Velocidad adecuada

Relación en relatividad

Gráfico log-log de γ (azul), v / c (cian) y η (amarillo) versus la velocidad adecuada w / c (es decir, momento p / mc ). Tenga en cuenta que w / c es seguido por v / c a bajas velocidades y por γ a ​​altas velocidades. La curva roja discontinua es γ − 1 ( energía cinética K / mc ² ), mientras que la curva magenta discontinua es el factor Doppler relativista .

En relatividad , la velocidad propia (también conocida como celeridad ) w de un objeto en relación con un observador es la relación entre el vector de desplazamiento medido por el observador y el tiempo propio τ transcurrido en los relojes del objeto que viaja: ${\displaystyle {\textbf {x}}}$

${\displaystyle {\textbf {w}}={\frac {d{\textbf {x}}}{d\tau }}}$

Es una alternativa a la velocidad ordinaria , la distancia por unidad de tiempo donde el observador mide tanto la distancia como el tiempo.

Los dos tipos de velocidad, ordinaria y propia, son casi iguales a bajas velocidades. Sin embargo, a altas velocidades, la velocidad adecuada conserva muchas de las propiedades que la velocidad pierde en relatividad en comparación con la teoría newtoniana . Por ejemplo, la velocidad adecuada es igual al impulso por unidad de masa a cualquier velocidad y, por lo tanto, no tiene límite superior. A altas velocidades, como se muestra en la figura de la derecha, también es proporcional a la energía de un objeto.

La velocidad adecuada w se puede relacionar con la velocidad ordinaria v mediante el factor de Lorentz γ :

${\displaystyle {\textbf {w}}={\frac {d{\textbf {x}}}{dt}}{\frac {dt}{d\tau }}={\textbf {v}}\,\gamma (v)}$

donde t es el tiempo de coordenadas o "tiempo del mapa". Para el movimiento unidireccional, cada uno de estos también está simplemente relacionado con el ángulo de velocidad hiperbólica o rapidez η de un objeto que viaja por

${\displaystyle \eta =\sinh ^{-1}{\frac {w}{c}}=\tanh ^{-1}{\frac {v}{c}}=\pm \cosh ^{-1}\gamma }$.

Introducción

En el espacio-tiempo plano , la velocidad adecuada es la relación entre la distancia recorrida en relación con un marco de mapa de referencia (usado para definir la simultaneidad) y el tiempo adecuado τ transcurrido en los relojes del objeto que viaja. Es igual al momento p del objeto dividido por su masa en reposo m , y está formado por los componentes espaciales de la velocidad de cuatro vectores del objeto . La monografía de William Shurcliff ^[1] menciona su uso temprano en el texto de Sears y Brehme. ^[2] Fraundorf ha explorado su valor pedagógico ^[3] mientras que Ungar, ^[4] Baylis ^[5] y Hestenes ^[6] han examinado su relevancia desde las perspectivas de la teoría de grupos y el álgebra geométrica . La velocidad adecuada a veces se denomina celeridad. ^[7]

Un crucero cae del hiperespacio...

A diferencia de la velocidad coordinada más familiar v , la velocidad adecuada no tiene sincronía ^[1] (no requiere relojes sincronizados) y es útil para describir movimientos superrelativistas y subrelativistas. Al igual que la velocidad coordinada y a diferencia de la velocidad de cuatro vectores, reside en la porción tridimensional del espacio-tiempo definida por el marco del mapa. Como se muestra a continuación y en la figura de ejemplo a la derecha, las velocidades propias incluso se suman como tres vectores con el cambio de escala del componente fuera del marco. Esto los hace más útiles para aplicaciones basadas en mapas (por ejemplo, ingeniería) y menos útiles para obtener información sin coordenadas. La velocidad adecuada dividida por la velocidad de la luz c es el seno hiperbólico de la rapidez η , así como el factor de Lorentz γ es el coseno hiperbólico de la rapidez, y la velocidad coordinada v sobre la velocidad de la luz es la tangente hiperbólica de la rapidez.

Imagine un objeto que viaja a través de una región del espacio-tiempo descrita localmente por la ecuación métrica de espacio plano de Hermann Minkowski ( cd τ ) ² = ( cd t ) ² − ( d x ) ² . Aquí, un marco de mapa de referencia de criterios y relojes sincronizados definen la posición del mapa x y el tiempo del mapa t respectivamente, y la d que precede a una coordenada significa un cambio infinitesimal. Un poco de manipulación permite mostrar que la velocidad adecuada w = d x / d τ = γ v donde, como de costumbre, la velocidad coordinada v = d x / dt . Por lo tanto, la w finita garantiza que v sea menor que la velocidad de la luz c . Al agrupar γ con v en la expresión del momento relativista p , la velocidad adecuada también extiende la forma newtoniana del momento como masa multiplicada por la velocidad a altas velocidades sin necesidad de masa relativista . ^[8]

Fórmula de suma de velocidad adecuada

La fórmula adecuada para la suma de velocidades: ^{[9] [10] [4]}

${\displaystyle \mathbf {u} \oplus \mathbf {v} =\mathbf {u} +\mathbf {v} +\left\{{\frac {\beta _{\mathbf {u} }}{1+\beta _{\mathbf {u} }}}{\frac {\mathbf {u} \cdot \mathbf {v} }{c^{2}}}+{\frac {1-\beta _{\mathbf {v} }}{\beta _{\mathbf {v} }}}\right\}\mathbf {u} }$

donde está el factor beta dado por . ${\displaystyle \beta _{\mathbf {w} }}$ ${\displaystyle \beta _{\mathbf {w} }={\frac {1}{\sqrt {1+{\frac {|\mathbf {w} |^{2}}{c^{2}}}}}}}$

Esta fórmula proporciona un modelo espacial girovector de velocidad adecuado de geometría hiperbólica que utiliza un espacio completo en comparación con otros modelos de geometría hiperbólica que utilizan discos o semiplanos.

En el caso unidireccional, esto se vuelve conmutativo y se simplifica a un producto del factor de Lorentz multiplicado por una suma de velocidades coordinadas, por ejemplo, a w _AC = γ _AB γ _BC ( v _AB + v _BC ) , como se analiza en la sección de aplicación a continuación.

Relación con otros parámetros de velocidad.

tabla de velocidad

La siguiente tabla ilustra cómo la velocidad adecuada de w = c o "un mapa-año-luz por viajero-año" es un punto de referencia natural para la transición del movimiento subrelativista al superrelativista.

Tenga en cuenta desde arriba que el ángulo de velocidad η y la velocidad propia w van desde 0 hasta el infinito y siguen la velocidad de las coordenadas cuando w << c . Por otro lado, cuando w >> c , la velocidad adecuada sigue el factor de Lorentz mientras que el ángulo de velocidad es logarítmico y, por lo tanto, aumenta mucho más lentamente.

Ecuaciones de interconversión

Las siguientes ecuaciones convierten entre cuatro medidas alternativas de velocidad (o velocidad unidireccional) que surgen de la ecuación métrica de espacio plano de Minkowski:

${\displaystyle (c\delta \tau )^{2}=(c\delta t)^{2}-(\delta x)^{2}.\,}$.

Factor de Lorentz γ: energía sobre mc ² ≥ 1

${\displaystyle \gamma \equiv {\frac {dt}{d\tau }}={\sqrt {1+\left({\frac {w}{c}}\right)^{2}}}={\frac {1}{\sqrt {1-({\frac {v}{c}})^{2}}}}=\cosh(\eta )\equiv {\frac {e^{\eta }+e^{-\eta }}{2}}}$

Velocidad adecuada w : impulso por unidad de masa

${\displaystyle {\frac {w}{c}}\equiv {\frac {1}{c}}{\frac {dx}{d\tau }}={\frac {v}{c}}{\frac {1}{\sqrt {1-({\frac {v}{c}})^{2}}}}=\sinh(\eta )\equiv {\frac {e^{\eta }-e^{-\eta }}{2}}=\pm {\sqrt {\gamma ^{2}-1}}}$

Velocidad coordinada: v ≤ c

${\displaystyle {\frac {v}{c}}\equiv {\frac {1}{c}}{\frac {dx}{dt}}={\frac {w}{c}}{\frac {1}{\sqrt {1+({\frac {w}{c}})^{2}}}}=\tanh(\eta )\equiv {\frac {e^{2\eta }-1}{e^{2\eta }+1}}=\pm {\sqrt {1-\left({\frac {1}{\gamma }}\right)^{2}}}}$

Ángulo o rapidez de velocidad hiperbólica

${\displaystyle \eta =\sinh ^{-1}\left({\frac {w}{c}}\right)=\tanh ^{-1}\left({\frac {v}{c}}\right)=\pm \cosh ^{-1}\left(\gamma \right)}$

o en términos de logaritmos:

${\displaystyle \eta =\ln \left({\frac {w}{c}}+{\sqrt {\left({\frac {w}{c}}\right)^{2}+1}}\right)={\frac {1}{2}}\ln \left({\frac {1+{\frac {v}{c}}}{1-{\frac {v}{c}}}}\right)=\pm \ln \left(\gamma +{\sqrt {\gamma ^{2}-1}}\right)}$.

Aplicaciones

Comparación de velocidades a alta velocidad.

Suma de velocidad unidireccional: la suma adecuada se curva hacia arriba.

La velocidad adecuada es útil para comparar la velocidad de objetos con un impulso por unidad de masa en reposo ( w ) mayor que la velocidad de la luz c . La velocidad coordinada de tales objetos es generalmente cercana a la velocidad de la luz, mientras que la velocidad adecuada indica qué tan rápido cubren el terreno en los relojes de objetos viajeros . Esto es importante, por ejemplo, si, como algunas partículas de rayos cósmicos, los objetos que viajan tienen una vida finita. La velocidad adecuada también nos da pistas sobre el impulso del objeto, que no tiene límite superior.

Por ejemplo, un electrón de 45 GeV acelerado por el Gran Colisionador de Electrones y Positrones (LEP) del Cern en 1989 habría tenido un factor de Lorentz γ de aproximadamente 88.000 (45 GeV dividido por la masa en reposo del electrón de 511 keV). Su velocidad coordinada v habría sido aproximadamente sesenta y cuatro billonésimas menos que la velocidad de la luz c a 1 segundo luz por segundo del mapa . Por otro lado, su velocidad adecuada habría sido w = γv ~ 88.000 segundos luz por segundo de viajero . En comparación, la velocidad coordinada de un electrón de 250 GeV en el Colisionador Lineal Internacional ^[11] (ILC) propuesto permanecerá cerca de c , mientras que su velocidad adecuada aumentará significativamente a ~489.000 segundos luz por segundo de viajero.

La velocidad adecuada también es útil para comparar velocidades relativas a lo largo de una línea a alta velocidad. En este caso

${\displaystyle {\frac {p_{AC}}{m_{1}}}=w_{AC}=\gamma _{AC}v_{AC}=\gamma _{AB}\gamma _{BC}\left(v_{AB}+v_{BC}\right)=\gamma _{AB}w_{BC}+w_{AB}\gamma _{BC}\,}$

donde A, B y C se refieren a diferentes objetos o marcos de referencia. ^[12] Por ejemplo, w _AC se refiere a la velocidad propia del objeto A con respecto al objeto C. Por lo tanto, al calcular la velocidad adecuada relativa, los factores de Lorentz se multiplican cuando se suman las velocidades coordinadas.

Por lo tanto, cada uno de los dos electrones (A y C) en una colisión frontal a 45 GeV en el marco del laboratorio (B) vería al otro acercarse a ellos en v _AC ~ c y w _AC = 88 000 ² (1 + 1) ~ 1,55×10 ¹⁰ segundos luz por segundo de viajero. Por lo tanto, desde el punto de vista del objetivo, los colisionadores pueden explorar colisiones con energía de proyectil y momento por unidad de masa mucho mayores.

Relaciones de dispersión adecuadas basadas en la velocidad

Gráficas de ( γ − 1) c ² × masa , frente a la velocidad adecuada × masa, para un rango de valores de masa a lo largo de ambos ejes.

Trazar "( γ − 1) versus la velocidad adecuada" después de multiplicar el primero por mc ² y el segundo por la masa m , para varios valores de m , produce una familia de curvas de energía cinética versus momento que incluye la mayoría de los objetos en movimiento que se encuentran en la vida cotidiana. . Estos gráficos se pueden utilizar, por ejemplo, para mostrar dónde intervienen la velocidad de la luz, la constante de Planck y la energía de Boltzmann kT .

Para ilustrar, la figura de la derecha con ejes log-log muestra objetos con la misma energía cinética (relacionados horizontalmente) que llevan diferentes cantidades de impulso, así como cómo se compara la velocidad de un objeto de baja masa (por extrapolación vertical) con la Velocidad después de una colisión perfectamente inelástica con un objeto grande en reposo. Las líneas muy inclinadas (subida/carrera = 2) marcan contornos de masa constante, mientras que las líneas de pendiente unitaria marcan contornos de velocidad constante.

Los objetos que encajan muy bien en esta trama son humanos conduciendo automóviles, partículas de polvo en movimiento browniano , una nave espacial en órbita alrededor del Sol, moléculas a temperatura ambiente, un avión de combate a Mach 3, un fotón de onda de radio , una persona que se mueve a un año luz por año viajero, el pulso de un láser de 1,8 megajulios , un electrón de 250 GeV y nuestro universo observable con la energía cinética de cuerpo negro que se espera de una sola partícula a 3 kelvin.

Aceleración unidireccional a través de la velocidad adecuada

La aceleración adecuada a cualquier velocidad es la aceleración física experimentada localmente por un objeto . En el espacio-tiempo es una aceleración de tres vectores con respecto al marco de flotación libre que varía instantáneamente del objeto. ^[13] Su magnitud α es la magnitud invariante del cuadro de las cuatro aceleraciones de ese objeto . La aceleración adecuada también es útil desde el punto de vista (o segmento de espacio-tiempo) de observadores externos. No sólo los observadores en todos los cuadros pueden estar de acuerdo en su magnitud, sino que también mide hasta qué punto un cohete en aceleración "tiene el pedal a fondo".

En el caso unidireccional, es decir, cuando la aceleración del objeto es paralela o antiparalela a su velocidad en el segmento de espacio-tiempo del observador, el cambio en la velocidad adecuada es la integral de la aceleración adecuada sobre el tiempo del mapa , es decir, Δ w = α Δ t para α constante . A bajas velocidades, esto se reduce a la conocida relación entre la velocidad coordinada y los tiempos de aceleración coordinada del mapa, es decir, Δ v = a Δ t . Para una aceleración adecuada unidireccional constante, existen relaciones similares entre la rapidez η y el tiempo propio transcurrido Δ τ , así como entre el factor de Lorentz γ y la distancia recorrida Δ x . Ser especifico:

${\displaystyle \alpha ={\frac {\Delta w}{\Delta t}}=c{\frac {\Delta \eta }{\Delta \tau }}=c^{2}{\frac {\Delta \gamma }{\Delta x}}}$,

donde, como se señaló anteriormente, los diversos parámetros de velocidad están relacionados por

${\displaystyle \eta =\sinh ^{-1}\left({\frac {w}{c}}\right)=\tanh ^{-1}\left({\frac {v}{c}}\right)=\pm \cosh ^{-1}\left(\gamma \right)}$.

Estas ecuaciones describen algunas consecuencias del viaje acelerado a alta velocidad. Por ejemplo, imagine una nave espacial que puede acelerar a sus pasajeros a 1 g (o 1,03 años luz/año ² ) a mitad de camino hacia su destino, y luego desacelerarlos a 1 g durante la mitad restante para proporcionar una gravedad artificial similar a la de la Tierra desde el punto A. al punto B en el menor tiempo posible. Para una distancia en el mapa de Δx _AB , la primera ecuación anterior predice un factor de Lorentz de punto medio (por encima de su valor de reposo unitario) de γ _mid =1+α(Δx _AB /2)/c ² . Por tanto, el tiempo de ida y vuelta en los relojes de viajero será Δτ = 4(c/α)cosh ⁻¹ [γ _mid ], durante el cual el tiempo transcurrido en los relojes de mapa será Δt = 4(c/α)sinh[cosh ⁻¹ [γ _medio ]].

Gráfica de los parámetros de velocidad y tiempos en el eje horizontal, frente a la posición en el eje vertical, para un viaje de ida y vuelta gemelo acelerado a un destino con Δx _AB =10c ² /α ~10 años luz de distancia si α~9,8 m/s ² .

Esta nave espacial imaginada podría ofrecer viajes de ida y vuelta a Próxima Centauri que durarían aproximadamente 7,1 años de viajero (~12 años en los relojes de la Tierra), viajes de ida y vuelta al agujero negro central de la Vía Láctea de aproximadamente 40 años (~54.000 años transcurridos en los relojes de la Tierra), y viajes de ida y vuelta a la galaxia de Andrómeda que duran alrededor de 57 años (más de 5 millones de años en los relojes de la Tierra). Desafortunadamente, si bien es fácil lograr aceleraciones de 1 g en un cohete, no pueden mantenerse durante largos períodos de tiempo. ^[14]

Ver también

• Cinemática : para estudiar formas en que la posición cambia con el tiempo.
• Factor de Lorentz : γ = dt / d τ o energía cinética sobre mc ²
• Rapidez : ángulo de velocidad hiperbólico en radianes imaginarios
• Cuatro velocidades : combinando viajes a través del tiempo y el espacio
• Aceleración uniforme : manteniendo fija la aceleración coordinada
• Coordenadas Gullstrand-Painlevé : marcos flotantes en el espacio-tiempo curvo.

notas y referencias

1. William Shurcliff (1996) Relatividad especial: las ideas centrales (19 Appleton St, Cambridge MA 02138)
2. Francis W. Sears y Robert W. Brehme (1968) Introducción a la teoría de la relatividad (Addison-Wesley, NY) LCCN 680019344, sección 7-3
3. Fraundorf, P. (1996). "Un enfoque de un mapa y dos relojes para la enseñanza de la relatividad en la introducción a la física". arXiv : física/9611011 .
4. Ungar, Abraham A. (2006). "El grupo de transformación relativista de la velocidad adecuada". Avances en la Investigación Electromagnética . 60 : 85–94. doi : 10.2528/PIER05121501 .
5. WE Baylis (1996) Álgebras (geométricas) de Clifford con aplicaciones a la física (Springer, NY) ISBN 0-8176-3868-7 
6. D. Hestenes (2003) "Física del espacio-tiempo con álgebra geométrica", Am. J. Física. 71 , 691–714
7. Bernard Jancewicz (1988) Multivectores y álgebra de Clifford en electrodinámica (World Scientific, Nueva York) ISBN 9971-5-0290-9 
8. OEA, Gary (2005). "Sobre el uso de la masa relativista en diversas obras publicadas". arXiv : física/0504111 .
9. Ungar, Abraham A. (1997). "Precesión de Thomas: sus axiomas de girogrupo subyacentes y su uso en geometría hiperbólica y física relativista". Fundamentos de la Física . 27 (6): 881–951. Código bibliográfico : 1997FoPh...27..881U. doi :10.1007/BF02550347. S2CID  122320811.
10. Geometría hiperbólica analítica y teoría especial de la relatividad de Albert Einstein, Abraham A. Ungar, World Scientific, 2008, ISBN 978-981-277-229-9 
11. B. Barish, N. Walker y H. Yamamoto, "Construyendo el colisionador de próxima generación" Scientific American (febrero de 2008) 54–59
12. Esta regla de suma de velocidades se deriva fácilmente de las rapidezes α y β , ya que sinh( α + β ) = cosh α cosh β (tanh α + tanh β ).
13. Edwin F. Taylor y John Archibald Wheeler (1966, 1.ª ed. únicamente) Física del espacio-tiempo (WH Freeman, San Francisco) ISBN 0-7167-0336-X , Capítulo 1 Ejercicio 51, páginas 97–98: "Paradoja del reloj III" 
14. Calle, Carlos I. (2009). Supercuerdas y otras cosas: una guía de física (segunda edición revisada). Prensa CRC. pag. 365.ISBN​ 978-1-4398-1074-3.Extracto de la página 365

enlaces externos

• Física del espacio-tiempo por Edwin F. Taylor y John Archibald Wheeler