Operador de momento

Operador en mecánica cuántica

En mecánica cuántica , el operador de momento es el operador asociado al momento lineal . El operador de momento es, en la representación de posición, un ejemplo de operador diferencial . Para el caso de una partícula en una dimensión espacial, la definición es: donde ħ es la constante de Planck reducida , i la unidad imaginaria , x es la coordenada espacial y se utiliza una derivada parcial (denotada por ) en lugar de una derivada total ( d / dx ) ya que la función de onda también es una función del tiempo. El "sombrero" indica un operador. La "aplicación" del operador en una función de onda diferenciable es la siguiente: $${\displaystyle {\hat {p}}=-i\hbar {\frac {\partial }{\partial x}}}$$ ${\displaystyle \partial /\partial x}$ $${\displaystyle {\hat {p}}\psi =-i\hbar {\frac {\partial \psi }{\partial x}}}$$

En una base del espacio de Hilbert que consiste en estados propios del momento expresados ​​en la representación del momento, la acción del operador es simplemente la multiplicación por p , es decir, es un operador de multiplicación , al igual que el operador de posición es un operador de multiplicación en la representación de posición. Nótese que la definición anterior es el momento canónico , que no es invariante de calibre y no es una cantidad física medible para partículas cargadas en un campo electromagnético . En ese caso, el momento canónico no es igual al momento cinético .

En la época en que se desarrolló la mecánica cuántica en la década de 1920, muchos físicos teóricos, entre ellos Niels Bohr , Arnold Sommerfeld , Erwin Schrödinger y Eugene Wigner , descubrieron el operador de momento . Su existencia y forma se consideran a veces uno de los postulados fundacionales de la mecánica cuántica.

Origen de las ondas planas de De Broglie

Los operadores de momento y energía se pueden construir de la siguiente manera. ^[1]

Una dimensión

Partiendo de una dimensión, se utiliza la solución de onda plana para la ecuación de Schrödinger de una partícula libre individual, donde p se interpreta como el momento en la dirección x y E es la energía de la partícula. La derivada parcial de primer orden con respecto al espacio es $${\displaystyle \psi (x,t)=e^{{\frac {i}{\hbar }}(px-Et)},}$$ $${\displaystyle {\frac {\partial \psi (x,t)}{\partial x}}={\frac {ip}{\hbar }}e^{{\frac {i}{\hbar }}(px-Et)}={\frac {ip}{\hbar }}\psi .}$$

Esto sugiere la equivalencia del operador, de modo que el momento de la partícula y el valor que se mide cuando una partícula está en un estado de onda plana es el valor propio del operador anterior. $${\displaystyle {\hat {p}}=-i\hbar {\frac {\partial }{\partial x}}}$$

Como la derivada parcial es un operador lineal , el operador de momento también es lineal, y como cualquier función de onda puede expresarse como una superposición de otros estados, cuando este operador de momento actúa sobre toda la onda superpuesta, produce los valores propios del momento para cada componente de la onda plana. Estos nuevos componentes se superponen para formar el nuevo estado, que en general no es un múltiplo de la antigua función de onda.

Tres dimensiones

La derivación en tres dimensiones es la misma, excepto que se utiliza el operador de gradiente del en lugar de una derivada parcial. En tres dimensiones, la solución de onda plana para la ecuación de Schrödinger es: y el gradiente es donde e _x , e _y y e _z son los vectores unitarios para las tres dimensiones espaciales, por lo tanto $${\displaystyle \psi =e^{{\frac {i}{\hbar }}(\mathbf {p} \cdot \mathbf {r} -Et)}}$$ $${\displaystyle {\begin{aligned}\nabla \psi &=\mathbf {e} _{x}{\frac {\partial \psi }{\partial x}}+\mathbf {e} _{y}{\frac {\partial \psi }{\partial y}}+\mathbf {e} _{z}{\frac {\partial \psi }{\partial z}}\\&={\frac {i}{\hbar }}\left(p_{x}\mathbf {e} _{x}+p_{y}\mathbf {e} _{y}+p_{z}\mathbf {e} _{z}\right)\psi \\&={\frac {i}{\hbar }}\mathbf {p} \psi \end{aligned}}}$$ $${\displaystyle \mathbf {\hat {p}} =-i\hbar \nabla }$$

Este operador de momento está en el espacio de posición porque las derivadas parciales se tomaron con respecto a las variables espaciales.

Definición (espacio de posición)

Para una sola partícula sin carga eléctrica y sin espín , el operador de momento se puede escribir en la base de posición como: ^[2] donde ∇ es el operador de gradiente , ħ es la constante de Planck reducida e i es la unidad imaginaria . $${\displaystyle \mathbf {\hat {p}} =-i\hbar \nabla }$$

En una dimensión espacial, esto se convierte en ^[3] $${\displaystyle {\hat {p}}={\hat {p}}_{x}=-i\hbar {\partial \over \partial x}.}$$

Esta es la expresión para el momento canónico . Para una partícula cargada q en un campo electromagnético , durante una transformación de calibre , la función de onda del espacio de posición experimenta una transformación de grupo U(1) local , ^[4] y cambiará su valor. Por lo tanto, el momento canónico no es invariante de calibre y, por lo tanto, no es una cantidad física medible. ${\textstyle {\hat {p}}\psi =-i\hbar {\frac {\partial \psi }{\partial x}}}$

El momento cinético , una cantidad física invariante de calibre, se puede expresar en términos del momento canónico, el potencial escalar  φ y el potencial vectorial  A : ^[5] $${\displaystyle \mathbf {\hat {P}} =-i\hbar \nabla -q\mathbf {A} }$$

La expresión anterior se denomina acoplamiento mínimo . Para partículas eléctricamente neutras, el momento canónico es igual al momento cinético.

Propiedades

Hermiticidad

El operador de momento es siempre un operador hermítico (más técnicamente, en terminología matemática, un "operador autoadjunto") cuando actúa sobre estados cuánticos físicos (en particular, normalizables ). ^[6]

(En ciertas situaciones artificiales, como los estados cuánticos en el intervalo semiinfinito [0, ∞) , no hay forma de hacer que el operador de momento sea hermítico. ^[7] Esto está estrechamente relacionado con el hecho de que un intervalo semiinfinito no puede tener simetría traslacional; más específicamente, no tiene operadores de traslación unitarios . Véase más abajo).

Relación de conmutación canónica

Aplicando el conmutador a un estado arbitrario, ya sea en la base de posición o de momento, se puede demostrar fácilmente que: donde es el operador unitario . ^[8] El principio de incertidumbre de Heisenberg define límites sobre la precisión con la que se puede conocer a la vez el momento y la posición de un único sistema observable. En mecánica cuántica, la posición y el momento son variables conjugadas . $${\displaystyle \left[{\hat {x}},{\hat {p}}\right]={\hat {x}}{\hat {p}}-{\hat {p}}{\hat {x}}=i\hbar \mathbb {I} ,}$$ ${\displaystyle \mathbb {I} }$

Transformada de Fourier

La siguiente discusión utiliza la notación corchete . Se puede escribir de modo que la tilde represente la transformada de Fourier, al convertir del espacio de coordenadas al espacio de momento. Entonces se cumple que , es decir, el momento que actúa en el espacio de coordenadas corresponde a la frecuencia espacial, $${\displaystyle \psi (x)=\langle x|\psi \rangle =\int \!\!dp~\langle x|p\rangle \langle p|\psi \rangle =\int \!\!dp~{e^{ixp/\hbar }{\tilde {\psi }}(p) \over {\sqrt {2\pi \hbar }}},}$$ $${\displaystyle {\hat {p}}=\int \!\!dp~|p\rangle p\langle p|=-i\hbar \int \!\!dx~|x\rangle {\frac {d}{dx}}\langle x|~,}$$ $${\displaystyle \langle x|{\hat {p}}|\psi \rangle =-i\hbar {\frac {d}{dx}}\psi (x).}$$

Un resultado análogo se aplica al operador de posición en la base del momento, lo que conduce a otras relaciones útiles, donde δ representa la función delta de Dirac . $${\displaystyle \langle p|{\hat {x}}|\psi \rangle =i\hbar {\frac {d}{dp}}\psi (p),}$$ $${\displaystyle \langle p|{\hat {x}}|p'\rangle =i\hbar {\frac {d}{dp}}\delta (p-p'),}$$ $${\displaystyle \langle x|{\hat {p}}|x'\rangle =-i\hbar {\frac {d}{dx}}\delta (x-x'),}$$

Derivación a partir de traslaciones infinitesimales

El operador de traslación se denota T ( ε ) , donde ε representa la longitud de la traslación. Satisface la siguiente identidad: que se convierte en $${\displaystyle T(\varepsilon )|\psi \rangle =\int dxT(\varepsilon )|x\rangle \langle x|\psi \rangle }$$ $${\displaystyle \int dx|x+\varepsilon \rangle \langle x|\psi \rangle =\int dx|x\rangle \langle x-\varepsilon |\psi \rangle =\int dx|x\rangle \psi (x-\varepsilon )}$$

Suponiendo que la función ψ es analítica (es decir, diferenciable en algún dominio del plano complejo ), se puede desarrollar una serie de Taylor sobre x : así, para valores infinitesimales de ε : $${\displaystyle \psi (x-\varepsilon )=\psi (x)-\varepsilon {\frac {d\psi }{dx}}}$$ $${\displaystyle T(\varepsilon )=1-\varepsilon {d \over dx}=1-{i \over \hbar }\varepsilon \left(-i\hbar {d \over dx}\right)}$$

Como se sabe de la mecánica clásica , el momento es el generador de la traslación , por lo que la relación entre los operadores de traslación y momento es: ^{[9] [ se necesita más explicación ]} por lo tanto $${\displaystyle T(\varepsilon )=1-{\frac {i}{\hbar }}\varepsilon {\hat {p}}}$$ $${\displaystyle {\hat {p}}=-i\hbar {\frac {d}{dx}}.}$$

Operador de 4 momentos

Insertando el operador de momento 3d anterior y el operador de energía en el 4-momento (como una 1-forma con firma métrica (+ − − −) ): se obtiene el operador de momento 4 : donde ∂ _μ es el 4-gradiente , y el − iħ se convierte en + iħ precediendo al operador de momento 3. Este operador aparece en la teoría cuántica de campos relativista , como la ecuación de Dirac y otras ecuaciones de onda relativistas , ya que la energía y el momento se combinan en el vector de 4-momento anterior, los operadores de momento y energía corresponden a derivadas de espacio y tiempo, y deben ser derivadas parciales de primer orden para la covarianza de Lorentz . $${\displaystyle P_{\mu }=\left({\frac {E}{c}},-\mathbf {p} \right)}$$ $${\displaystyle {\hat {P}}_{\mu }=\left({\frac {1}{c}}{\hat {E}},-\mathbf {\hat {p}} \right)=i\hbar \left({\frac {1}{c}}{\frac {\partial }{\partial t}},\nabla \right)=i\hbar \partial _{\mu }}$$   

El operador de Dirac y la barra de Dirac del momento 4 se obtienen mediante la contratación con las matrices gamma : $${\displaystyle \gamma ^{\mu }{\hat {P}}_{\mu }=i\hbar \gamma ^{\mu }\partial _{\mu }={\hat {P}}=i\hbar \partial \!\!\!/}$$

Si la firma fuera (− + + +) , el operador sería en su lugar. $${\displaystyle {\hat {P}}_{\mu }=\left(-{\frac {1}{c}}{\hat {E}},\mathbf {\hat {p}} \right)=-i\hbar \left({\frac {1}{c}}{\frac {\partial }{\partial t}},\nabla \right)=-i\hbar \partial _{\mu }}$$

Véase también

• Descripciones matemáticas del campo electromagnético
• Operador de traducción (mecánica cuántica)
• Ecuaciones de onda relativistas
• Pseudovector de Pauli-Lubanski

Referencias

1. Física cuántica de átomos, moléculas, sólidos, núcleos y partículas (2.ª edición), R. Resnick, R. Eisberg, John Wiley & Sons, 1985, ISBN  978-0-471-87373-0
2. La mecánica cuántica desmitificada , D. McMahon, Mc Graw Hill (EE. UU.), 2006, ISBN 0-07-145546-9 
3. En la representación de coordenadas de posición, es decir, ${\textstyle -i\hbar \int dx\left|x\right\rangle \partial _{x}\langle x|.}$
4. Zinn-Justin, Jean; Guida, Riccardo (4 de diciembre de 2008). "Invariancia de calibre". Scholarpedia . 3 (12): 8287. Bibcode :2008SchpJ...3.8287Z. doi : 10.4249/scholarpedia.8287 . ISSN  1941-6016.
5. Física cuántica de átomos, moléculas, sólidos, núcleos y partículas (2.ª edición), R. Resnick, R. Eisberg, John Wiley & Sons, 1985, ISBN 978-0-471-87373-0 
6. Véase la nota de clase 1 de Robert Littlejohn, archivada el 17 de junio de 2012 en Wayback Machine, para una discusión matemática específica y una prueba para el caso de una partícula única, sin carga y con espín cero. Véase la nota de clase 4 de Robert Littlejohn para el caso general.
7. Bonneau, G., Faraut, J., Valent, G. (2001). "Extensiones autoadjuntas de operadores y la enseñanza de la mecánica cuántica". American Journal of Physics . 69 (3): 322–331. arXiv : quant-ph/0103153 . Código Bibliográfico :2001AmJPh..69..322B. doi :10.1119/1.1328351. S2CID  16949018.{{cite journal}}: CS1 maint: multiple names: authors list (link)
8. Nacido, M.; Jordania, P. (1925). "Zur Quantenmechanik". Zeitschrift für Physik (en alemán). 34 (1): 858–888. Código bibliográfico : 1925ZPhy...34..858B. doi :10.1007/BF01328531. ISSN  1434-6001.
9. Sakurai, Jun John; Napolitano, Jim (2021). Mecánica cuántica moderna (3.ª ed.). Cambridge: Cambridge University Press. ISBN 978-1-108-47322-4.