Cuatro aceleraciones

En la teoría de la relatividad , la cuatro aceleración es un cuatro vector (vector en el espacio -tiempo de cuatro dimensiones ) que es análogo a la aceleración clásica (un vector tridimensional, ver tres aceleraciones en la relatividad especial ). La cuatro aceleración tiene aplicaciones en áreas como la aniquilación de antiprotones , la resonancia de partículas extrañas y la radiación de una carga acelerada. ^[1]

Cuatro aceleraciones en coordenadas inerciales.

En coordenadas inerciales en relatividad especial , la cuatro aceleración se define como la tasa de cambio en las cuatro velocidades con respecto al tiempo propio de la partícula a lo largo de su línea mundial . Podemos decir: ${\displaystyle \mathbf {A} }$ ${\displaystyle \mathbf {U} }$

$${\displaystyle {\begin{aligned}\mathbf {A} ={\frac {d\mathbf {U} }{d\tau }}&=\left(\gamma _{u}{\dot {\gamma }}_{u}c,\,\gamma _{u}^{2}\mathbf {a} +\gamma _{u}{\dot {\gamma }}_{u}\mathbf {u} \right)\\&=\left(\gamma _{u}^{4}{\frac {\mathbf {a} \cdot \mathbf {u} }{c}},\,\gamma _{u}^{2}\mathbf {a} +\gamma _{u}^{4}{\frac {\mathbf {a} \cdot \mathbf {u} }{c^{2}}}\mathbf {u} \right)\\&=\left(\gamma _{u}^{4}{\frac {\mathbf {a} \cdot \mathbf {u} }{c}},\,\gamma _{u}^{4}\left(\mathbf {a} +{\frac {\mathbf {u} \times \left(\mathbf {u} \times \mathbf {a} \right)}{c^{2}}}\right)\right),\end{aligned}}}$$

• ${\displaystyle \mathbf {a} ={\frac {d\mathbf {u} }{dt}}}$, con las tres aceleraciones y las tres velocidades, y ${\displaystyle \mathbf {a} }$ ${\displaystyle \mathbf {u} }$
• ${\displaystyle {\dot {\gamma }}_{u}={\frac {\mathbf {a} \cdot \mathbf {u} }{c^{2}}}\gamma _{u}^{3}={\frac {\mathbf {a} \cdot \mathbf {u} }{c^{2}}}{\frac {1}{\left(1-{\frac {u^{2}}{c^{2}}}\right)^{3/2}}},}$y
• ${\displaystyle \gamma _{u}}$es el factor de Lorentz para la velocidad (con ). Un punto encima de una variable indica una derivada con respecto al tiempo de coordenadas en un marco de referencia dado, no el tiempo adecuado (en otros términos, ). ${\displaystyle u}$ ${\displaystyle |\mathbf {u} |=u}$ ${\displaystyle \tau }$ ${\textstyle {\dot {\gamma }}_{u}={\frac {d\gamma _{u}}{dt}}}$

En un sistema de referencia inercial que se mueve instantáneamente , y , es decir, en dicho sistema de referencia ${\displaystyle \mathbf {u} =0}$ ${\displaystyle \gamma _{u}=1}$ ${\displaystyle {\dot {\gamma }}_{u}=0}$

$${\displaystyle \mathbf {A} =\left(0,\mathbf {a} \right).}$$

Geométricamente, la cuatro aceleración es un vector de curvatura de una línea mundial. ^{[2] [3]}

Por lo tanto, la magnitud de la aceleración cuatro (que es un escalar invariante) es igual a la aceleración adecuada que una partícula en movimiento "siente" moverse a lo largo de una línea mundial. Una línea de mundo que tiene cuatro aceleraciones constantes es un círculo de Minkowski, es decir, una hipérbola (ver movimiento hiperbólico ).

El producto escalar de las cuatro velocidades de una partícula y sus cuatro aceleraciones es siempre 0.

Incluso a velocidades relativistas, la cuatro aceleración está relacionada con las cuatro fuerzas :

$${\displaystyle F^{\mu }=mA^{\mu },}$$

mmasa invariante

Cuando la fuerza de cuatro vectores es cero, solo la gravitación afecta la trayectoria de una partícula, y el equivalente de cuatro vectores de la segunda ley de Newton anterior se reduce a la ecuación geodésica . La aceleración cuádruple de una partícula que realiza un movimiento geodésico es cero. Esto corresponde a que la gravedad no sea una fuerza. La aceleración cuádruple es diferente de lo que entendemos por aceleración tal como se define en la física newtoniana, donde la gravedad se trata como una fuerza.

Cuatro aceleraciones en coordenadas no inerciales.

En coordenadas no inerciales, que incluyen las coordenadas aceleradas en la relatividad especial y todas las coordenadas en la relatividad general , el cuatro-vector de aceleración está relacionado con el cuatro-velocidad a través de una derivada absoluta con respecto al tiempo propio.

$${\displaystyle A^{\lambda }:={\frac {DU^{\lambda }}{d\tau }}={\frac {dU^{\lambda }}{d\tau }}+\Gamma ^{\lambda }{}_{\mu \nu }U^{\mu }U^{\nu }}$$

En coordenadas inerciales, los símbolos de Christoffel son todos cero, por lo que esta fórmula es compatible con la fórmula dada anteriormente. ${\displaystyle \Gamma ^{\lambda }{}_{\mu \nu }}$

En la relatividad especial, las coordenadas son las de un marco inercial rectilíneo, por lo que el término de los símbolos de Christoffel desaparece, pero a veces, cuando los autores usan coordenadas curvas para describir un marco acelerado, el marco de referencia no es inercial, aún describirán la física. como relativista especial porque la métrica es solo una transformación de marco de la métrica espacial de Minkowski . En ese caso esta es la expresión que se debe utilizar porque los símbolos de Christoffel ya no son todos cero.

Ver también

• Cuatro vectores
• cuatro velocidades
• Cuatro impulsos
• cuatro fuerzas
• cuatro gradiente
• Aceleración adecuada

Referencias

1. Tsamparlis M. (2010). Relatividad especial (edición en línea). Springer Berlín Heidelberg. pag. 185.ISBN _ 978-3-642-03837-2.
2. Pauli W. (1921). Teoría de la relatividad (1981 Dover ed.). BG Teubner, Leipzig. pag. 74.ISBN _ 978-0-486-64152-2.
3. Synge JL; Schild A. (1949). Cálculo tensorial (1978 Dover ed.). Prensa de la Universidad de Toronto. págs.149, 153 y 170. ISBN 0-486-63612-7.

• Papapetrou A. (1974). Conferencias sobre Relatividad General . D. Editorial Reidel. ISBN 90-277-0514-3.
• Rindler, Wolfgang (1991). Introducción a la Relatividad Especial (2ª) . Oxford: Prensa de la Universidad de Oxford. ISBN 0-19-853952-5.

enlaces externos

• Vector de curvatura en Britannica