Tiempo apropiado

Tiempo transcurrido entre dos eventos medido por un reloj que pasa por ambos eventos

En relatividad , el tiempo propio (del latín, que significa tiempo propio ) a lo largo de una línea de universo temporal se define como el tiempo medido por un reloj que sigue esa línea. El intervalo de tiempo propio entre dos eventos en una línea de universo es el cambio en el tiempo propio, que es independiente de las coordenadas, y es un escalar de Lorentz . ^[1] El intervalo es la cantidad de interés, ya que el tiempo propio en sí mismo está fijado solo hasta una constante aditiva arbitraria, es decir, la configuración del reloj en algún evento a lo largo de la línea de universo.

El intervalo de tiempo adecuado entre dos eventos depende no sólo de los eventos, sino también de la línea del universo que los conecta y, por lo tanto, del movimiento del reloj entre los eventos. Se expresa como una integral sobre la línea del universo (análoga a la longitud de arco en el espacio euclidiano ). Un reloj acelerado medirá un tiempo transcurrido menor entre dos eventos que el medido por un reloj no acelerado ( inercial ) entre los mismos dos eventos. La paradoja de los gemelos es un ejemplo de este efecto. ^[2]

La línea vertical azul oscuro representa un observador inercial que mide un intervalo de tiempo de coordenadas t entre los eventos E ₁ y E ₂ . La curva roja representa un reloj que mide su intervalo de tiempo propio τ entre los mismos dos eventos.

Por convención, el tiempo propio suele representarse con la letra griega τ ( tau ) para distinguirlo del tiempo coordinado representado por t . El tiempo coordinado es el tiempo entre dos eventos medido por un observador utilizando el método propio de ese observador para asignar un tiempo a un evento. En el caso especial de un observador inercial en relatividad especial , el tiempo se mide utilizando el reloj del observador y la definición de simultaneidad del observador.

El concepto de tiempo propio fue introducido por Hermann Minkowski en 1908, ^[3] y es una característica importante de los diagramas de Minkowski .

Formalismo matemático

La definición formal del tiempo propio implica describir la trayectoria a través del espacio-tiempo que representa un reloj, un observador o una partícula de prueba, y la estructura métrica de ese espacio-tiempo. El tiempo propio es la longitud del arco pseudo-riemanniano de las líneas del universo en el espacio-tiempo de cuatro dimensiones. Desde el punto de vista matemático, se supone que el tiempo de coordenadas está predefinido y se requiere una expresión para el tiempo propio en función del tiempo de coordenadas. Por otro lado, el tiempo propio se mide experimentalmente y el tiempo de coordenadas se calcula a partir del tiempo propio de los relojes inerciales.

El tiempo propio sólo puede definirse para trayectorias temporales a través del espacio-tiempo que permitan la construcción de un conjunto de reglas y relojes físicos. El mismo formalismo para trayectorias espaciales conduce a una medición de la distancia propia en lugar del tiempo propio. Para trayectorias de tipo luz, no existe el concepto de tiempo propio y no está definido ya que el intervalo espacio-temporal es cero. En cambio, debe introducirse un parámetro afín arbitrario y físicamente irrelevante que no esté relacionado con el tiempo. ^{[4] [5] [6] [7] [8] [9]}

En relatividad especial

Con la convención temporal para la firma métrica , la métrica de Minkowski se define por y las coordenadas por para marcos de Lorentz arbitrarios. $${\displaystyle \eta _{\mu \nu }={\begin{pmatrix}1&0&0&0\\0&-1&0&0\\0&0&-1&0\\0&0&0&-1\end{pmatrix}},}$$ $${\displaystyle (x^{0},x^{1},x^{2},x^{3})=(ct,x,y,z)}$$

En cualquier marco de este tipo, un intervalo infinitesimal, aquí asumido como temporal, entre dos eventos se expresa como

y separa puntos en una trayectoria de una partícula (piense en reloj{?}). El mismo intervalo puede expresarse en coordenadas tales que en cada momento, la partícula está en reposo . Tal marco se llama marco de reposo instantáneo, denotado aquí por las coordenadas para cada instante. Debido a la invariancia del intervalo (los marcos de reposo instantáneo tomados en diferentes momentos están relacionados por transformaciones de Lorentz) uno puede escribir ya que en el marco de reposo instantáneo, la partícula o el marco mismo está en reposo, es decir, . Dado que el intervalo se supone temporal (es decir, ), tomando la raíz cuadrada de lo anterior se obtiene ^[10] o Dada esta expresión diferencial para τ , el intervalo de tiempo propio se define como ${\displaystyle (c\tau ,x_{\tau },y_{\tau },z_{\tau })}$ $${\displaystyle ds^{2}=c^{2}d\tau ^{2}-dx_{\tau }^{2}-dy_{\tau }^{2}-dz_{\tau }^{2}=c^{2}d\tau ^{2},}$$ ${\displaystyle dx_{\tau }=dy_{\tau }=dz_{\tau }=0}$ ${\displaystyle ds^{2}>0}$ $${\displaystyle ds=cd\tau ,}$$ $${\displaystyle d\tau ={\frac {ds}{c}}.}$$

${\displaystyle \Delta \tau =\int _{P}d\tau =\int _{P}{\frac {ds}{c}}.}$          (2)

Aquí P es la línea de mundo desde un evento inicial hasta un evento final, con el orden de los eventos fijado por el requisito de que el evento final ocurre más tarde, según el reloj, que el evento inicial.

Usando (1) y nuevamente la invariancia del intervalo, se puede escribir ^[11]

${\displaystyle {\begin{aligned}\Delta \tau &=\int _{P}{\frac {1}{c}}{\sqrt {\eta _{\mu \nu }dx^{\mu }dx^{\nu }}}\\&=\int _{P}{\sqrt {dt^{2}-{dx^{2} \over c^{2}}-{dy^{2} \over c^{2}}-{dz^{2} \over c^{2}}}}\\&=\int _{a}^{b}{\sqrt {1-{\frac {1}{c^{2}}}\left[\left({\frac {dx}{dt}}\right)^{2}+\left({\frac {dy}{dt}}\right)^{2}+\left({\frac {dz}{dt}}\right)^{2}\right]}}dt\\&=\int _{a}^{b}{\sqrt {1-{\frac {v(t)^{2}}{c^{2}}}}}dt\\&=\int _{a}^{b}{\frac {dt}{\gamma (t)}},\end{aligned}}}$          (3)

donde es una parametrización biyectiva arbitraria de la línea de mundo P tal que da los puntos finales de P y a < b; v ( t ) es la velocidad de la coordenada en el tiempo de la coordenada t ; y x ( t ) , y ( t ) y z ( t ) son coordenadas espaciales. La primera expresión es manifiestamente invariante de Lorentz. Todas son invariantes de Lorentz, ya que el tiempo propio y los intervalos de tiempo propios son independientes de las coordenadas por definición. $${\displaystyle (x^{0},x^{1},x^{2},x^{3}):[a,b]\rightarrow P}$$ $${\displaystyle (x^{0}(a),x^{1}(a),x^{2}(a),x^{3}(a))\quad {\text{and}}\quad (x^{0}(b),x^{1}(b),x^{2}(b),x^{3}(b))}$$

Si t , x , y , z están parametrizados por un parámetro λ , esto se puede escribir como $${\displaystyle \Delta \tau =\int {\sqrt {\left({\frac {dt}{d\lambda }}\right)^{2}-{\frac {1}{c^{2}}}\left[\left({\frac {dx}{d\lambda }}\right)^{2}+\left({\frac {dy}{d\lambda }}\right)^{2}+\left({\frac {dz}{d\lambda }}\right)^{2}\right]}}\,d\lambda .}$$

Si el movimiento de la partícula es constante, la expresión se simplifica a donde Δ significa el cambio de coordenadas entre los eventos inicial y final. La definición en relatividad especial se generaliza directamente a la relatividad general como se muestra a continuación. $${\displaystyle \Delta \tau ={\sqrt {\left(\Delta t\right)^{2}-{\frac {\left(\Delta x\right)^{2}}{c^{2}}}-{\frac {\left(\Delta y\right)^{2}}{c^{2}}}-{\frac {\left(\Delta z\right)^{2}}{c^{2}}}}},}$$

En relatividad general

El tiempo propio se define en la relatividad general de la siguiente manera: dada una variedad pseudo-riemanniana con coordenadas locales x ^μ y equipada con un tensor métrico g _μν , el intervalo de tiempo propio Δ τ entre dos eventos a lo largo de una trayectoria temporal P está dado por la integral de línea ^[12]

Esta expresión es, como debe ser, invariante ante cambios de coordenadas. Se reduce (en coordenadas apropiadas) a la expresión de la relatividad especial en el espacio-tiempo plano .

De la misma manera que se pueden elegir coordenadas de manera que x ¹ , x ² , x ³ = constante en la relatividad especial, esto también se puede hacer en la relatividad general. Entonces, en estas coordenadas, ^[13] $${\displaystyle \Delta \tau =\int _{P}d\tau =\int _{P}{\frac {1}{c}}{\sqrt {g_{00}}}dx^{0}.}$$

Esta expresión generaliza la definición (2) y puede tomarse como definición. Luego, utilizando la invariancia del intervalo, la ecuación (4) se deduce de ella de la misma manera que (3) se deduce de (2) , excepto que aquí se permiten cambios arbitrarios de coordenadas.

Ejemplos de relatividad especial

Ejemplo 1: La “paradoja” de los gemelos

Para un escenario de paradoja gemela , supongamos que hay un observador A que se mueve entre las coordenadas A (0,0,0,0) y (10 años, 0, 0, 0) de manera inercial. Esto significa que A permanece en durante 10 años de tiempo de la coordenada A. El intervalo de tiempo adecuado para A entre los dos eventos es entonces ${\displaystyle x=y=z=0}$ $${\displaystyle \Delta \tau _{A}={\sqrt {(10{\text{ years}})^{2}}}=10{\text{ years}}.}$$

Entonces, estar "en reposo" en un sistema de coordenadas de relatividad especial significa que el tiempo propio y el tiempo coordinado son los mismos.

Sea ahora otro observador B que viaja en la dirección x desde (0,0,0,0) durante 5 años de tiempo de coordenadas A a 0,866 c hasta (5 años, 4,33 años luz, 0, 0). Una vez allí, B acelera y viaja en la otra dirección espacial durante otros 5 años de tiempo de coordenadas A hasta (10 años, 0, 0, 0). Para cada tramo del viaje, el intervalo de tiempo adecuado se puede calcular utilizando las coordenadas A , y está dado por $${\displaystyle \Delta \tau _{leg}={\sqrt {({\text{5 years}})^{2}-({\text{4.33 years}})^{2}}}={\sqrt {6.25\;\mathrm {years} ^{2}}}={\text{2.5 years}}.}$$

Por lo tanto, el tiempo total adecuado para que el observador B vaya de (0,0,0,0) a (5 años, 4,33 años luz, 0, 0) y luego a (10 años, 0, 0, 0) es $${\displaystyle \Delta \tau _{B}=2\Delta \tau _{leg}={\text{5 years}}.}$$

De esta manera, se demuestra que la ecuación del tiempo propio incorpora el efecto de dilatación del tiempo . De hecho, para un objeto en un espacio-tiempo SR (relatividad especial) que viaja con velocidad durante un tiempo , el intervalo de tiempo propio experimentado es que es la fórmula de dilatación del tiempo SR. ${\displaystyle v}$ ${\displaystyle \Delta T}$ $${\displaystyle \Delta \tau ={\sqrt {\Delta T^{2}-\left({\frac {v_{x}\Delta T}{c}}\right)^{2}-\left({\frac {v_{y}\Delta T}{c}}\right)^{2}-\left({\frac {v_{z}\Delta T}{c}}\right)^{2}}}=\Delta T{\sqrt {1-{\frac {v^{2}}{c^{2}}}}},}$$

Ejemplo 2: El disco giratorio

Un observador que gira alrededor de otro observador inercial se encuentra en un marco de referencia acelerado. Para un observador de este tipo, se necesita la forma incremental ( ) de la ecuación del tiempo propio, junto con una descripción parametrizada de la trayectoria que se sigue, como se muestra a continuación. ${\displaystyle d\tau }$

Sea un observador C en un disco que gira en el plano xy a una velocidad angular de coordenadas de y que está a una distancia de r del centro del disco con el centro del disco en x = y = z = 0 . La trayectoria del observador C está dada por , donde es el tiempo de coordenadas actual. Cuando r y son constantes, y . La fórmula del tiempo propio incremental se convierte entonces en ${\displaystyle \omega }$ ${\displaystyle (T,\,r\cos(\omega T),\,r\sin(\omega T),\,0)}$ ${\displaystyle T}$ ${\displaystyle \omega }$ ${\displaystyle dx=-r\omega \sin(\omega T)\,dT}$ ${\displaystyle dy=r\omega \cos(\omega T)\,dT}$ $${\displaystyle d\tau ={\sqrt {dT^{2}-\left({\frac {r\omega }{c}}\right)^{2}\sin ^{2}(\omega T)\;dT^{2}-\left({\frac {r\omega }{c}}\right)^{2}\cos ^{2}(\omega T)\;dT^{2}}}=dT{\sqrt {1-\left({\frac {r\omega }{c}}\right)^{2}}}.}$$

Por lo tanto, para un observador que gira a una distancia constante de r desde un punto dado en el espacio-tiempo a una velocidad angular constante de ω entre los tiempos de coordenadas y , el tiempo propio experimentado será v = rω para un observador que gira. Este resultado es el mismo que para el ejemplo de movimiento lineal y muestra la aplicación general de la forma integral de la fórmula del tiempo propio. ${\displaystyle T_{1}}$ ${\displaystyle T_{2}}$ $${\displaystyle \int _{T_{1}}^{T_{2}}d\tau =(T_{2}-T_{1}){\sqrt {1-\left({\frac {r\omega }{c}}\right)^{2}}}=\Delta T{\sqrt {1-v^{2}/c^{2}}},}$$

Ejemplos de relatividad general

La diferencia entre la relatividad especial y la relatividad general (RG) es que en la RG se puede utilizar cualquier métrica que sea una solución de las ecuaciones de campo de Einstein , no solo la métrica de Minkowski. Debido a que el movimiento inercial en los espacios-tiempos curvos carece de la expresión simple que tiene en la relatividad especial, siempre se debe utilizar la forma integral de línea de la ecuación del tiempo propio.

Ejemplo 3: El disco giratorio (de nuevo)

Una conversión de coordenadas adecuada realizada con respecto a la métrica de Minkowski crea coordenadas en las que un objeto en un disco giratorio permanece en la misma posición de coordenadas espaciales. Las nuevas coordenadas son y $${\displaystyle r={\sqrt {x^{2}+y^{2}}}}$$ $${\displaystyle \theta =\arctan \left({\frac {y}{x}}\right)-\omega t.}$$

Las coordenadas t y z permanecen inalteradas. En este nuevo sistema de coordenadas, la ecuación del tiempo propio incremental es $${\displaystyle d\tau ={\sqrt {\left[1-\left({\frac {r\omega }{c}}\right)^{2}\right]dt^{2}-{\frac {dr^{2}}{c^{2}}}-{\frac {r^{2}\,d\theta ^{2}}{c^{2}}}-{\frac {dz^{2}}{c^{2}}}-2{\frac {r^{2}\omega \,dt\,d\theta }{c^{2}}}}}.}$$

Siendo r , θ y z constantes a lo largo del tiempo, esto se simplifica a que es lo mismo que en el Ejemplo 2. $${\displaystyle d\tau =dt{\sqrt {1-\left({\frac {r\omega }{c}}\right)^{2}}},}$$

Ahora, supongamos que hay un objeto fuera del disco giratorio y en reposo inercial con respecto al centro del disco y a una distancia de R de él. Este objeto tiene un movimiento de coordenadas descrito por dθ = − ω dt , que describe el objeto en reposo inercial que gira en sentido contrario a la vista del observador giratorio. Ahora, la ecuación del tiempo propio se convierte en $${\displaystyle d\tau ={\sqrt {\left[1-\left({\frac {R\omega }{c}}\right)^{2}\right]dt^{2}-\left({\frac {R\omega }{c}}\right)^{2}\,dt^{2}+2\left({\frac {R\omega }{c}}\right)^{2}\,dt^{2}}}=dt.}$$

De modo que, para el observador inercial en reposo, se descubre una vez más que el tiempo de coordenadas y el tiempo propio transcurren al mismo ritmo, como se esperaba y se requiere para la autoconsistencia interna de la teoría de la relatividad. ^[14]

Ejemplo 4: La solución de Schwarzschild: el tiempo en la Tierra

La solución de Schwarzschild tiene una ecuación de tiempo propio incremental de donde $${\displaystyle d\tau ={\sqrt {\left(1-{\frac {2m}{r}}\right)dt^{2}-{\frac {1}{c^{2}}}\left(1-{\frac {2m}{r}}\right)^{-1}dr^{2}-{\frac {r^{2}}{c^{2}}}d\phi ^{2}-{\frac {r^{2}}{c^{2}}}\sin ^{2}(\phi )\,d\theta ^{2}}},}$$

• es el tiempo calibrado con un reloj distante y en reposo inercial con respecto a la Tierra,
• r es una coordenada radial (que es efectivamente la distancia desde el centro de la Tierra),
• ɸ es una coordenada co-latitudinal, la separación angular del polo norte en radianes .
• θ es una coordenada longitudinal, análoga a la longitud en la superficie de la Tierra pero independiente de la rotación de la Tierra . También se expresa en radianes.
• m es la masa geometrizada de la Tierra, m = GM / c ² ,
  • M es la masa de la Tierra,
  • G es la constante gravitacional .

Para demostrar el uso de la relación temporal adecuada, se utilizarán aquí varios subejemplos que involucran a la Tierra.

Para la Tierra , M =5,9742 × 10 ²⁴  kg , lo que significa que m =4,4354 × 10 ⁻³  m . Si nos encontramos en el polo norte, podemos suponer(es decir, que no nos movemos hacia arriba ni hacia abajo ni a lo largo de la superficie de la Tierra). En este caso, la ecuación de tiempo propio de la solución de Schwarzschild se convierte en. Luego, utilizando el radio polar de la Tierra como la coordenada radial (o), encontramos que ${\displaystyle dr=d\theta =d\phi =0}$ ${\textstyle d\tau =dt\,{\sqrt {1-2m/r}}}$ ${\displaystyle r={\text{6,356,752 metres}}}$ $${\displaystyle d\tau ={\sqrt {\left(1-1.3908\times 10^{-9}\right)\;dt^{2}}}=\left(1-6.9540\times 10^{-10}\right)\,dt.}$$

En el ecuador , el radio de la Tierra es r =6 378 137  m . Además, hay que tener en cuenta la rotación de la Tierra. Esto le confiere al observador una velocidad angular de2 π dividida por el período sideral de la rotación de la Tierra, 86162,4 segundos. Por lo tanto, la ecuación del tiempo propio produce ${\displaystyle d\theta /dt}$ ${\displaystyle d\theta =7.2923\times 10^{-5}\,dt}$ $${\displaystyle d\tau ={\sqrt {\left(1-1.3908\times 10^{-9}\right)dt^{2}-2.4069\times 10^{-12}\,dt^{2}}}=\left(1-6.9660\times 10^{-10}\right)\,dt.}$$

Desde un punto de vista no relativista, este resultado debería haber sido igual que el anterior. Este ejemplo demuestra cómo se utiliza la ecuación del tiempo propio, aunque la Tierra gira y, por lo tanto, no es esféricamente simétrica como se supone en la solución de Schwarzschild. Para describir los efectos de la rotación con mayor precisión, se puede utilizar la métrica de Kerr .

Véase también

• Transformación de Lorentz
• Espacio Minkowski
• Longitud adecuada
• Aceleración adecuada
• Masa propia
• Velocidad adecuada
• Hipótesis del reloj
• Métrica de Peres

Notas al pie

1. Zwiebach 2004, pág. 25
2. Hawley, John F.; Holcomb, J. Katherine A. (2005). Fundamentos de la cosmología moderna (edición ilustrada). Oxford University Press. pág. 204. ISBN 978-0-19-853096-1.Extracto de la página 204
3. Minkowski 1908, págs. 53-111
4. Lovelock y Rund 1989, págs.256
5. Weinberg 1972, págs. 76
6. Poisson 2004, págs. 7
7. Landau y Lifshitz 1975, pág. 245
8. Algunos autores incluyen intervalos similares a la luz en la definición de tiempo propio, y también incluyen las distancias propias similares al espacio como tiempos propios imaginarios, por ejemplo Lawden 2012, pp. 17, 116.
9. Kopeikin, Efroimsky y Kaplan 2011, pág. 275
10. Zwiebach 2004, pág. 25
11. Foster y Nightingale 1978, pág. 56
12. Foster y Nightingale 1978, pág. 57
13. Landau y Lifshitz 1975, pág. 251
14. Cook 2004, págs. 214-219

Referencias

• Cook, RJ (2004). "Tiempo físico y espacio físico en la relatividad general". Am. J. Phys . 72 (2): 214–219. Bibcode :2004AmJPh..72..214C. doi :10.1119/1.1607338. ISSN  0002-9505.
• Foster, J.; Nightingale, JD (1978). Un breve curso sobre relatividad general . Essex: Longman Scientific and Technical . ISBN 0-582-44194-3.
• Kleppner, D .; Kolenkow, RJ (1978). Introducción a la mecánica. McGraw–Hill . ISBN. 0-07-035048-5.
• Kopeikin, Sergei; Efroimsky, Michael; Kaplan, George (2011). Mecánica celeste relativista del sistema solar. John Wiley & Sons. ISBN 978-3-527-40856-6.
• Landau, LD ; Lifshitz, EM (1975). La teoría clásica de campos . Curso de física teórica. Vol. 2 (4.ª ed.). Oxford: Butterworth–Heinemann . ISBN 0-7506-2768-9.
• Lawden, Derek F. (2012). Introducción al cálculo tensorial: relatividad y cosmología. Courier Corporation. ISBN 978-0-486-13214-3.
• Lovelock, David ; Rund, Hanno (1989), Tensores, formas diferenciales y principios variacionales , Nueva York: Dover Publications , ISBN 0-486-65840-6
• Minkowski, Hermann (1908), "Die Grundgleichungen für die elektromagnetischen Vorgänge in bewegten Körpern", Nachrichten von der Königlichen Gesellschaft der Wissenschaften und der Georg-August-Universität zu Göttingen , Göttingen, archivado desde el original el 8 de julio de 2012
• Poisson, Eric (2004), Un kit de herramientas para relativistas: las matemáticas de la mecánica de los agujeros negros , Cambridge University Press , ISBN 978-0521537803
• Weinberg, Steven (1972), Gravitación y cosmología: principios y aplicaciones de la teoría general de la relatividad, Nueva York: John Wiley & Sons , ISBN 978-0-471-92567-5
• Zwiebach, Barton (2004). Un primer curso sobre teoría de cuerdas (primera edición). Cambridge University Press . ISBN 0-521-83143-1.