Cuatro vectores

Vector de 4 dimensiones en relatividad.

En relatividad especial , un cuatro vectores (o 4 vectores , a veces un vector de Lorentz ) ^[1] es un objeto con cuatro componentes, que se transforman de una manera específica bajo las transformaciones de Lorentz . Específicamente, un cuatro vectores es un elemento de un espacio vectorial de cuatro dimensiones considerado como un espacio de representación de la representación estándar del grupo de Lorentz , el (1/2,1/2) representación. Se diferencia de un vector euclidiano en cómo se determina su magnitud. Las transformaciones que preservan esta magnitud son las transformaciones de Lorentz, que incluyen rotaciones espaciales y impulsos (un cambio mediante una velocidad constante a otro sistema de referencia inercial ). ^{[2] : canal 1}

Los cuatro vectores describen, por ejemplo, la posición x ^μ en el espacio-tiempo modelado como espacio de Minkowski , el momento de cuatro partículas p ^μ , la amplitud del cuatro potencial electromagnético A ^μ ( x ) en un punto x en el espacio-tiempo, y los elementos de el subespacio abarcado por las matrices gamma dentro del álgebra de Dirac .

El grupo de Lorentz puede representarse mediante matrices Λ de 4×4 . La acción de una transformación de Lorentz sobre un contravariante general de cuatro vectores X (como los ejemplos anteriores), considerado como un vector columna con coordenadas cartesianas con respecto a un marco inercial en las entradas, viene dada por

$${\displaystyle X'=\Lambda X,}$$

(multiplicación de matrices) donde los componentes del objeto preparado se refieren al nuevo marco. En relación con los ejemplos anteriores que se dan como vectores contravariantes, también existen los vectores covariantes correspondientes x _μ , p _μ y A _μ ( x ) . Estos se transforman según la regla.

$${\displaystyle X'=\left(\Lambda ^{-1}\right)^{\textrm {T}}X,}$$

donde ^T denota la transposición de la matriz . Esta regla es diferente de la regla anterior. Corresponde a la representación dual de la representación estándar. Sin embargo, para el grupo de Lorentz el dual de cualquier representación equivale a la representación original. Por tanto, los objetos con índices covariantes también son de cuatro vectores.

Para ver un ejemplo de un objeto de cuatro componentes que se comporta bien en la relatividad especial y que no es un vector de cuatro, consulte bispinor . Se define de manera similar, con la diferencia de que la regla de transformación bajo las transformaciones de Lorentz viene dada por una representación distinta a la representación estándar. En este caso, la regla dice X ′ = Π(Λ) X , donde Π(Λ) es una matriz de 4×4 distinta de Λ . Se aplican observaciones similares a objetos con menos o más componentes que se comportan bien bajo las transformaciones de Lorentz. Estos incluyen escalares , espinores , tensores y espinores-tensores.

El artículo considera cuatro vectores en el contexto de la relatividad especial. Aunque el concepto de cuatro vectores también se extiende a la relatividad general , algunos de los resultados expuestos en este artículo requieren modificaciones en la relatividad general.

Notación

Las notaciones en este artículo son: negrita minúscula para vectores tridimensionales , sombreros para vectores unitarios tridimensionales , negrita mayúscula para vectores de cuatro dimensiones (excepto el de cuatro gradientes) y notación de índice tensorial .

Álgebra de cuatro vectores

Cuatro vectores en una base de valor real

Un A de cuatro vectores es un vector con un componente "temporal" y tres componentes "espaciales", y puede escribirse en varias notaciones equivalentes: ^[3]

$${\displaystyle {\begin{aligned}\mathbf {A} &=\left(A^{0},\,A^{1},\,A^{2},\,A^{3}\right)\\&=A^{0}\mathbf {E} _{0}+A^{1}\mathbf {E} _{1}+A^{2}\mathbf {E} _{2}+A^{3}\mathbf {E} _{3}\\&=A^{0}\mathbf {E} _{0}+A^{i}\mathbf {E} _{i}\\&=A^{\alpha }\mathbf {E} _{\alpha }\end{aligned}}}$$

donde A ^α es el componente de magnitud y E _α es el componente del vector base ; observe que ambos son necesarios para formar un vector, y que cuando A ^α se ve solo, se refiere estrictamente a los componentes del vector.

Los índices superiores indican componentes contravariantes . Aquí la convención estándar es que los índices latinos toman valores para los componentes espaciales, de modo que i = 1, 2, 3, y los índices griegos toman valores para los componentes de espacio y tiempo , por lo que α = 0, 1, 2, 3, usado con la suma convención . La división entre el componente de tiempo y los componentes espaciales es útil al determinar las contracciones de un cuatro vector con otras cantidades tensoriales, como para calcular invariantes de Lorentz en productos internos (se dan ejemplos a continuación), o subir y bajar índices .

En la relatividad especial, la base espacial E ₁ , E ₂ , E ₃ y los componentes A ¹ , A ² , A ³ son a menudo bases y componentes cartesianos :

$${\displaystyle {\begin{aligned}\mathbf {A} &=\left(A_{t},\,A_{x},\,A_{y},\,A_{z}\right)\\&=A_{t}\mathbf {E} _{t}+A_{x}\mathbf {E} _{x}+A_{y}\mathbf {E} _{y}+A_{z}\mathbf {E} _{z}\\\end{aligned}}}$$

aunque, por supuesto, se puede utilizar cualquier otra base y componentes, como por ejemplo coordenadas polares esféricas.

$${\displaystyle {\begin{aligned}\mathbf {A} &=\left(A_{t},\,A_{r},\,A_{\theta },\,A_{\phi }\right)\\&=A_{t}\mathbf {E} _{t}+A_{r}\mathbf {E} _{r}+A_{\theta }\mathbf {E} _{\theta }+A_{\phi }\mathbf {E} _{\phi }\\\end{aligned}}}$$

o coordenadas polares cilíndricas ,

$${\displaystyle {\begin{aligned}\mathbf {A} &=(A_{t},\,A_{r},\,A_{\theta },\,A_{z})\\&=A_{t}\mathbf {E} _{t}+A_{r}\mathbf {E} _{r}+A_{\theta }\mathbf {E} _{\theta }+A_{z}\mathbf {E} _{z}\\\end{aligned}}}$$

o cualquier otra coordenada ortogonal , o incluso coordenadas curvilíneas generales . Tenga en cuenta que las etiquetas de coordenadas siempre tienen subíndices como etiquetas y no son índices que toman valores numéricos. En la relatividad general, se deben utilizar coordenadas curvilíneas locales en forma local. Geométricamente, un cuatro vectores todavía puede interpretarse como una flecha, pero en el espacio-tiempo, no sólo en el espacio. En relatividad, las flechas se dibujan como parte del diagrama de Minkowski (también llamado diagrama de espacio-tiempo ). En este artículo, los cuatro vectores se denominarán simplemente vectores.

También se acostumbra representar las bases mediante vectores columna :

$${\displaystyle \mathbf {E} _{0}={\begin{pmatrix}1\\0\\0\\0\end{pmatrix}}\,,\quad \mathbf {E} _{1}={\begin{pmatrix}0\\1\\0\\0\end{pmatrix}}\,,\quad \mathbf {E} _{2}={\begin{pmatrix}0\\0\\1\\0\end{pmatrix}}\,,\quad \mathbf {E} _{3}={\begin{pmatrix}0\\0\\0\\1\end{pmatrix}}}$$

de modo que:

$${\displaystyle \mathbf {A} ={\begin{pmatrix}A^{0}\\A^{1}\\A^{2}\\A^{3}\end{pmatrix}}}$$

La relación entre las coordenadas covariantes y contravariantes se realiza a través del tensor métrico de Minkowski (denominado métrica), η , que sube y baja los índices de la siguiente manera:

$${\displaystyle A_{\mu }=\eta _{\mu \nu }A^{\nu }\,,}$$

y en varias notaciones equivalentes los componentes covariantes son:

$${\displaystyle {\begin{aligned}\mathbf {A} &=(A_{0},\,A_{1},\,A_{2},\,A_{3})\\&=A_{0}\mathbf {E} ^{0}+A_{1}\mathbf {E} ^{1}+A_{2}\mathbf {E} ^{2}+A_{3}\mathbf {E} ^{3}\\&=A_{0}\mathbf {E} ^{0}+A_{i}\mathbf {E} ^{i}\\&=A_{\alpha }\mathbf {E} ^{\alpha }\\\end{aligned}}}$$

donde el índice reducido indica que es covariante . A menudo la métrica es diagonal, como es el caso de las coordenadas ortogonales (ver elemento lineal ), pero no en las coordenadas curvilíneas generales .

Las bases se pueden representar mediante vectores fila :

$${\displaystyle \mathbf {E} ^{0}={\begin{pmatrix}1&0&0&0\end{pmatrix}}\,,\quad \mathbf {E} ^{1}={\begin{pmatrix}0&1&0&0\end{pmatrix}}\,,\quad \mathbf {E} ^{2}={\begin{pmatrix}0&0&1&0\end{pmatrix}}\,,\quad \mathbf {E} ^{3}={\begin{pmatrix}0&0&0&1\end{pmatrix}}}$$

$${\displaystyle \mathbf {A} ={\begin{pmatrix}A_{0}&A_{1}&A_{2}&A_{3}\end{pmatrix}}}$$

La motivación para las convenciones anteriores es que el producto interno es un escalar; consulte los detalles a continuación.

Transformación de Lorentz

Dados dos sistemas de referencia inerciales o rotados , un cuatro vectores se define como una cantidad que se transforma según la matriz  de transformación de Lorentz Λ :

$${\displaystyle \mathbf {A} '={\boldsymbol {\Lambda }}\mathbf {A} }$$

En notación de índice, los componentes contravariante y covariante se transforman según, respectivamente:

$${\displaystyle {A'}^{\mu }=\Lambda ^{\mu }{}_{\nu }A^{\nu }\,,\quad {A'}_{\mu }=\Lambda _{\mu }{}^{\nu }A_{\nu }}$$

ΛΛ ^μ _νμν( Λ ⁻¹ ) ^TΛ _μ ^νμν

Para conocer los antecedentes sobre la naturaleza de esta definición de transformación, consulte tensor . Todos los cuatro vectores se transforman de la misma manera, y esto se puede generalizar a tensores relativistas de cuatro dimensiones; ver relatividad especial .

Rotaciones puras alrededor de un eje arbitrario.

Para dos cuadros girados en un ángulo fijo θ alrededor de un eje definido por el vector unitario :

$${\displaystyle {\hat {\mathbf {n} }}=\left({\hat {n}}_{1},{\hat {n}}_{2},{\hat {n}}_{3}\right)\,,}$$

sin ningún impulso, la matriz Λ tiene componentes dadas por: ^[4]

$${\displaystyle {\begin{aligned}\Lambda _{00}&=1\\\Lambda _{0i}=\Lambda _{i0}&=0\\\Lambda _{ij}&=\left(\delta _{ij}-{\hat {n}}_{i}{\hat {n}}_{j}\right)\cos \theta -\varepsilon _{ijk}{\hat {n}}_{k}\sin \theta +{\hat {n}}_{i}{\hat {n}}_{j}\end{aligned}}}$$

donde δ _ij es el delta de Kronecker y ε _ijk es el símbolo tridimensional de Levi-Civita . Los componentes espaciales de los cuatro vectores se rotan, mientras que los componentes temporales permanecen sin cambios.

Para el caso de rotaciones alrededor del eje z únicamente, la parte espacial de la matriz de Lorentz se reduce a la matriz de rotación alrededor del eje z :

$${\displaystyle {\begin{pmatrix}{A'}^{0}\\{A'}^{1}\\{A'}^{2}\\{A'}^{3}\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}1&0&0&0\\0&\cos \theta &-\sin \theta &0\\0&\sin \theta &\cos \theta &0\\0&0&0&1\\\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}A^{0}\\A^{1}\\A^{2}\\A^{3}\end{pmatrix}}\ .}$$

Impulsos puros en una dirección arbitraria

Configuración estándar de sistemas de coordenadas; para un impulso de Lorentz en la dirección x .

Para dos marcos que se mueven a tres velocidades relativas constantes v (no a cuatro velocidades, ver más abajo), es conveniente denotar y definir la velocidad relativa en unidades de c mediante:

$${\displaystyle {\boldsymbol {\beta }}=(\beta _{1},\,\beta _{2},\,\beta _{3})={\frac {1}{c}}(v_{1},\,v_{2},\,v_{3})={\frac {1}{c}}\mathbf {v} \,.}$$

Entonces sin rotaciones, la matriz Λ tiene componentes dadas por: ^[5]

$${\displaystyle {\begin{aligned}\Lambda _{00}&=\gamma ,\\\Lambda _{0i}=\Lambda _{i0}&=-\gamma \beta _{i},\\\Lambda _{ij}=\Lambda _{ji}&=(\gamma -1){\frac {\beta _{i}\beta _{j}}{\beta ^{2}}}+\delta _{ij}=(\gamma -1){\frac {v_{i}v_{j}}{v^{2}}}+\delta _{ij},\\\end{aligned}}}$$

factor de Lorentz

$${\displaystyle \gamma ={\frac {1}{\sqrt {1-{\boldsymbol {\beta }}\cdot {\boldsymbol {\beta }}}}}\,,}$$

δ _ijdelta de Kronecker

Para el caso de un impulso únicamente en la dirección x , la matriz se reduce a; ^{[6] [7]}

$${\displaystyle {\begin{pmatrix}A'^{0}\\A'^{1}\\A'^{2}\\A'^{3}\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}\cosh \phi &-\sinh \phi &0&0\\-\sinh \phi &\cosh \phi &0&0\\0&0&1&0\\0&0&0&1\\\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}A^{0}\\A^{1}\\A^{2}\\A^{3}\end{pmatrix}}}$$

Donde se ha utilizado la expresión de rapidez ϕ , escrita en términos de funciones hiperbólicas :

$${\displaystyle \gamma =\cosh \phi }$$

Esta matriz de Lorentz ilustra que el impulso es una rotación hiperbólica en un espacio-tiempo de cuatro dimensiones, análoga a la rotación circular de arriba en un espacio tridimensional.

Propiedades

Linealidad

Los cuatro vectores tienen las mismas propiedades de linealidad que los vectores euclidianos en tres dimensiones . Se pueden añadir de la forma habitual:

$${\displaystyle \mathbf {A} +\mathbf {B} =\left(A^{0},A^{1},A^{2},A^{3}\right)+\left(B^{0},B^{1},B^{2},B^{3}\right)=\left(A^{0}+B^{0},A^{1}+B^{1},A^{2}+B^{2},A^{3}+B^{3}\right)}$$

la multiplicación escalarescalar λ

$${\displaystyle \lambda \mathbf {A} =\lambda \left(A^{0},A^{1},A^{2},A^{3}\right)=\left(\lambda A^{0},\lambda A^{1},\lambda A^{2},\lambda A^{3}\right)}$$

Entonces la resta es la operación inversa de la suma, definida de entrada por:

$${\displaystyle \mathbf {A} +(-1)\mathbf {B} =\left(A^{0},A^{1},A^{2},A^{3}\right)+(-1)\left(B^{0},B^{1},B^{2},B^{3}\right)=\left(A^{0}-B^{0},A^{1}-B^{1},A^{2}-B^{2},A^{3}-B^{3}\right)}$$

tensor de minkowski

Aplicando el tensor de Minkowski η _μν a dos cuatro vectores A y B , escribiendo el resultado en notación de producto escalar , tenemos, usando la notación de Einstein :

$${\displaystyle \mathbf {A} \cdot \mathbf {B} =A^{\mu }B^{\nu }\mathbf {E} _{\mu }\cdot \mathbf {E} _{\nu }=A^{\mu }\eta _{\mu \nu }B^{\nu }}$$

en relatividad especial. El producto escalar de los vectores base es la métrica de Minkowski, a diferencia del delta de Kronecker como en el espacio euclidiano. Es conveniente reescribir la definición en forma matricial :

$${\displaystyle \mathbf {A\cdot B} ={\begin{pmatrix}A^{0}&A^{1}&A^{2}&A^{3}\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}\eta _{00}&\eta _{01}&\eta _{02}&\eta _{03}\\\eta _{10}&\eta _{11}&\eta _{12}&\eta _{13}\\\eta _{20}&\eta _{21}&\eta _{22}&\eta _{23}\\\eta _{30}&\eta _{31}&\eta _{32}&\eta _{33}\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}B^{0}\\B^{1}\\B^{2}\\B^{3}\end{pmatrix}}}$$

η _μνμνmétrica euclidianafirma de la métricaAB. AB

$${\displaystyle \mathbf {A} \cdot \mathbf {B} =A^{\mu }\eta _{\mu \nu }B^{\nu }=A_{\nu }B^{\nu }=A^{\mu }B_{\mu }}$$

$${\displaystyle \mathbf {A} \cdot \mathbf {B} ={\begin{pmatrix}A_{0}&A_{1}&A_{2}&A_{3}\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}B^{0}\\B^{1}\\B^{2}\\B^{3}\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}B_{0}&B_{1}&B_{2}&B_{3}\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}A^{0}\\A^{1}\\A^{2}\\A^{3}\end{pmatrix}}}$$

AB

$${\displaystyle \mathbf {A} \cdot \mathbf {B} =A_{\mu }\eta ^{\mu \nu }B_{\nu }}$$

Aplicando el tensor de Minkowski a un cuatro vectores A consigo mismo obtenemos:

$${\displaystyle \mathbf {A\cdot A} =A^{\mu }\eta _{\mu \nu }A^{\nu }}$$

A continuación se presentan dos opciones comunes para el tensor métrico en base estándar (esencialmente coordenadas cartesianas). Si se utilizan coordenadas ortogonales, habría factores de escala a lo largo de la parte diagonal de la parte espacial de la métrica, mientras que para coordenadas curvilíneas generales toda la parte espacial de la métrica tendría componentes dependientes de la base curvilínea utilizada.

Base estándar, (+−−−) firma

En la firma métrica (+−−−) , la evaluación de la suma de los índices da:

$${\displaystyle \mathbf {A} \cdot \mathbf {B} =A^{0}B^{0}-A^{1}B^{1}-A^{2}B^{2}-A^{3}B^{3}}$$

$${\displaystyle \mathbf {A\cdot B} ={\begin{pmatrix}A^{0}&A^{1}&A^{2}&A^{3}\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}1&0&0&0\\0&-1&0&0\\0&0&-1&0\\0&0&0&-1\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}B^{0}\\B^{1}\\B^{2}\\B^{3}\end{pmatrix}}}$$

Es un tema recurrente en la relatividad especial tomar la expresión

$${\displaystyle \mathbf {A} \cdot \mathbf {B} =A^{0}B^{0}-A^{1}B^{1}-A^{2}B^{2}-A^{3}B^{3}=C}$$

sistema de referenciaC

$${\displaystyle \mathbf {A} '\cdot \mathbf {B} '={A'}^{0}{B'}^{0}-{A'}^{1}{B'}^{1}-{A'}^{2}{B'}^{2}-{A'}^{3}{B'}^{3}=C'}$$

C

$${\displaystyle \mathbf {A} \cdot \mathbf {B} =\mathbf {A} '\cdot \mathbf {B} '}$$

$${\displaystyle C=A^{0}B^{0}-A^{1}B^{1}-A^{2}B^{2}-A^{3}B^{3}={A'}^{0}{B'}^{0}-{A'}^{1}{B'}^{1}-{A'}^{2}{B'}^{2}-{A'}^{3}{B'}^{3}}$$

Considerando que las cantidades físicas en la relatividad son cuatro vectores, esta ecuación tiene la apariencia de una " ley de conservación ", pero no hay ninguna "conservación" involucrada. El significado principal del producto interno de Minkowski es que para dos cuatro vectores cualesquiera, su valor es invariante para todos los observadores; un cambio de coordenadas no da como resultado un cambio en el valor del producto interno. Los componentes de los cuatro vectores cambian de un cuadro a otro; A y A ′ están conectados por una transformación de Lorentz , y de manera similar para B y B ′, aunque los productos internos son los mismos en todos los marcos. Sin embargo, este tipo de expresión se explota en cálculos relativistas a la par de las leyes de conservación, ya que las magnitudes de los componentes se pueden determinar sin realizar explícitamente ninguna transformación de Lorentz. Un ejemplo particular es el de la energía y el momento en la relación energía-momento derivada del vector de cuatro momentos (ver también más abajo).

En esta firma tenemos:

$${\displaystyle \mathbf {A\cdot A} =\left(A^{0}\right)^{2}-\left(A^{1}\right)^{2}-\left(A^{2}\right)^{2}-\left(A^{3}\right)^{2}}$$

Con la firma (+−−−), los cuatro vectores pueden clasificarse como vectores espaciales if , temporales if y nulos if . ${\displaystyle \mathbf {A\cdot A} <0}$ ${\displaystyle \mathbf {A\cdot A} >0}$ ${\displaystyle \mathbf {A\cdot A} =0}$

Base estándar, firma (−+++)

Algunos autores definen η con el signo opuesto, en cuyo caso tenemos la firma métrica (−+++). Evaluando la suma con esta firma:

$${\displaystyle \mathbf {A\cdot B} =-A^{0}B^{0}+A^{1}B^{1}+A^{2}B^{2}+A^{3}B^{3}}$$

mientras que la forma matricial es:

$${\displaystyle \mathbf {A\cdot B} =\left({\begin{matrix}A^{0}&A^{1}&A^{2}&A^{3}\end{matrix}}\right)\left({\begin{matrix}-1&0&0&0\\0&1&0&0\\0&0&1&0\\0&0&0&1\end{matrix}}\right)\left({\begin{matrix}B^{0}\\B^{1}\\B^{2}\\B^{3}\end{matrix}}\right)}$$

Tenga en cuenta que en este caso, en un cuadro:

$${\displaystyle \mathbf {A} \cdot \mathbf {B} =-A^{0}B^{0}+A^{1}B^{1}+A^{2}B^{2}+A^{3}B^{3}=-C}$$

mientras que en otro:

$${\displaystyle \mathbf {A} '\cdot \mathbf {B} '=-{A'}^{0}{B'}^{0}+{A'}^{1}{B'}^{1}+{A'}^{2}{B'}^{2}+{A'}^{3}{B'}^{3}=-C'}$$

de modo que:

$${\displaystyle -C=-A^{0}B^{0}+A^{1}B^{1}+A^{2}B^{2}+A^{3}B^{3}=-{A'}^{0}{B'}^{0}+{A'}^{1}{B'}^{1}+{A'}^{2}{B'}^{2}+{A'}^{3}{B'}^{3}}$$

que es equivalente a la expresión anterior para C en términos de A y B. Cualquiera de las dos convenciones funcionará. Con la métrica de Minkowski definida de las dos formas anteriores, la única diferencia entre los componentes de cuatro vectores covariantes y contravariantes son los signos, por lo tanto, los signos dependen de qué convención de signos se utilice.

Tenemos:

$${\displaystyle \mathbf {A\cdot A} =-\left(A^{0}\right)^{2}+\left(A^{1}\right)^{2}+\left(A^{2}\right)^{2}+\left(A^{3}\right)^{2}}$$

Con la firma (−+++), los cuatro vectores pueden clasificarse como if espaciales , if temporales y if nulos . ${\displaystyle \mathbf {A\cdot A} >0}$ ${\displaystyle \mathbf {A\cdot A} <0}$ ${\displaystyle \mathbf {A\cdot A} =0}$

Vectores duales

La aplicación del tensor de Minkowski a menudo se expresa como el efecto del vector dual de un vector sobre el otro:

$${\displaystyle \mathbf {A\cdot B} =A^{*}(\mathbf {B} )=A{_{\nu }}B^{\nu }.}$$

Aquí las A _ν s son las componentes del vector dual A * de A en la base dual y se denominan coordenadas covariantes de A , mientras que las componentes originales de A ^ν se denominan coordenadas contravariantes .

Cálculo de cuatro vectores

Derivados y diferenciales

En la relatividad especial (pero no en la relatividad general), la derivada de un cuatro vectores con respecto a un escalar λ (invariante) es en sí mismo un cuatro vectores. También es útil tomar el diferencial de los cuatro vectores, d A , y dividirlo por el diferencial del escalar, dλ :

$${\displaystyle {\underset {\text{differential}}{d\mathbf {A} }}={\underset {\text{derivative}}{\frac {d\mathbf {A} }{d\lambda }}}{\underset {\text{differential}}{d\lambda }}}$$

donde los componentes contravariantes son:

$${\displaystyle d\mathbf {A} =\left(dA^{0},dA^{1},dA^{2},dA^{3}\right)}$$

mientras que los componentes covariantes son:

$${\displaystyle d\mathbf {A} =\left(dA_{0},dA_{1},dA_{2},dA_{3}\right)}$$

En mecánica relativista, a menudo se toma el diferencial de un cuatro vectores y se divide por el diferencial en el tiempo adecuado (ver más abajo).

Cuatro vectores fundamentales

Cuatro posiciones

Un punto en el espacio de Minkowski es una posición espacial y temporal, llamada "evento", o, a veces, la posición de cuatro vectores o de cuatro posiciones o de 4 posiciones, descrita en algún marco de referencia mediante un conjunto de cuatro coordenadas:

$${\displaystyle \mathbf {R} =\left(ct,\mathbf {r} \right)}$$

donde r es el vector de posición espacial tridimensional . Si r es una función del tiempo coordenado t en el mismo cuadro, es decir, r = r ( t ), esto corresponde a una secuencia de eventos a medida que t varía. La definición R ⁰ = ct asegura que todas las coordenadas tengan las mismas unidades (de distancia). ^{[8] [9] [10]} Estas coordenadas son los componentes del cuatro vector de posición para el evento.

El desplazamiento de cuatro vectores se define como una "flecha" que une dos eventos:

$${\displaystyle \Delta \mathbf {R} =\left(c\Delta t,\Delta \mathbf {r} \right)}$$

Para el diferencial de cuatro posiciones en una línea mundial tenemos, usando una notación normal :

$${\displaystyle \|d\mathbf {R} \|^{2}=\mathbf {dR\cdot dR} =dR^{\mu }dR_{\mu }=c^{2}d\tau ^{2}=ds^{2}\,,}$$

definiendo el elemento de línea diferencial d s y el incremento de tiempo propio diferencial d τ , pero esta "norma" también es:

$${\displaystyle \|d\mathbf {R} \|^{2}=(cdt)^{2}-d\mathbf {r} \cdot d\mathbf {r} \,,}$$

de modo que:

$${\displaystyle (cd\tau )^{2}=(cdt)^{2}-d\mathbf {r} \cdot d\mathbf {r} \,.}$$

Al considerar los fenómenos físicos, las ecuaciones diferenciales surgen de forma natural; sin embargo, al considerar las derivadas de funciones en el espacio y el tiempo, no está claro con respecto a qué sistema de referencia se toman estas derivadas. Se acuerda que se tomen derivadas del tiempo respecto del tiempo propio . Como el tiempo propio es una invariante, esto garantiza que la derivada del tiempo propio de cualquier cuatro vectores sea en sí misma un cuatro vectores. Entonces es importante encontrar una relación entre esta derivada del tiempo propio y otra derivada del tiempo (utilizando el tiempo de coordenadas t de un sistema de referencia inercial). Esta relación se obtiene tomando el intervalo espacio-temporal invariante diferencial anterior y luego dividiéndolo por ( cdt ) ² para obtener: ${\displaystyle \tau }$

$${\displaystyle \left({\frac {cd\tau }{cdt}}\right)^{2}=1-\left({\frac {d\mathbf {r} }{cdt}}\cdot {\frac {d\mathbf {r} }{cdt}}\right)=1-{\frac {\mathbf {u} \cdot \mathbf {u} }{c^{2}}}={\frac {1}{\gamma (\mathbf {u} )^{2}}}\,,}$$

donde u = d r / dt es la coordenada 3- velocidad de un objeto medida en el mismo marco que las coordenadas x , y , z , y la coordenada tiempo t , y

$${\displaystyle \gamma (\mathbf {u} )={\frac {1}{\sqrt {1-{\frac {\mathbf {u} \cdot \mathbf {u} }{c^{2}}}}}}}$$

es el factor de Lorentz . Esto proporciona una relación útil entre los diferenciales en el tiempo de coordenadas y el tiempo propio:

$${\displaystyle dt=\gamma (\mathbf {u} )d\tau \,.}$$

Esta relación también se puede encontrar a partir de la transformación del tiempo en las transformaciones de Lorentz .

Se pueden definir cuatro vectores importantes en la teoría de la relatividad aplicando este diferencial . ${\displaystyle {\frac {d}{d\tau }}}$

cuatro gradiente

Teniendo en cuenta que las derivadas parciales son operadores lineales , se puede formar un gradiente de cuatro a partir de la derivada temporal parcial ∂ / ∂ t y el gradiente espacial ∇. Utilizando la base estándar, en notación indexada y abreviada, los componentes contravariantes son:

$${\displaystyle {\begin{aligned}{\boldsymbol {\partial }}&=\left({\frac {\partial }{\partial x_{0}}},\,-{\frac {\partial }{\partial x_{1}}},\,-{\frac {\partial }{\partial x_{2}}},\,-{\frac {\partial }{\partial x_{3}}}\right)\\&=(\partial ^{0},\,-\partial ^{1},\,-\partial ^{2},\,-\partial ^{3})\\&=\mathbf {E} _{0}\partial ^{0}-\mathbf {E} _{1}\partial ^{1}-\mathbf {E} _{2}\partial ^{2}-\mathbf {E} _{3}\partial ^{3}\\&=\mathbf {E} _{0}\partial ^{0}-\mathbf {E} _{i}\partial ^{i}\\&=\mathbf {E} _{\alpha }\partial ^{\alpha }\\&=\left({\frac {1}{c}}{\frac {\partial }{\partial t}},\,-\nabla \right)\\&=\left({\frac {\partial _{t}}{c}},-\nabla \right)\\&=\mathbf {E} _{0}{\frac {1}{c}}{\frac {\partial }{\partial t}}-\nabla \\\end{aligned}}}$$

Tenga en cuenta que los vectores de base se colocan delante de los componentes, para evitar confusión entre tomar la derivada del vector de base o simplemente indicar que la derivada parcial es un componente de este cuatro vector. Los componentes covariantes son:

$${\displaystyle {\begin{aligned}{\boldsymbol {\partial }}&=\left({\frac {\partial }{\partial x^{0}}},\,{\frac {\partial }{\partial x^{1}}},\,{\frac {\partial }{\partial x^{2}}},\,{\frac {\partial }{\partial x^{3}}}\right)\\&=(\partial _{0},\,\partial _{1},\,\partial _{2},\,\partial _{3})\\&=\mathbf {E} ^{0}\partial _{0}+\mathbf {E} ^{1}\partial _{1}+\mathbf {E} ^{2}\partial _{2}+\mathbf {E} ^{3}\partial _{3}\\&=\mathbf {E} ^{0}\partial _{0}+\mathbf {E} ^{i}\partial _{i}\\&=\mathbf {E} ^{\alpha }\partial _{\alpha }\\&=\left({\frac {1}{c}}{\frac {\partial }{\partial t}},\,\nabla \right)\\&=\left({\frac {\partial _{t}}{c}},\nabla \right)\\&=\mathbf {E} ^{0}{\frac {1}{c}}{\frac {\partial }{\partial t}}+\nabla \\\end{aligned}}}$$

Dado que se trata de un operador, no tiene una "longitud", pero al evaluar el producto interno del operador consigo mismo se obtiene otro operador:

$${\displaystyle \partial ^{\mu }\partial _{\mu }={\frac {1}{c^{2}}}{\frac {\partial ^{2}}{\partial t^{2}}}-\nabla ^{2}={\frac {{\partial _{t}}^{2}}{c^{2}}}-\nabla ^{2}}$$

llamó el operador D'Alembert .

Cinemática

cuatro velocidades

Las cuatro velocidades de una partícula se definen por:

$${\displaystyle \mathbf {U} ={\frac {d\mathbf {X} }{d\tau }}={\frac {d\mathbf {X} }{dt}}{\frac {dt}{d\tau }}=\gamma (\mathbf {u} )\left(c,\mathbf {u} \right),}$$

Geométricamente, U es un vector normalizado tangente a la línea mundial de la partícula. Usando el diferencial de las cuatro posiciones, se puede obtener la magnitud de las cuatro velocidades:

$${\displaystyle \|\mathbf {U} \|^{2}=U^{\mu }U_{\mu }={\frac {dX^{\mu }}{d\tau }}{\frac {dX_{\mu }}{d\tau }}={\frac {dX^{\mu }dX_{\mu }}{d\tau ^{2}}}=c^{2}\,,}$$

En resumen, la magnitud de las cuatro velocidades de cualquier objeto es siempre una constante fija:

$${\displaystyle \|\mathbf {U} \|^{2}=c^{2}}$$

La norma también es:

$${\displaystyle \|\mathbf {U} \|^{2}={\gamma (\mathbf {u} )}^{2}\left(c^{2}-\mathbf {u} \cdot \mathbf {u} \right)\,,}$$

de modo que:

$${\displaystyle c^{2}={\gamma (\mathbf {u} )}^{2}\left(c^{2}-\mathbf {u} \cdot \mathbf {u} \right)\,,}$$

lo que se reduce a la definición del factor de Lorentz .

Las unidades de cuatro velocidades son m/s en el SI y 1 en el sistema de unidades geometrizadas . Las cuatro velocidades son un vector contravariante.

Cuatro aceleraciones

La aceleración cuatro viene dada por:

$${\displaystyle \mathbf {A} ={\frac {d\mathbf {U} }{d\tau }}=\gamma (\mathbf {u} )\left({\frac {d{\gamma }(\mathbf {u} )}{dt}}c,{\frac {d{\gamma }(\mathbf {u} )}{dt}}\mathbf {u} +\gamma (\mathbf {u} )\mathbf {a} \right).}$$

donde a = d u / dt es la coordenada 3-aceleración. Dado que la magnitud de U es constante, las cuatro aceleraciones son ortogonales a las cuatro velocidades, es decir, el producto interno de Minkowski de las cuatro aceleraciones y las cuatro velocidades es cero:

$${\displaystyle \mathbf {A} \cdot \mathbf {U} =A^{\mu }U_{\mu }={\frac {dU^{\mu }}{d\tau }}U_{\mu }={\frac {1}{2}}\,{\frac {d}{d\tau }}\left(U^{\mu }U_{\mu }\right)=0\,}$$

lo cual es cierto para todas las líneas del mundo. El significado geométrico de cuatro aceleraciones es el vector de curvatura de la línea del mundo en el espacio de Minkowski.

Dinámica

Cuatro impulsos

Para una partícula masiva de masa en reposo (o masa invariante ) m ₀ , el momento de cuatro viene dado por:

$${\displaystyle \mathbf {P} =m_{0}\mathbf {U} =m_{0}\gamma (\mathbf {u} )(c,\mathbf {u} )=\left({\frac {E}{c}},\mathbf {p} \right)}$$

donde la energía total de la partícula en movimiento es:

$${\displaystyle E=\gamma (\mathbf {u} )m_{0}c^{2}}$$

y el impulso relativista total es:

$${\displaystyle \mathbf {p} =\gamma (\mathbf {u} )m_{0}\mathbf {u} }$$

Tomando el producto interno del cuatro impulso consigo mismo:

$${\displaystyle \|\mathbf {P} \|^{2}=P^{\mu }P_{\mu }=m_{0}^{2}U^{\mu }U_{\mu }=m_{0}^{2}c^{2}}$$

y también:

$${\displaystyle \|\mathbf {P} \|^{2}={\frac {E^{2}}{c^{2}}}-\mathbf {p} \cdot \mathbf {p} }$$

lo que conduce a la relación energía-momento :

$${\displaystyle E^{2}=c^{2}\mathbf {p} \cdot \mathbf {p} +\left(m_{0}c^{2}\right)^{2}\,.}$$

Esta última relación es útil en la mecánica relativista , esencial en la mecánica cuántica relativista y en la teoría cuántica de campos relativista , todas con aplicaciones a la física de partículas .

cuatro fuerzas

La fuerza cuádruple que actúa sobre una partícula se define de manera análoga a la fuerza 3 como la derivada del tiempo del momento 3 en la segunda ley de Newton :

$${\displaystyle \mathbf {F} ={\frac {d\mathbf {P} }{d\tau }}=\gamma (\mathbf {u} )\left({\frac {1}{c}}{\frac {dE}{dt}},{\frac {d\mathbf {p} }{dt}}\right)=\gamma (\mathbf {u} )\left({\frac {P}{c}},\mathbf {f} \right)}$$

donde P es la potencia transferida para mover la partícula y f es la fuerza 3 que actúa sobre la partícula. Para una partícula de masa invariante constante m ₀ , esto es equivalente a

$${\displaystyle \mathbf {F} =m_{0}\mathbf {A} =m_{0}\gamma (\mathbf {u} )\left({\frac {d{\gamma }(\mathbf {u} )}{dt}}c,\left({\frac {d{\gamma }(\mathbf {u} )}{dt}}\mathbf {u} +\gamma (\mathbf {u} )\mathbf {a} \right)\right)}$$

Una invariante derivada de las cuatro fuerzas es:

$${\displaystyle \mathbf {F} \cdot \mathbf {U} =F^{\mu }U_{\mu }=m_{0}A^{\mu }U_{\mu }=0}$$

del resultado anterior.

Termodinámica

Flujo de cuatro calor

El campo vectorial de flujo de calor de cuatro dimensiones es esencialmente similar al campo vectorial de flujo de calor tridimensional q , en el marco local del fluido: ^[11]

$${\displaystyle \mathbf {Q} =-k{\boldsymbol {\partial }}T=-k\left({\frac {1}{c}}{\frac {\partial T}{\partial t}},\nabla T\right)}$$

donde T es la temperatura absoluta y k es la conductividad térmica .

Flujo numérico de cuatro bariones

El flujo de bariones es: ^[12]

$${\displaystyle \mathbf {S} =n\mathbf {U} }$$

ndensidad numéricabarionessistema de reposoantibarionesUde cuatro velocidades

cuatro entropía

El vector de cuatro entropías está definido por: ^[13]

$${\displaystyle \mathbf {s} =s\mathbf {S} +{\frac {\mathbf {Q} }{T}}}$$

sTtemperatura absoluta^[14]

Electromagnetismo

Ejemplos de cuatro vectores en electromagnetismo incluyen los siguientes.

cuatro corrientes

Las cuatro corrientes electromagnéticas (o más correctamente una densidad de cuatro corrientes) ^[15] se define por

$${\displaystyle \mathbf {J} =\left(\rho c,\mathbf {j} \right)}$$

densidad de corriente jla densidad de carga ρ

Cuatro potenciales

El cuatro potencial electromagnético (o más correctamente un potencial vectorial de cuatro EM) definido por

$${\displaystyle \mathbf {A} =\left({\frac {\phi }{c}},\mathbf {a} \right)}$$

potencial vectorial aϕ

El potencial de cuatro no está determinado de forma única, porque depende de la elección del calibre .

En la ecuación de onda del campo electromagnético:

• En el vacío,
  $${\displaystyle ({\boldsymbol {\partial }}\cdot {\boldsymbol {\partial }})\mathbf {A} =0}$$
• Con una fuente de cuatro corrientes y utilizando la condición de calibre de Lorenz , ${\displaystyle ({\boldsymbol {\partial }}\cdot \mathbf {A} )=0}$
  $${\displaystyle ({\boldsymbol {\partial }}\cdot {\boldsymbol {\partial }})\mathbf {A} =\mu _{0}\mathbf {J} }$$

Ondas

Cuatro frecuencias

Una onda plana fotónica se puede describir mediante las cuatro frecuencias definidas como

$${\displaystyle \mathbf {N} =\nu \left(1,{\hat {\mathbf {n} }}\right)}$$

donde ν es la frecuencia de la onda y es un vector unitario en la dirección de viaje de la onda. Ahora: ${\displaystyle {\hat {\mathbf {n} }}}$

$${\displaystyle \|\mathbf {N} \|=N^{\mu }N_{\mu }=\nu ^{2}\left(1-{\hat {\mathbf {n} }}\cdot {\hat {\mathbf {n} }}\right)=0}$$

entonces las cuatro frecuencias de un fotón son siempre un vector nulo.

Vector de cuatro ondas

Las cantidades recíprocas al tiempo t y al espacio r son la frecuencia angular ω y el vector de onda angular k , respectivamente. Forman los componentes del vector de cuatro ondas o del cuatro vector de ondas:

$${\displaystyle \mathbf {K} =\left({\frac {\omega }{c}},{\vec {\mathbf {k} }}\right)=\left({\frac {\omega }{c}},{\frac {\omega }{v_{p}}}{\hat {\mathbf {n} }}\right)\,.}$$

Un paquete de ondas de luz casi monocromática se puede describir mediante:

$${\displaystyle \mathbf {K} ={\frac {2\pi }{c}}\mathbf {N} ={\frac {2\pi }{c}}\nu \left(1,{\hat {\mathbf {n} }}\right)={\frac {\omega }{c}}\left(1,{\hat {\mathbf {n} }}\right)~.}$$

Las relaciones de De Broglie mostraron entonces que el vector de cuatro ondas se aplicaba tanto a las ondas de materia como a las ondas de luz:

$${\displaystyle \mathbf {P} =\hbar \mathbf {K} =\left({\frac {E}{c}},{\vec {p}}\right)=\hbar \left({\frac {\omega }{c}},{\vec {k}}\right)~.}$$

ħconstante de Planck2 π ${\displaystyle E=\hbar \omega }$ ${\displaystyle {\vec {p}}=\hbar {\vec {k}}}$

El cuadrado de la norma es:

$${\displaystyle \|\mathbf {K} \|^{2}=K^{\mu }K_{\mu }=\left({\frac {\omega }{c}}\right)^{2}-\mathbf {k} \cdot \mathbf {k} \,,}$$

$${\displaystyle \|\mathbf {K} \|^{2}={\frac {1}{\hbar ^{2}}}\|\mathbf {P} \|^{2}=\left({\frac {m_{0}c}{\hbar }}\right)^{2}\,,}$$

$${\displaystyle \left({\frac {\omega }{c}}\right)^{2}-\mathbf {k} \cdot \mathbf {k} =\left({\frac {m_{0}c}{\hbar }}\right)^{2}~.}$$

Tenga en cuenta que para partículas sin masa, en cuyo caso m ₀ = 0 , tenemos:

$${\displaystyle \left({\frac {\omega }{c}}\right)^{2}=\mathbf {k} \cdot \mathbf {k} \,,}$$

‖ k ‖ = ω / cω/c , ${\displaystyle \ {\hat {\mathbf {n} }}~.}$

Teoría cuántica

Corriente de cuatro probabilidades

En mecánica cuántica , la corriente de cuatro probabilidades o la cuatro corriente de probabilidad es análoga a la cuatro corriente electromagnética : ^[16]

$${\displaystyle \mathbf {J} =(\rho c,\mathbf {j} )}$$

ρfunción de densidad de probabilidadjde probabilidad actual . la mecánica cuántica relativistala teoría cuántica de campos

Reemplazando la energía por el operador de energía y el momento por el operador de momento en los cuatro momentos, se obtiene el operador de cuatro momentos , utilizado en las ecuaciones de onda relativistas .

cuatro giros

El cuatro espín de una partícula se define en el sistema de reposo de una partícula como

$${\displaystyle \mathbf {S} =(0,\mathbf {s} )}$$

sde espín

La norma al cuadrado es la magnitud (negativa de) al cuadrado del espín, y según la mecánica cuántica tenemos

$${\displaystyle \|\mathbf {S} \|^{2}=-|\mathbf {s} |^{2}=-\hbar ^{2}s(s+1)}$$

Este valor es observable y cuantificado, siendo s el número cuántico de espín (no la magnitud del vector de espín).

Otras formulaciones

Cuatro vectores en el álgebra del espacio físico.

Un A de cuatro vectores también se puede definir utilizando las matrices de Pauli como base , nuevamente en varias notaciones equivalentes: ^[17]

$${\displaystyle {\begin{aligned}\mathbf {A} &=\left(A^{0},\,A^{1},\,A^{2},\,A^{3}\right)\\&=A^{0}{\boldsymbol {\sigma }}_{0}+A^{1}{\boldsymbol {\sigma }}_{1}+A^{2}{\boldsymbol {\sigma }}_{2}+A^{3}{\boldsymbol {\sigma }}_{3}\\&=A^{0}{\boldsymbol {\sigma }}_{0}+A^{i}{\boldsymbol {\sigma }}_{i}\\&=A^{\alpha }{\boldsymbol {\sigma }}_{\alpha }\\\end{aligned}}}$$

$${\displaystyle {\begin{aligned}\mathbf {A} &=A^{0}{\begin{pmatrix}1&0\\0&1\end{pmatrix}}+A^{1}{\begin{pmatrix}0&1\\1&0\end{pmatrix}}+A^{2}{\begin{pmatrix}0&-i\\i&0\end{pmatrix}}+A^{3}{\begin{pmatrix}1&0\\0&-1\end{pmatrix}}\\&={\begin{pmatrix}A^{0}+A^{3}&A^{1}-iA^{2}\\A^{1}+iA^{2}&A^{0}-A^{3}\end{pmatrix}}\end{aligned}}}$$

matriz hermitianatransposición de la matrizel conjugado complejodeterminante

$${\displaystyle {\begin{aligned}|\mathbf {A} |&={\begin{vmatrix}A^{0}+A^{3}&A^{1}-iA^{2}\\A^{1}+iA^{2}&A^{0}-A^{3}\end{vmatrix}}\\&=\left(A^{0}+A^{3}\right)\left(A^{0}-A^{3}\right)-\left(A^{1}-iA^{2}\right)\left(A^{1}+iA^{2}\right)\\&=\left(A^{0}\right)^{2}-\left(A^{1}\right)^{2}-\left(A^{2}\right)^{2}-\left(A^{3}\right)^{2}\end{aligned}}}$$

Esta idea de utilizar las matrices de Pauli como vectores base se emplea en el álgebra del espacio físico , un ejemplo de álgebra de Clifford .

Cuatro vectores en álgebra espacio-temporal

En el álgebra del espacio-tiempo , otro ejemplo del álgebra de Clifford, las matrices gamma también pueden formar una base . (También se les llama matrices de Dirac, debido a su aparición en la ecuación de Dirac ). Hay más de una forma de expresar las matrices gamma, que se detallan en ese artículo principal.

La notación de barra diagonal de Feynman es una abreviatura de una A de cuatro vectores contraída con las matrices gamma:

$${\displaystyle \mathbf {A} \!\!\!\!/=A_{\alpha }\gamma ^{\alpha }=A_{0}\gamma ^{0}+A_{1}\gamma ^{1}+A_{2}\gamma ^{2}+A_{3}\gamma ^{3}}$$

El cuatro momento contraído con las matrices gamma es un caso importante en la mecánica cuántica relativista y la teoría cuántica de campos relativista . En la ecuación de Dirac y otras ecuaciones de ondas relativistas , términos de la forma:

$${\displaystyle \mathbf {P} \!\!\!\!/=P_{\alpha }\gamma ^{\alpha }=P_{0}\gamma ^{0}+P_{1}\gamma ^{1}+P_{2}\gamma ^{2}+P_{3}\gamma ^{3}={\dfrac {E}{c}}\gamma ^{0}-p_{x}\gamma ^{1}-p_{y}\gamma ^{2}-p_{z}\gamma ^{3}}$$

E( p _x , p _y , p _z )operadores

Ver también

• Introducción básica a las matemáticas del espacio-tiempo curvo.
• Polvo (relatividad) para el cuatro vector de flujo numérico
• espacio de minkowski
• Paravector
• Mecánica relativista
• Vector de onda

Referencias

1. Rindler, W. Introducción a la relatividad especial (2ª ed.) (1991) Clarendon Press Oxford ISBN  0-19-853952-5
2. Sibel Baskal; Young S Kim; Marilyn E Noz (1 de noviembre de 2015). Física del Grupo Lorentz . Editores Morgan y Claypool. ISBN 978-1-68174-062-1.
3. Relatividad desmitificada, D. McMahon, Mc Graw Hill (BSA), 2006, ISBN 0-07-145545-0 
4. CB Parker (1994). Enciclopedia de Física McGraw Hill (2ª ed.). McGraw-Hill. pag. 1333.ISBN _ 0-07-051400-3.
5. Gravitación, JB Wheeler, C. Misner, KS Thorne, WH Freeman & Co, 1973, ISAN 0-7167-0344-0
6. Dinámica y relatividad, JR Forshaw, BG Smith, Wiley, 2009, ISAN 978-0-470-01460-8
7. Relatividad desmitificada, D. McMahon, Mc Graw Hill (ASB), 2006, ISAN 0-07-145545-0
8. Jean-Bernard Zuber y Claude Itzykson, Teoría cuántica de campos , página 5, ISBN 0-07-032071-3 
9. Charles W. Misner , Kip S. Thorne y John A. Wheeler , Gravitación , página 51, ISBN 0-7167-0344-0 
10. George Sterman , Introducción a la teoría cuántica de campos , página 4, ISBN 0-521-31132-2 
11. Ali, YM; Zhang, LC (2005). "Conducción de calor relativista". En t. J. Transmisión de calor y masa . 48 (12): 2397–2406. doi :10.1016/j.ijheatmasstransfer.2005.02.003.
12. JA Wheeler; C. Misner; KS Thorne (1973). Gravitación . WH Freeman & Co. págs. 558–559. ISBN 0-7167-0344-0.
13. JA Wheeler; C. Misner; KS Thorne (1973). Gravitación . WH Freeman & Co. pág. 567.ISBN _ 0-7167-0344-0.
14. JA Wheeler; C. Misner; KS Thorne (1973). Gravitación . WH Freeman & Co. pág. 558.ISBN _ 0-7167-0344-0.
15. Rindler, Wolfgang (1991). Introducción a la relatividad especial (2ª ed.). Publicaciones científicas de Oxford. págs. 103-107. ISBN 0-19-853952-5.
16. Vladimir G. Ivancevic, Tijana T. Ivancevic (2008) Salto cuántico: de Dirac y Feynman, a través del universo, al cuerpo y la mente humanos . Compañía Editorial Científica Mundial, ISBN 978-981-281-927-7 , pág. 41 
17. JA Wheeler; C. Misner; KS Thorne (1973). Gravitación . WH Freeman & Co. págs. 1142-1143. ISBN 0-7167-0344-0.

• Rindler, W. Introducción a la relatividad especial (2ª ed.) (1991) Clarendon Press Oxford ISBN 0-19-853952-5