ocho triángulos diferentes.
Su intención al hacerlo era mostrar la superioridad de las técnicas sintéticas sobre las analíticas.
[15] Ogilvy, C. Stanley (1990), «Malfatti's problem», Excursions in Geometry, Dover, pp.
