Cuatro velocidades

Análogo de la velocidad en el espacio-tiempo de cuatro dimensiones

En física , en particular en relatividad especial y relatividad general , una cuadrivelocidad es un cuadrivector en el espacio-tiempo de cuatro dimensiones ^{[nb 1]} que representa la contraparte relativista de la velocidad , que es un vector tridimensional en el espacio.

Los eventos físicos corresponden a puntos matemáticos en el tiempo y el espacio, y el conjunto de todos ellos juntos forma un modelo matemático del espacio-tiempo físico de cuatro dimensiones. La historia de un objeto traza una curva en el espacio-tiempo, llamada su línea de universo . Si el objeto tiene masa , de modo que su velocidad es necesariamente menor que la velocidad de la luz , la línea de universo puede parametrizarse por el tiempo propio del objeto. La cuatrivelocidad es la tasa de cambio de la cuatriposición con respecto al tiempo propio a lo largo de la curva. La velocidad, en contraste, es la tasa de cambio de la posición en el espacio (tridimensional) del objeto, tal como lo ve un observador, con respecto al tiempo del observador.

El valor de la magnitud de la cuadrivelocidad de un objeto, es decir, la cantidad obtenida al aplicar el tensor métrico g a la cuadrivelocidad U , es decir ‖ U ‖ ² = U ⋅ U = g _μν U ^ν U ^μ , es siempre igual a ± c ² , donde c es la velocidad de la luz. La aplicación del signo más o menos depende de la elección de la firma métrica . Para un objeto en reposo su cuadrivelocidad es paralela a la dirección de la coordenada temporal con U ⁰ = c . Una cuadrivelocidad es, por tanto, el vector tangente temporal normalizado y dirigido hacia el futuro a una línea del universo, y es un vector contravariante . Aunque es un vector, la suma de dos cuadrivelocidades no produce una cuadrivelocidad: el espacio de cuadrivelocidades no es en sí mismo un espacio vectorial . ^{[nb 2]}

Velocidad

La trayectoria de un objeto en el espacio tridimensional (en un marco inercial) puede expresarse en términos de tres funciones de coordenadas espaciales x ⁱ ( t ) del tiempo t , donde i es un índice que toma los valores 1, 2, 3.

Las tres coordenadas forman el vector de posición 3D , escrito como un vector columna. $${\displaystyle {\vec {x}}(t)={\begin{bmatrix}x^{1}(t)\\[0.7ex]x^{2}(t)\\[0.7ex]x^{3}(t)\end{bmatrix}}\,.}$$

Los componentes de la velocidad (tangente a la curva) en cualquier punto de la línea del mundo son ${\displaystyle {\vec {u}}}$

$${\displaystyle {\vec {u}}={\begin{bmatrix}u^{1}\\u^{2}\\u^{3}\end{bmatrix}}={\frac {d{\vec {x}}}{dt}}={\begin{bmatrix}{\tfrac {dx^{1}}{dt}}\\{\tfrac {dx^{2}}{dt}}\\{\tfrac {dx^{3}}{dt}}\end{bmatrix}}.}$$

Cada componente está escrito de forma sencilla. $${\displaystyle u^{i}={\frac {dx^{i}}{dt}}}$$

Teoría de la relatividad

En la teoría de la relatividad de Einstein , la trayectoria de un objeto que se mueve con respecto a un marco de referencia particular se define mediante cuatro funciones de coordenadas x ^μ ( τ ) , donde μ es un índice de espacio-tiempo que toma el valor 0 para el componente temporal y 1, 2, 3 para las coordenadas espaciales. El componente cero se define como la coordenada temporal multiplicada por c , $${\displaystyle x^{0}=ct\,,}$$

Cada función depende de un parámetro τ llamado tiempo propio . Como vector columna, $${\displaystyle \mathbf {x} ={\begin{bmatrix}x^{0}(\tau )\\x^{1}(\tau )\\x^{2}(\tau )\\x^{3}(\tau )\\\end{bmatrix}}\,.}$$

Dilatación del tiempo

A partir de la dilatación del tiempo , las diferenciales en el tiempo de coordenadas t y el tiempo propio τ están relacionadas por donde el factor de Lorentz es una función de la norma euclidiana u del vector de velocidad 3d : $${\displaystyle dt=\gamma (u)d\tau }$$ $${\displaystyle \gamma (u)={\frac {1}{\sqrt {1-{\frac {u^{2}}{c^{2}}}}}}\,,}$$ ${\displaystyle {\vec {u}}}$ $${\displaystyle u=\left\|\ {\vec {u}}\ \right\|={\sqrt {\left(u^{1}\right)^{2}+\left(u^{2}\right)^{2}+\left(u^{3}\right)^{2}}}\,.}$$

Definición de las cuatro velocidades

La cuadrivelocidad es el cuadrivector tangente de una línea de universo temporal . La cuadrivelocidad en cualquier punto de la línea de universo se define como: donde es la cuadriposición y es el tiempo propio . ^[1] ${\displaystyle \mathbf {U} }$ ${\displaystyle \mathbf {X} (\tau )}$ $${\displaystyle \mathbf {U} ={\frac {d\mathbf {X} }{d\tau }}}$$ ${\displaystyle \mathbf {X} }$ ${\displaystyle \tau }$

La velocidad cuatridimensional definida aquí utilizando el tiempo propio de un objeto no existe para líneas de mundo para objetos sin masa, como los fotones que viajan a la velocidad de la luz; tampoco está definida para líneas de mundo taquiónicas , donde el vector tangente es espacial .

Componentes de las cuatro velocidades

La relación entre el tiempo t y el tiempo de la coordenada x ⁰ está definida por $${\displaystyle x^{0}=ct.}$$

Tomando la derivada de esto con respecto al tiempo propio τ , encontramos el componente de velocidad U ^μ para μ = 0 : $${\displaystyle U^{0}={\frac {dx^{0}}{d\tau }}={\frac {d(ct)}{d\tau }}=c{\frac {dt}{d\tau }}=c\gamma (u)}$$

y para los otros 3 componentes del tiempo propio obtenemos el componente de velocidad U ^μ para μ = 1, 2, 3 : donde hemos utilizado la regla de la cadena y las relaciones $${\displaystyle U^{i}={\frac {dx^{i}}{d\tau }}={\frac {dx^{i}}{dt}}{\frac {dt}{d\tau }}={\frac {dx^{i}}{dt}}\gamma (u)=\gamma (u)u^{i}}$$ $${\displaystyle u^{i}={dx^{i} \over dt}\,,\quad {\frac {dt}{d\tau }}=\gamma (u)}$$

Así, encontramos para la velocidad cuatripartita : ${\displaystyle \mathbf {U} }$ $${\displaystyle \mathbf {U} =\gamma {\begin{bmatrix}c\\{\vec {u}}\\\end{bmatrix}}.}$$

Escrito en notación estándar de cuatro vectores es: donde es el componente temporal y es el componente espacial. $${\displaystyle \mathbf {U} =\gamma \left(c,{\vec {u}}\right)=\left(\gamma c,\gamma {\vec {u}}\right)}$$ ${\displaystyle \gamma c}$ ${\displaystyle \gamma {\vec {u}}}$

En términos de los relojes y reglas sincronizados asociados con una porción particular de espacio-tiempo plano, los tres componentes espaciales de cuatro velocidades definen la velocidad propia de un objeto en viaje , es decir, la velocidad a la que se cubre la distancia en el marco del mapa de referencia por unidad de tiempo propio transcurrido en los relojes que viajan con el objeto. ${\displaystyle \gamma {\vec {u}}=d{\vec {x}}/d\tau }$

A diferencia de la mayoría de los otros cuatro vectores, el cuatro-velocidad tiene solo 3 componentes independientes en lugar de 4. El factor es una función de la velocidad tridimensional . ${\displaystyle u_{x},u_{y},u_{z}}$ ${\displaystyle \gamma }$ ${\displaystyle {\vec {u}}}$

Cuando ciertos escalares de Lorentz se multiplican por la cuadrivelocidad, se obtienen nuevos cuatro vectores físicos que tienen 4 componentes independientes.

Por ejemplo:

• Cuatro momentos : ¿dónde está la masa en reposo? $${\displaystyle \mathbf {P} =m_{o}\mathbf {U} =\gamma m_{o}\left(c,{\vec {u}}\right)=m\left(c,{\vec {u}}\right)=\left(mc,m{\vec {u}}\right)=\left(mc,{\vec {p}}\right)=\left({\frac {E}{c}},{\vec {p}}\right),}$$ ${\displaystyle m_{o}}$
• Densidad de cuatro corrientes : ¿dónde está la densidad de carga? $${\displaystyle \mathbf {J} =\rho _{o}\mathbf {U} =\gamma \rho _{o}\left(c,{\vec {u}}\right)=\rho \left(c,{\vec {u}}\right)=\left(\rho c,\rho {\vec {u}}\right)=\left(\rho c,{\vec {j}}\right),}$$ ${\displaystyle \rho _{o}}$

Efectivamente, el factor se combina con el término escalar de Lorentz para formar el cuarto componente independiente y ${\displaystyle \gamma }$ $${\displaystyle m=\gamma m_{o}}$$ $${\displaystyle \rho =\gamma \rho _{o}.}$$

Magnitud

Utilizando el diferencial de la posición cuatro en el marco de reposo, la magnitud de la velocidad cuatro se puede obtener mediante la métrica de Minkowski con signatura (−, +, +, +) : en resumen, la magnitud de la velocidad cuatro para cualquier objeto es siempre una constante fija: $${\displaystyle \left\|\mathbf {U} \right\|^{2}=\eta _{\mu \nu }U^{\mu }U^{\nu }=\eta _{\mu \nu }{\frac {dX^{\mu }}{d\tau }}{\frac {dX^{\nu }}{d\tau }}=-c^{2}\,,}$$ $${\displaystyle \left\|\mathbf {U} \right\|^{2}=-c^{2}}$$

En un marco en movimiento, la misma norma es: de modo que: $${\displaystyle \left\|\mathbf {U} \right\|^{2}={\gamma (u)}^{2}\left(-c^{2}+{\vec {u}}\cdot {\vec {u}}\right),}$$ $${\displaystyle -c^{2}={\gamma (u)}^{2}\left(-c^{2}+{\vec {u}}\cdot {\vec {u}}\right),}$$

lo que se reduce a la definición del factor de Lorentz.

Véase también

• Portal de física

• Cuatro aceleraciones
• Cuatro momentos
• Cuatro fuerzas
• Cuatro gradientes
• Álgebra del espacio físico
• Congruencia (relatividad general)
• Modelo hiperboloide
• Rapidez

Observaciones

1. Técnicamente, se debería pensar que el cuadrivector reside en el espacio tangente de un punto en el espacio-tiempo, siendo el espacio-tiempo mismo modelado como una variedad uniforme . Esta distinción es significativa en la relatividad general.
2. El conjunto de cuatro velocidades es un subconjunto del espacio tangente (que es un espacio vectorial) en un evento. La etiqueta de cuatro vectores se deriva del comportamiento bajo las transformaciones de Lorentz , es decir, bajo qué representación particular se transforman.

Referencias

• Einstein, Albert (1920). Relatividad: teoría especial y general . Traducido por Robert W. Lawson. Nueva York: Original: Henry Holt, 1920; Reimpreso: Prometheus Books, 1995.
• Rindler, Wolfgang (1991). Introducción a la relatividad especial (2.ª edición) . Oxford: Oxford University Press. ISBN 0-19-853952-5.

1. McComb, WD (1999). Dinámica y relatividad . Oxford [etc.]: Oxford University Press. pág. 230. ISBN 0-19-850112-9.