Potencial de paso

En mecánica cuántica y teoría de la dispersión , el potencial de paso unidimensional es un sistema idealizado que se utiliza para modelar ondas de materia incidentes, reflejadas y transmitidas . El problema consiste en resolver la ecuación de Schrödinger independiente del tiempo para una partícula con un potencial escalonado en una dimensión. Normalmente, el potencial se modela como una función escalonada de Heaviside .

Cálculo

Ecuación de Schrödinger y función potencial

Dispersión en un paso potencial finito de altura V ₀ , que se muestra en verde. Se indican las amplitudes y la dirección de las ondas que se mueven hacia la izquierda y hacia la derecha. El amarillo es la onda incidente, el azul se refleja y se transmite, el rojo no se produce. E > V ₀ para esta figura.

La ecuación de Schrödinger independiente del tiempo para la función de onda es ${\displaystyle \psi (x)}$

$${\displaystyle {\hat {H}}\psi (x)=\left[-{\frac {\hbar ^{2}}{2m}}{\frac {d^{2}}{dx^{2}}}+V(x)\right]\psi (x)=E\psi (x),}$$

Ĥhamiltonianoħ es la constante de PlanckmmasaEV ₀función de paso de Heaviside

$${\displaystyle V(x)={\begin{cases}0,&x<0\\V_{0},&x\geq 0\end{cases}}}$$

La barrera se coloca en x = 0, aunque se puede elegir cualquier posición x ₀ sin cambiar los resultados, simplemente cambiando la posición del paso en − x ₀ .

El primer término del hamiltoniano es la energía cinética de la partícula. ${\textstyle -{\frac {\hbar ^{2}}{2m}}{\frac {d^{2}}{dx^{2}}}\psi }$

Solución

El paso divide el espacio en dos partes: x < 0 y x > 0. En cualquiera de estas partes el potencial es constante, lo que significa que la partícula es casi libre, y la solución de la ecuación de Schrödinger se puede escribir como una superposición de izquierda y ondas que se mueven hacia la derecha (ver partícula libre )

${\displaystyle \psi _{1}(x)=\left(A_{\rightarrow }e^{ik_{1}x}+A_{\leftarrow }e^{-ik_{1}x}\right)\quad x<0,}$

${\displaystyle \psi _{2}(x)=\left(B_{\rightarrow }e^{ik_{2}x}+B_{\leftarrow }e^{-ik_{2}x}\right)\quad x>0}$

donde los subíndices 1 y 2 denotan las regiones x < 0 y x > 0 respectivamente, los subíndices (→) y (←) en las amplitudes A y B denotan la dirección del vector velocidad de la partícula: derecha e izquierda respectivamente.

Los vectores de onda en las respectivas regiones son

${\displaystyle k_{1}={\sqrt {2mE/\hbar ^{2}}},}$

${\displaystyle k_{2}={\sqrt {2m(E-V_{0})/\hbar ^{2}}}}$

ambos tienen la misma forma que la relación de De Broglie (en una dimensión)

${\displaystyle p=\hbar k}$.

Condiciones de borde

Los coeficientes A , B deben calcularse a partir de las condiciones de contorno de la función de onda en x = 0. La función de onda y su derivada deben ser continuas en todas partes, por lo que:

${\displaystyle \psi _{1}(0)=\psi _{2}(0),}$

${\displaystyle \left.{\frac {d\psi _{1}}{dx}}\right|_{x=0}=\left.{\frac {d\psi _{2}}{dx}}\right|_{x=0}.}$

Al insertar las funciones de onda, las condiciones de contorno dan las siguientes restricciones sobre los coeficientes

${\displaystyle (A_{\rightarrow }+A_{\leftarrow })=(B_{\rightarrow }+B_{\leftarrow })}$

${\displaystyle k_{1}(A_{\rightarrow }-A_{\leftarrow })=k_{2}(B_{\rightarrow }-B_{\leftarrow })}$

Transmisión y reflexión

Es útil comparar la situación con el caso clásico . En ambos casos, la partícula se comporta como una partícula libre fuera de la región de barrera. Una partícula clásica con energía E mayor que la altura de la barrera V ₀ se ralentizará pero nunca será reflejada por la barrera, mientras que una partícula clásica con E < V ₀ que incide sobre la barrera desde la izquierda siempre se reflejará. Una vez que hayamos encontrado el resultado de la mecánica cuántica volveremos a la cuestión de cómo recuperar el límite clásico.

Para estudiar el caso cuántico, considere la siguiente situación: una partícula que incide sobre la barrera desde el lado izquierdo A _→ . Puede reflejarse ( A _← ) o transmitirse ( B _→ ). Aquí y en lo siguiente supongamos E > V ₀ .

Para encontrar las amplitudes de reflexión y transmisión para la incidencia desde la izquierda, establecemos en las ecuaciones anteriores A _→ = 1 (partícula entrante), A _← = √ R (reflexión), B _← = 0 (sin partícula entrante desde la derecha) y B _→ = √ Tk ₁ / k ₂ (transmisión ^[1] ). Luego resolvemos para T y R.

El resultado es:

${\displaystyle {\sqrt {T}}={\frac {2{\sqrt {k_{1}k_{2}}}}{k_{1}+k_{2}}}}$

${\displaystyle {\sqrt {R}}={\frac {k_{1}-k_{2}}{k_{1}+k_{2}}}.}$

El modelo es simétrico con respecto a una transformación de paridad y al mismo tiempo intercambia k ₁ y k ₂ . Para la incidencia desde la derecha tenemos por tanto las amplitudes de transmisión y reflexión.

${\displaystyle {\sqrt {T'}}={\sqrt {T}}={\frac {2{\sqrt {k_{1}k_{2}}}}{k_{1}+k_{2}}}}$

${\displaystyle {\sqrt {R'}}=-{\sqrt {R}}={\frac {k_{2}-k_{1}}{k_{1}+k_{2}}}.}$

Análisis de las expresiones.

Probabilidad de reflexión y transmisión en un potencial de paso lateral de Heaviside. Discontinuo: resultado clásico. Líneas sólidas: mecánica cuántica. Para E < V _0, el problema clásico y el cuántico dan el mismo resultado.

Energía menor que la altura del escalón ( E < V 0 )

Para energías E < V ₀ , la función de onda a la derecha del paso decae exponencialmente a lo largo de una distancia . ${\displaystyle 1/(k_{2})}$

Energía mayor que la altura del escalón ( E > V 0 )

En este rango de energía los coeficientes de transmisión y reflexión difieren del caso clásico. Son los mismos para incidencia de izquierda y derecha:

${\displaystyle T=|T'|={\frac {4k_{1}k_{2}}{(k_{1}+k_{2})^{2}}}}$

${\displaystyle R=|R'|=1-T={\frac {(k_{1}-k_{2})^{2}}{(k_{1}+k_{2})^{2}}}}$

En el límite de energías grandes E ≫ V ₀ , tenemos k ₁ ≈ k ₂ y se recupera el resultado clásico T = 1, R = 0.

Por tanto, existe una probabilidad finita de que se refleje una partícula con una energía mayor que la altura del escalón.

Pasos negativos

• En el caso de una E positiva grande y un paso positivo pequeño, entonces T es casi 1.
• Pero, en el caso de una E positiva pequeña y una V negativa grande , entonces R es casi 1.

En otras palabras, una partícula cuántica se refleja en una gran caída de potencial (al igual que lo hace en un gran paso de potencial). Esto tiene sentido en términos de desajustes de impedancia, pero parece clásicamente contrario a la intuición...

Límite clásico

El resultado obtenido para R depende sólo de la relación E / V ₀ . Esto parece violar superficialmente el principio de correspondencia , ya que obtenemos una probabilidad finita de reflexión independientemente del valor de la constante de Planck o de la masa de la partícula. Por ejemplo, parecemos predecir que cuando una canica rueda hasta el borde de una mesa, puede haber una gran probabilidad de que se refleje en lugar de caerse. La coherencia con la mecánica clásica se restablece eliminando la suposición no física de que el potencial de paso es discontinuo. Cuando la función escalonada se reemplaza con una rampa que se extiende por una distancia finita w , la probabilidad de reflexión se acerca a cero en el límite , donde k es el número de onda de la partícula. ^[2] ${\displaystyle wk\to \infty }$

Cálculo relativista

El cálculo relativista de una partícula libre que choca con un potencial escalonado se puede obtener mediante la mecánica cuántica relativista . Para el caso de 1/2 fermiones, como electrones y neutrinos , las soluciones de la ecuación de Dirac para barreras de alta energía producen coeficientes de transmisión y reflexión que no están acotados. Este fenómeno se conoce como la paradoja de Klein . La aparente paradoja desaparece en el contexto de la teoría cuántica de campos .

Aplicaciones

El potencial de paso de Heaviside sirve principalmente como un ejercicio de introducción a la mecánica cuántica, ya que la solución requiere la comprensión de una variedad de conceptos de la mecánica cuántica: normalización de la función de onda, continuidad, amplitudes de incidente/reflexión/transmisión y probabilidades.

Un problema similar al considerado aparece en la física de las interfaces superconductoras de metales normales . Las cuasipartículas se dispersan en el potencial de par que, en el modelo más simple, se puede suponer que tiene forma escalonada. La solución de la ecuación de Bogoliubov-de Gennes se parece a la del potencial de paso de Heaviside discutido. En el caso del superconductor de metal normal, esto da lugar a la reflexión de Andreev .

Ver también

• Barrera de potencial rectangular
• Pozo de potencial finito
• Pozo de potencial infinito
• Barrera potencial delta
• Barrera de potencial finita

Referencias

1. El coeficiente de transmisión se define como la relación entre la corriente de probabilidad transmitida y la corriente de probabilidad entrante. Sin embargo, las cantidades directamente involucradas en este problema de paso potencial se denominan amplitudes de dispersión . Aquí están relacionados con los coeficientes de transmisión y reflexión . Podemos ver en este video de YouTube que la expresión más general para es , y para tenemos la proporción de k-vectores y posiblemente diferentes masas en sus respectivos lados: . Las masas provienen de la definición de la corriente de probabilidad y los k-vectores de las derivadas de las funciones de onda. ${\displaystyle S_{ij}}$ ${\displaystyle A_{\leftarrow }}$ ${\displaystyle r={\sqrt {R}}}$ ${\displaystyle B_{\rightarrow }}$ ${\textstyle t{\sqrt {m_{2}k_{1}/m_{1}k_{2}}}={\sqrt {Tm_{2}k_{1}/m_{1}k_{2}}}}$
2. Branson, D. (1979). "El principio de correspondencia y dispersión de posibles pasos". Revista Estadounidense de Física . 47 (12): 1101-1102. Código bibliográfico : 1979AmJPh..47.1101B. doi :10.1119/1.11582.

Fuentes

• Mecánica cuántica desmitificada , D. McMahon, Mc Graw Hill (EE.UU.), 2006, ISBN 0-07-145546 9 
• Física cuántica de átomos, moléculas, sólidos, núcleos y partículas (segunda edición) , R. Eisberg, R. Resnick, John Wiley & Sons, 1985, ISBN 978-0-471-87373-0 
• Mecánica cuántica , E. Abers, Pearson Ed., Addison Wesley, Prentice Hall Inc, 2004, ISBN 978-0-13-146100-0 
• Mecánica cuántica elemental , NF Mott, Wykeham Science, Wykeham Press (Taylor & Francis Group), 1972, ISBN 0-85109-270-5 
• Estados estacionarios , A. Holden, College Physics Monographs (EE.UU.), Oxford University Press, 1971, ISBN 0-19-851121-3 
• Mecánica cuántica , E. Zaarur, Y. Peleg, R. Pnini, Schaum's Outlines, Mc Graw Hill (EE. UU.), 1998, ISBN 007-0540187 

Otras lecturas

• El nuevo universo cuántico , T.Hey, P.Walters, Cambridge University Press, 2009, ISBN 978-0-521-56457-1 . 
• Teoría cuántica de campos , D. McMahon, Mc Graw Hill (EE. UU.), 2008, ISBN 978-0-07-154382-8 
• Mecánica cuántica , E. Zaarur, Y. Peleg, R. Pnini, Curso intensivo de contornos fáciles de Schaum, Mc Graw Hill (EE. UU.), 2006, ISBN 007-145533-7 ISBN 978-007-145533-6