cuatro velocidades

Análogo de la velocidad en el espacio-tiempo de cuatro dimensiones.

En física , en particular en relatividad especial y relatividad general , una cuatro velocidades es un cuatro vectores en el espacio -tiempo de cuatro dimensiones ^{[nb 1]} que representa la contraparte relativista de la velocidad , que es un vector tridimensional en el espacio.

Los eventos físicos corresponden a puntos matemáticos en el tiempo y el espacio, y el conjunto de todos ellos forma un modelo matemático del espacio-tiempo físico de cuatro dimensiones. La historia de un objeto traza una curva en el espacio-tiempo, llamada línea del mundo . Si el objeto tiene masa , de modo que su velocidad es necesariamente menor que la velocidad de la luz , la línea del mundo puede parametrizarse por el tiempo adecuado del objeto. La velocidad de cuatro es la tasa de cambio de las cuatro posiciones con respecto al tiempo adecuado a lo largo de la curva. La velocidad, por el contrario, es la tasa de cambio de la posición en el espacio (tridimensional) del objeto, tal como lo ve un observador, con respecto al tiempo del observador.

El valor de la magnitud de las cuatro velocidades de un objeto, es decir, la cantidad obtenida aplicando el tensor métrico g a las cuatro velocidades U , es decir ‖ U ‖ ² = U ⋅ U = g _μν U ^ν U ^μ , es siempre igual a ± c ² , donde c es la velocidad de la luz. La aplicación del signo más o menos depende de la elección de la firma métrica . Para un objeto en reposo, sus cuatro velocidades son paralelas a la dirección de la coordenada temporal con U ⁰ = c . Por lo tanto, una cuatro velocidades es el vector tangente normalizado en forma de tiempo dirigido al futuro a una línea mundial, y es un vector contravariante . Aunque es un vector, la suma de dos cuatro velocidades no produce una cuatro velocidades: el espacio de cuatro velocidades no es en sí mismo un espacio vectorial . ^{[nota 2]}

Velocidad

La trayectoria de un objeto en el espacio tridimensional (en un marco inercial) se puede expresar en términos de tres funciones de coordenadas espaciales x ⁱ ( t ) de tiempo t , donde i es un índice que toma los valores 1, 2, 3.

Las tres coordenadas forman el vector de posición 3d , escrito como un vector de columna

$${\displaystyle {\vec {x}}(t)={\begin{bmatrix}x^{1}(t)\\[0.7ex]x^{2}(t)\\[0.7ex]x^{3}(t)\end{bmatrix}}\,.}$$

Las componentes de la velocidad (tangente a la curva) en cualquier punto de la línea mundial son ${\displaystyle {\vec {u}}}$

$${\displaystyle {\vec {u}}={\begin{bmatrix}u^{1}\\u^{2}\\u^{3}\end{bmatrix}}={\frac {d{\vec {x}}}{dt}}={\begin{bmatrix}{\tfrac {dx^{1}}{dt}}\\{\tfrac {dx^{2}}{dt}}\\{\tfrac {dx^{3}}{dt}}\end{bmatrix}}.}$$

Cada componente está escrito simplemente

$${\displaystyle u^{i}={\frac {dx^{i}}{dt}}}$$

Teoría de la relatividad

En la teoría de la relatividad de Einstein , la trayectoria de un objeto que se mueve con respecto a un marco de referencia particular está definida por cuatro funciones de coordenadas x ^μ ( τ ) , donde μ es un índice de espacio-tiempo que toma el valor 0 para el componente temporal, y 1, 2, 3 para las coordenadas espaciales. El componente cero se define como la coordenada de tiempo multiplicada por c ,

$${\displaystyle x^{0}=ct\,,}$$

Cada función depende de un parámetro τ llamado tiempo propio . Como vector de columna,

$${\displaystyle \mathbf {x} ={\begin{bmatrix}x^{0}(\tau )\\x^{1}(\tau )\\x^{2}(\tau )\\x^{3}(\tau )\\\end{bmatrix}}\,.}$$

Dilatación del tiempo

A partir de la dilatación del tiempo , los diferenciales en el tiempo coordenado t y el tiempo propio τ están relacionados por

$${\displaystyle dt=\gamma (u)d\tau }$$

factor de Lorentz

$${\displaystyle \gamma (u)={\frac {1}{\sqrt {1-{\frac {u^{2}}{c^{2}}}}}}\,,}$$

norma euclidiana u: ${\displaystyle {\vec {u}}}$

$${\displaystyle u=\left\|\ {\vec {u}}\ \right\|={\sqrt {\left(u^{1}\right)^{2}+\left(u^{2}\right)^{2}+\left(u^{3}\right)^{2}}}\,.}$$

Definición de las cuatro velocidades.

Las cuatro velocidades son los cuatro vectores tangentes de una línea mundial temporal . Las cuatro velocidades en cualquier punto de la línea mundial se definen como: ${\displaystyle \mathbf {U} }$ ${\displaystyle \mathbf {X} (\tau )}$

$${\displaystyle \mathbf {U} ={\frac {d\mathbf {X} }{d\tau }}}$$

cuatro posicionestiempo adecuado^[1] ${\displaystyle \mathbf {X} }$ ${\displaystyle \tau }$

Las cuatro velocidades definidas aquí utilizando el tiempo adecuado de un objeto no existen para las líneas mundiales de objetos sin masa, como fotones que viajan a la velocidad de la luz; ni está definido para líneas de mundo taquiónico , donde el vector tangente es espacial .

Componentes de las cuatro velocidades.

La relación entre el tiempo t y el tiempo coordenado x ⁰ se define por

$${\displaystyle x^{0}=ct.}$$

Tomando la derivada de esto con respecto al tiempo propio τ , encontramos la componente de velocidad U ^μ para μ = 0 :

$${\displaystyle U^{0}={\frac {dx^{0}}{d\tau }}={\frac {d(ct)}{d\tau }}=c{\frac {dt}{d\tau }}=c\gamma (u)}$$

y para los otros 3 componentes del tiempo adecuado obtenemos el componente de velocidad U ^μ para μ = 1, 2, 3 :

$${\displaystyle U^{i}={\frac {dx^{i}}{d\tau }}={\frac {dx^{i}}{dt}}{\frac {dt}{d\tau }}={\frac {dx^{i}}{dt}}\gamma (u)=\gamma (u)u^{i}}$$

regla de la cadena

$${\displaystyle u^{i}={dx^{i} \over dt}\,,\quad {\frac {dt}{d\tau }}=\gamma (u)}$$

Así, encontramos para las cuatro velocidades : ${\displaystyle \mathbf {U} }$

$${\displaystyle \mathbf {U} =\gamma {\begin{bmatrix}c\\{\vec {u}}\\\end{bmatrix}}.}$$

Escrito en notación estándar de cuatro vectores, esto es:

$${\displaystyle \mathbf {U} =\gamma \left(c,{\vec {u}}\right)=\left(\gamma c,\gamma {\vec {u}}\right)}$$

${\displaystyle \gamma c}$ ${\displaystyle \gamma {\vec {u}}}$

En términos de los relojes y reglas sincronizados asociados con una porción particular de espacio-tiempo plano, los tres componentes espaciales de cuatro velocidades definen la velocidad adecuada de un objeto que viaja , es decir, la velocidad a la que se recorre la distancia en el marco del mapa de referencia por unidad de tiempo propio transcurrido en relojes que viajan con el objeto. ${\displaystyle \gamma {\vec {u}}=d{\vec {x}}/d\tau }$

A diferencia de la mayoría de los otros cuatro vectores, el de cuatro velocidades tiene solo 3 componentes independientes en lugar de 4. El factor es una función de la velocidad tridimensional . ${\displaystyle u_{x},u_{y},u_{z}}$ ${\displaystyle \gamma }$ ${\displaystyle {\vec {u}}}$

Cuando ciertos escalares de Lorentz se multiplican por las cuatro velocidades, se obtienen nuevos cuatro vectores físicos que tienen 4 componentes independientes.

Por ejemplo:

• Cuatro impulsos :
  $${\displaystyle \mathbf {P} =m_{o}\mathbf {U} =\gamma m_{o}\left(c,{\vec {u}}\right)=m\left(c,{\vec {u}}\right)=\left(mc,m{\vec {u}}\right)=\left(mc,{\vec {p}}\right)=\left({\frac {E}{c}},{\vec {p}}\right),}$$
  donde esta la masa en reposo ${\displaystyle m_{o}}$
• Densidad de cuatro corrientes :
  $${\displaystyle \mathbf {J} =\rho _{o}\mathbf {U} =\gamma \rho _{o}\left(c,{\vec {u}}\right)=\rho \left(c,{\vec {u}}\right)=\left(\rho c,\rho {\vec {u}}\right)=\left(\rho c,{\vec {j}}\right),}$$
  donde esta la densidad de carga ${\displaystyle \rho _{o}}$

Efectivamente, el factor se combina con el término escalar de Lorentz para formar el cuarto componente independiente. ${\displaystyle \gamma }$

$${\displaystyle m=\gamma m_{o}}$$

$${\displaystyle \rho =\gamma \rho _{o}.}$$

Magnitud

Usando el diferencial de las cuatro posiciones en el marco de reposo, la magnitud de las cuatro velocidades se puede obtener mediante la métrica de Minkowski con firma (−, +, +, +) :

$${\displaystyle \left\|\mathbf {U} \right\|^{2}=\eta _{\mu \nu }U^{\mu }U^{\nu }=\eta _{\mu \nu }{\frac {dX^{\mu }}{d\tau }}{\frac {dX^{\nu }}{d\tau }}=-c^{2}\,,}$$

$${\displaystyle \left\|\mathbf {U} \right\|^{2}=-c^{2}}$$

En un marco en movimiento, la misma norma es:

$${\displaystyle \left\|\mathbf {U} \right\|^{2}={\gamma (u)}^{2}\left(-c^{2}+{\vec {u}}\cdot {\vec {u}}\right),}$$

$${\displaystyle -c^{2}={\gamma (u)}^{2}\left(-c^{2}+{\vec {u}}\cdot {\vec {u}}\right),}$$

lo que se reduce a la definición del factor de Lorentz.

Ver también

• Portal de física

• Cuatro aceleraciones
• Cuatro impulsos
• cuatro fuerzas
• cuatro gradiente
• Álgebra del espacio físico
• Congruencia (relatividad general)
• modelo hiperboloide
• Rapidez

Observaciones

1. Técnicamente, se debe pensar que los cuatro vectores residen en el espacio tangente de un punto en el espacio-tiempo, siendo el espacio-tiempo mismo modelado como una variedad suave . Esta distinción es significativa en la relatividad general.
2. El conjunto de cuatro velocidades es un subconjunto del espacio tangente (que es un espacio vectorial) en un evento. La etiqueta cuatro vectores surge del comportamiento bajo las transformaciones de Lorentz , es decir, bajo qué representación particular se transforman.

Referencias

• Einstein, Alberto (1920). Relatividad: la teoría especial y general . Traducido por Robert W. Lawson. Nueva York: Original: Henry Holt, 1920; Reimpreso: Libros Prometheus, 1995.
• Rindler, Wolfgang (1991). Introducción a la Relatividad Especial (2ª) . Oxford: Prensa de la Universidad de Oxford. ISBN 0-19-853952-5.

1. McComb, WD (1999). Dinámica y relatividad . Oxford [etc.]: Oxford University Press. pag. 230.ISBN​ 0-19-850112-9.