probabilidad actual

Valor del flujo de probabilidad en mecánica cuántica

En mecánica cuántica , la corriente de probabilidad (a veces llamada flujo de probabilidad ) es una cantidad matemática que describe el flujo de probabilidad . Específicamente, si uno piensa en la probabilidad como un fluido heterogéneo , entonces la corriente de probabilidad es la velocidad de flujo de este fluido. Es un vector real que cambia con el espacio y el tiempo. Las corrientes de probabilidad son análogas a las corrientes de masa en hidrodinámica y a las corrientes eléctricas en electromagnetismo . Como en esos campos, la corriente de probabilidad (es decir, la densidad de corriente de probabilidad) está relacionada con la función de densidad de probabilidad mediante una ecuación de continuidad . La corriente de probabilidad es invariante bajo la transformación de calibre .

El concepto de corriente de probabilidad también se utiliza fuera de la mecánica cuántica, cuando se trata de funciones de densidad de probabilidad que cambian con el tiempo, por ejemplo en el movimiento browniano y la ecuación de Fokker-Planck . ^[1]

Definición (3 corrientes no relativistas)

Partícula spin-0 libre

En mecánica cuántica no relativista, la probabilidad actual j de la función de onda Ψ de una partícula de masa m en una dimensión se define como ^[2]

$${\displaystyle j={\frac {\hbar }{2mi}}\left(\Psi ^{*}{\frac {\partial \Psi }{\partial x}}-\Psi {\frac {\partial \Psi ^{*}}{\partial x}}\right)={\frac {\hbar }{m}}\Re \left\{\Psi ^{*}{\frac {1}{i}}{\frac {\partial \Psi }{\partial x}}\right\}={\frac {\hbar }{m}}\Im \left\{\Psi ^{*}{\frac {\partial \Psi }{\partial x}}\right\},}$$

• ${\displaystyle \hbar }$es la constante de Planck reducida ;
• ${\displaystyle \Psi ^{*}}$denota el conjugado complejo de la función de onda ;
• ${\displaystyle \Re }$denota la parte real ;
• ${\displaystyle \Im }$denota la parte imaginaria .

Tenga en cuenta que la probabilidad actual es proporcional a un Wronskian ${\displaystyle W(\Psi ,\Psi ^{*}).}$

En tres dimensiones, esto se generaliza a

$${\displaystyle \mathbf {j} ={\frac {\hbar }{2mi}}\left(\Psi ^{*}\mathbf {\nabla } \Psi -\Psi \mathbf {\nabla } \Psi ^{*}\right)={\frac {\hbar }{m}}\Re \left\{\Psi ^{*}{\frac {\nabla }{i}}\Psi \right\}={\frac {\hbar }{m}}\Im \left\{\Psi ^{*}\nabla \Psi \right\}\,,}$$

operador delgradienteoperador de momento cinético ${\displaystyle \nabla }$

$${\displaystyle \mathbf {\hat {p}} =-i\hbar \nabla }$$

$${\displaystyle \mathbf {j} ={\frac {1}{2m}}\left(\Psi ^{*}\mathbf {\hat {p}} \Psi -\Psi \mathbf {\hat {p}} \Psi ^{*}\right)\,.}$$

Estas definiciones utilizan la base de posición (es decir, para una función de onda en el espacio de posición ), pero el espacio de momento es posible.

Partícula Spin-0 en un campo electromagnético.

La definición anterior debería modificarse para un sistema en un campo electromagnético externo . En unidades SI , una partícula cargada de masa m y carga eléctrica q incluye un término debido a la interacción con el campo electromagnético; ^[3]

$${\displaystyle \mathbf {j} ={\frac {1}{2m}}\left[\left(\Psi ^{*}\mathbf {\hat {p}} \Psi -\Psi \mathbf {\hat {p}} \Psi ^{*}\right)-2q\mathbf {A} |\Psi |^{2}\right]}$$

A = A ( r , t )potencial del vector magnéticoq Amomento canónicoinvariante de calibreoperador de momento cinético ${\displaystyle \mathbf {\hat {p}} =-i\hbar \nabla }$ ${\displaystyle \mathbf {\hat {P}} =-i\hbar \nabla -q\mathbf {A} }$

En unidades gaussianas :

$${\displaystyle \mathbf {j} ={\frac {1}{2m}}\left[\left(\Psi ^{*}\mathbf {\hat {p}} \Psi -\Psi \mathbf {\hat {p}} \Psi ^{*}\right)-2{\frac {q}{c}}\mathbf {A} |\Psi |^{2}\right]}$$

cvelocidad de la luz

Partícula de espín en un campo electromagnético.

Si la partícula tiene espín , tiene un momento magnético correspondiente , por lo que es necesario agregar un término adicional que incorpore la interacción del espín con el campo electromagnético.

Según el Curso de Física Teórica de Landau-Lifschitz , la densidad de corriente eléctrica está en unidades gaussianas: ^[4]

$${\displaystyle \mathbf {j} _{e}={\frac {q}{2m}}\left[\left(\Psi ^{*}\mathbf {\hat {p}} \Psi -\Psi \mathbf {\hat {p}} \Psi ^{*}\right)-{\frac {2q}{c}}\mathbf {A} |\Psi |^{2}\right]+{\frac {\mu _{S}c}{s\hbar }}\nabla \times (\Psi ^{*}\mathbf {S} \Psi )}$$

Y en unidades del SI:

$${\displaystyle \mathbf {j} _{e}={\frac {q}{2m}}\left[\left(\Psi ^{*}\mathbf {\hat {p}} \Psi -\Psi \mathbf {\hat {p}} \Psi ^{*}\right)-2q\mathbf {A} |\Psi |^{2}\right]+{\frac {\mu _{S}}{s\hbar }}\nabla \times (\Psi ^{*}\mathbf {S} \Psi )}$$

Por tanto, la probabilidad de corriente (densidad) está en unidades SI:

$${\displaystyle \mathbf {j} =\mathbf {j} _{e}/q={\frac {1}{2m}}\left[\left(\Psi ^{*}\mathbf {\hat {p}} \Psi -\Psi \mathbf {\hat {p}} \Psi ^{*}\right)-2q\mathbf {A} |\Psi |^{2}\right]+{\frac {\mu _{S}}{qs\hbar }}\nabla \times (\Psi ^{*}\mathbf {S} \Psi )}$$

donde S es el vector de espín de la partícula con el momento magnético de espín correspondiente μ _S y el número cuántico de espín s .

Es dudoso que esta fórmula sea válida para partículas con estructura interior. ^{[ cita necesaria ]} El neutrón tiene carga cero pero momento magnético distinto de cero, por lo que sería imposible (excepto que también sería cero en este caso). Para partículas compuestas con una carga distinta de cero, como el protón que tiene un número cuántico de espín s=1/2 y µ _S = 2,7927· µ N o el deuterón (núcleo H-2) que tiene s=1 y µ _S = 0,8574 ·µ _N ^[5] – es matemáticamente posible pero dudoso. ${\displaystyle {\frac {\mu _{S}}{qs\hbar }}}$ ${\displaystyle \nabla \times (\Psi ^{*}\mathbf {S} \Psi )}$

Conexión con la mecánica clásica.

La función de onda también se puede escribir en forma exponencial compleja ( polar ): ^[6]

$${\displaystyle \Psi =Re^{iS/\hbar }}$$

R, Srt

Escrito de esta manera, la densidad de probabilidad es

$${\displaystyle \rho =\Psi ^{*}\Psi =R^{2}}$$

$${\displaystyle {\begin{aligned}\mathbf {j} &={\frac {\hbar }{2mi}}\left(\Psi ^{*}\mathbf {\nabla } \Psi -\Psi \mathbf {\nabla } \Psi ^{*}\right)\\[5pt]&={\frac {\hbar }{2mi}}\left(Re^{-iS/\hbar }\mathbf {\nabla } Re^{iS/\hbar }-Re^{iS/\hbar }\mathbf {\nabla } Re^{-iS/\hbar }\right)\\[5pt]&={\frac {\hbar }{2mi}}\left[Re^{-iS/\hbar }\left(e^{iS/\hbar }\mathbf {\nabla } R+{\frac {i}{\hbar }}Re^{iS/\hbar }\mathbf {\nabla } S\right)-Re^{iS/\hbar }\left(e^{-iS/\hbar }\mathbf {\nabla } R-{\frac {i}{\hbar }}Re^{-iS/\hbar }\mathbf {\nabla } S\right)\right].\end{aligned}}}$$

Los términos exponenciales y R ∇ R se cancelan:

$${\displaystyle \mathbf {j} ={\frac {\hbar }{2mi}}\left[{\frac {i}{\hbar }}R^{2}\mathbf {\nabla } S+{\frac {i}{\hbar }}R^{2}\mathbf {\nabla } S\right].}$$

Finalmente, combinando y cancelando las constantes, y reemplazando R ² con ρ ,

$${\displaystyle \mathbf {j} =\rho {\frac {\mathbf {\nabla } S}{m}}.}$$

$${\displaystyle \mathbf {j} =\rho \mathbf {v} ,}$$

donde es la densidad de masa del fluido y v es su velocidad (también la velocidad de grupo de la onda). En el límite clásico, podemos asociar la velocidad con la cual es lo mismo que equiparar ∇ S con el momento clásico p = m v sin embargo, no representa una velocidad física o momento en un punto ya que la medición simultánea de la posición y la velocidad viola la incertidumbre. principio . Esta interpretación encaja con la teoría de Hamilton-Jacobi , en la que ${\displaystyle \rho }$ ${\displaystyle {\tfrac {\nabla S}{m}},}$

$${\displaystyle \mathbf {p} =\nabla S}$$

∇ SSla función principal de Hamilton

La teoría de de Broglie-Bohm equipara la velocidad en general (no sólo en el límite clásico) por lo que siempre está bien definida. Es una interpretación de la mecánica cuántica. ${\displaystyle {\tfrac {\nabla S}{m}}}$

Motivación

Ecuación de continuidad para la mecánica cuántica.

La definición de corriente de probabilidad y la ecuación de Schrödinger se pueden utilizar para derivar la ecuación de continuidad , que tiene exactamente las mismas formas que las de la hidrodinámica y el electromagnetismo . ^[7]

Para alguna función de onda Ψ , sea:

$${\displaystyle \rho (\mathbf {r} ,t)=|\Psi |^{2}=\Psi ^{*}(\mathbf {r} ,t)\Psi (\mathbf {r} ,t).}$$

densidad de probabilidad*conjugado complejo

${\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {d}{dt}}\int _{\mathcal {V}}dV\,\rho &=\int _{\mathcal {V}}dV\,(\psi '^{*}\psi +\psi ^{*}\psi ')\\&=\int _{\mathcal {V}}dV\,\left(-{\frac {i}{\hbar }}\left(-{\frac {\hbar ^{2}}{2m}}\nabla ^{2}\psi +V\psi \right)\psi ^{*}+{\frac {i}{\hbar }}\left(-{\frac {\hbar ^{2}}{2m}}\nabla ^{2}\psi ^{*}+V\psi ^{*}\right)\psi \right)\\&=\int _{\mathcal {V}}dV\,{\frac {i\hbar }{2m}}(\nabla ^{2}\psi \psi ^{*}-\psi \nabla ^{2}\psi ^{*})\\&=\int _{\mathcal {V}}dV\,\nabla \cdot \left({\frac {i\hbar }{2m}}(\psi ^{*}\nabla \psi -\psi \nabla \psi ^{*})\right)\\&=\int _{\mathcal {S}}d\mathbf {a} \cdot \left({\frac {i\hbar }{2m}}(\psi ^{*}\nabla \psi -\psi \nabla \psi ^{*})\right)\\\end{aligned}}}$

donde V es cualquier volumen y S es el límite de V.

Ésta es la ley de conservación de la probabilidad en la mecánica cuántica. La forma integral se expresa como:

$${\displaystyle \int _{V}\left({\frac {\partial |\Psi |^{2}}{\partial t}}\right)\mathrm {d} V+\int _{V}\left(\mathbf {\nabla } \cdot \mathbf {j} \right)\mathrm {d} V=0}$$

$${\displaystyle \mathbf {j} ={\frac {1}{2m}}\left(\Psi ^{*}{\hat {\mathbf {p} }}\Psi -\Psi {\hat {\mathbf {p} }}\Psi ^{*}\right)=-{\frac {i\hbar }{2m}}(\psi ^{*}\nabla \psi -\psi \nabla \psi ^{*})={\frac {\hbar }{m}}\operatorname {Im} (\psi ^{*}\nabla \psi )}$$

Aquí, al igualar los términos dentro de la integral se obtiene la ecuación de continuidad para la probabilidad:

$${\displaystyle {\frac {\partial }{\partial t}}\rho \left(\mathbf {r} ,t\right)+\nabla \cdot \mathbf {j} =0,}$$

teorema de la divergencia

${\displaystyle {\frac {\partial }{\partial t}}\int _{V}|\Psi |^{2}\mathrm {d} V+}$ ${\displaystyle \scriptstyle S}$ ${\displaystyle \mathbf {j} \cdot \mathrm {d} \mathbf {S} =0}$.

En particular, si Ψ es una función de onda que describe una sola partícula, la integral en el primer término de la ecuación anterior, sin derivada del tiempo, es la probabilidad de obtener un valor dentro de V cuando se mide la posición de la partícula. El segundo término es entonces la velocidad a la que la probabilidad sale del volumen V. En conjunto , la ecuación establece que la derivada temporal de la probabilidad de que la partícula se mida en V es igual a la velocidad a la que la probabilidad fluye hacia V.

Al tomar el límite de la integral de volumen para incluir todas las regiones del espacio, una función de onda de buen comportamiento que llega a cero en infinitos en el término integral de superficie implica que la derivada temporal de la probabilidad total es cero, es decir. la condición de normalización se conserva. ^[8] Este resultado está de acuerdo con la naturaleza unitaria de los operadores de evolución temporal que preservan la longitud del vector por definición.

Transmisión y reflexión a través de potenciales.

En regiones donde ocurre un potencial de paso o una barrera de potencial , la corriente de probabilidad está relacionada con los coeficientes de transmisión y reflexión, respectivamente T y R ; Miden en qué medida las partículas se reflejan en la barrera de potencial o se transmiten a través de ella. Ambos satisfacen:

$${\displaystyle T+R=1\,,}$$

TR

$${\displaystyle T={\frac {|\mathbf {j} _{\mathrm {trans} }|}{|\mathbf {j} _{\mathrm {inc} }|}}\,,\quad R={\frac {|\mathbf {j} _{\mathrm {ref} }|}{|\mathbf {j} _{\mathrm {inc} }|}}\,,}$$

j _inc , j _ref , j _transmagnitudesTR

$${\displaystyle \mathbf {j} _{\mathrm {trans} }+\mathbf {j} _{\mathrm {ref} }=\mathbf {j} _{\mathrm {inc} }\,.}$$

En términos de un vector unitario n normal a la barrera, estos son equivalentemente:

$${\displaystyle T=\left|{\frac {\mathbf {j} _{\mathrm {trans} }\cdot \mathbf {n} }{\mathbf {j} _{\mathrm {inc} }\cdot \mathbf {n} }}\right|\,,\qquad R=\left|{\frac {\mathbf {j} _{\mathrm {ref} }\cdot \mathbf {n} }{\mathbf {j} _{\mathrm {inc} }\cdot \mathbf {n} }}\right|\,,}$$

que TR

Ejemplos

onda plana

Para una onda plana que se propaga en el espacio:

$${\displaystyle \Psi (\mathbf {r} ,t)=\,Ae^{i(\mathbf {k} \cdot {\mathbf {r} }-\omega t)}}$$

$${\displaystyle \rho (\mathbf {r} ,t)=|A|^{2}\rightarrow {\frac {\partial |\Psi |^{2}}{\partial t}}=0}$$

estados estacionarios

$${\displaystyle \mathbf {j} \left(\mathbf {r} ,t\right)=\left|A\right|^{2}{\hbar \mathbf {k} \over m}=\rho {\frac {\mathbf {p} }{m}}=\rho \mathbf {v} }$$

lo que ilustra que la partícula puede estar en movimiento incluso si su densidad de probabilidad espacial no tiene una dependencia temporal explícita.

Partícula en una caja

Para una partícula en una caja , en una dimensión espacial y de longitud L , confinada a la región , los estados propios de energía son ${\displaystyle 0<x<L}$

$${\displaystyle \Psi _{n}={\sqrt {\frac {2}{L}}}\sin \left({\frac {n\pi }{L}}x\right)}$$

$${\displaystyle j_{n}={\frac {i\hbar }{2m}}\left(\Psi _{n}^{*}{\frac {\partial \Psi _{n}}{\partial x}}-\Psi _{n}{\frac {\partial \Psi _{n}^{*}}{\partial x}}\right)=0}$$

$${\displaystyle \Psi _{n}=\Psi _{n}^{*}}$$

Definición discreta

Para una partícula en una dimensión tenemos el hamiltoniano donde es el laplaciano discreto, siendo S el operador de desplazamiento a la derecha. Entonces la probabilidad actual se define como con v el operador de velocidad, igual a y X es el operador de posición. Dado que V es generalmente un operador de multiplicación podemos escribir con seguridad ${\displaystyle \ell ^{2}(\mathbb {Z} ),}$ ${\displaystyle H=-\Delta +V}$ ${\displaystyle -\Delta \equiv 2I-S-S^{\ast }}$ ${\displaystyle \ell ^{2}(\mathbb {Z} ).}$ ${\displaystyle j\equiv 2\Im \left\{{\bar {\Psi }}iv\Psi \right\},}$ ${\displaystyle v\equiv -i[X,\,H]}$ ${\displaystyle \ell ^{2}\left(\mathbb {Z} \right).}$ ${\displaystyle \ell ^{2}(\mathbb {Z} ),}$

$${\displaystyle -i[X,\,H]=-i[X,\,-\Delta ]=-i\left[X,\,-S-S^{\ast }\right]=iS-iS^{\ast }.}$$

Como resultado encontramos:

$${\displaystyle {\begin{aligned}j\left(x\right)\equiv 2\Im \left\{{\bar {\Psi }}(x)iv\Psi (x)\right\}&=2\Im \left\{{\bar {\Psi }}(x)\left((-S\Psi )(x)+\left(S^{\ast }\Psi \right)(x)\right)\right\}\\&=2\Im \left\{{\bar {\Psi }}(x)\left(-\Psi (x-1)+\Psi (x+1)\right)\right\}\end{aligned}}}$$

Referencias

1. Pablo, Wolfgang; Baschnagel, Jörg (1999). Procesos estocásticos: de la física a las finanzas . Berlín: Springer. pag. 84.ISBN _ 3-540-66560-9.
2. Teoría cuántica de campos, D. McMahon, Mc Graw Hill (EE. UU.), 2008, ISBN 978-0-07-154382-8 
3. Mecánica cuántica, Ballentine, Leslie E, vol. 280, Acantilados de Englewood: Prentice Hall, 1990.
4. consulte la página 473, ecuación 115.4, LD Landau, EM Lifschitz. «CURSO DE FÍSICA TEÓRICA Vol. 3 – Mecánica Cuántica» (PDF) . ia803206.us.archive.org (3ª ed.) . Consultado el 29 de abril de 2023 .
5. "Propiedades de giro de los núcleos". www2.química.msu.edu . Consultado el 29 de abril de 2023 .
6. Mecánica analítica , LN Hand, JD Finch, Cambridge University Press, 2008, ISBN 978-0-521-57572-0 
7. Mecánica cuántica, E. Abers, Pearson Ed., Addison Wesley, Prentice Hall Inc, 2004, ISBN 978-0-13-146100-0 
8. Sakurai, junio John; Napolitano, Jim (2021). Mecánica cuántica moderna (3ª ed.). Cambridge: Prensa de la Universidad de Cambridge. ISBN 978-1-108-47322-4.

Otras lecturas

• Resnick, R.; Eisberg, R. (1985). Física cuántica de átomos, moléculas, sólidos, núcleos y partículas (2ª ed.). John Wiley e hijos. ISBN 0-471-87373-X.