Espectro (análisis funcional)

Conjunto de valores propios de una matriz

En matemáticas , particularmente en análisis funcional , el espectro de un operador lineal acotado (o, más generalmente, un operador lineal no acotado ) es una generalización del conjunto de valores propios de una matriz . Específicamente, se dice que un número complejo está en el espectro de un operador lineal acotado si ${\displaystyle \lambda }$ ${\displaystyle T}$ ${\displaystyle T-\lambda I}$

• o bien no tiene inversa en teoría de conjuntos ;
• o bien el inverso de la teoría de conjuntos no está acotado o está definido en un subconjunto no denso. ^[1]

Aquí está el operador de identidad . ${\displaystyle I}$

Por el teorema del grafo cerrado , está en el espectro si y sólo si el operador acotado no es biyectivo en . ${\displaystyle \lambda }$ ${\displaystyle T-\lambda I:V\to V}$ ${\displaystyle V}$

El estudio de los espectros y propiedades relacionadas se conoce como teoría espectral , que tiene numerosas aplicaciones, entre las que destaca la formulación matemática de la mecánica cuántica .

El espectro de un operador en un espacio vectorial de dimensión finita es precisamente el conjunto de valores propios. Sin embargo, un operador en un espacio de dimensión infinita puede tener elementos adicionales en su espectro y puede no tener valores propios. Por ejemplo, considere el operador de desplazamiento a la derecha R en el espacio de Hilbert ℓ ​​2 ,

${\displaystyle (x_{1},x_{2},\dots )\mapsto (0,x_{1},x_{2},\dots ).}$

Esto no tiene valores propios, ya que si Rx = λx entonces al expandir esta expresión vemos que x ₁ = 0, x ₂ = 0, etc. Por otro lado, 0 está en el espectro porque aunque el operador R  − 0 (es decir, R mismo) es invertible, el inverso está definido en un conjunto que no es denso en ℓ 2 . De hecho, todo operador lineal acotado en un espacio de Banach complejo debe tener un espectro no vacío.

La noción de espectro se extiende a operadores no acotados (es decir, no necesariamente acotados). Se dice que un número complejo λ está en el espectro de un operador no acotado definido en el dominio si no hay un inverso acotado definido en la totalidad de Si T es cerrado (lo que incluye el caso en que T es acotado), la acotación de se sigue automáticamente de su existencia. ${\displaystyle T:\,X\to X}$ ${\displaystyle D(T)\subseteq X}$ ${\displaystyle (T-\lambda I)^{-1}:\,X\to D(T)}$ ${\displaystyle X.}$ ${\displaystyle (T-\lambda I)^{-1}}$

El espacio de operadores lineales acotados B ( X ) en un espacio de Banach X es un ejemplo de álgebra de Banach unital . Dado que la definición del espectro no menciona ninguna propiedad de B ( X ) excepto las que posee cualquier álgebra de este tipo, la noción de espectro puede generalizarse a este contexto utilizando la misma definición textualmente.

Espectro de un operador acotado

Definición

Sea un operador lineal acotado que actúa sobre un espacio de Banach sobre el cuerpo escalar complejo , y sea el operador identidad sobre . El espectro de es el conjunto de todos para los cuales el operador no tiene un inverso que sea un operador lineal acotado. ${\displaystyle T}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \mathbb {C} }$ ${\displaystyle I}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle T}$ ${\displaystyle \lambda \in \mathbb {C} }$ ${\displaystyle T-\lambda I}$

Como es un operador lineal, el inverso es lineal si existe; y, por el teorema de la inversa acotada , es acotado. Por lo tanto, el espectro consiste precisamente en aquellos escalares para los cuales no es biyectivo . ${\displaystyle T-\lambda I}$ ${\displaystyle \lambda }$ ${\displaystyle T-\lambda I}$

El espectro de un operador dado a menudo se denota como , y su complemento, el conjunto resolvente , se denota como . ( a veces se utiliza para denotar el radio espectral de ) ${\displaystyle T}$ ${\displaystyle \sigma (T)}$ ${\displaystyle \rho (T)=\mathbb {C} \setminus \sigma (T)}$ ${\displaystyle \rho (T)}$ ${\displaystyle T}$

Relación con los valores propios

Si es un valor propio de , entonces el operador no es biunívoco y, por lo tanto, su inverso no está definido. Sin embargo, la afirmación inversa no es verdadera: el operador puede no tener un inverso, incluso si no es un valor propio. Por lo tanto, el espectro de un operador siempre contiene todos sus valores propios, pero no se limita a ellos. ${\displaystyle \lambda }$ ${\displaystyle T}$ ${\displaystyle T-\lambda I}$ ${\displaystyle (T-\lambda I)^{-1}}$ ${\displaystyle T-\lambda I}$ ${\displaystyle \lambda }$

Por ejemplo, considere el espacio de Hilbert , que consiste en todas las secuencias bi-infinitas de números reales. ${\displaystyle \ell ^{2}(\mathbb {Z} )}$

${\displaystyle v=(\ldots ,v_{-2},v_{-1},v_{0},v_{1},v_{2},\ldots )}$

que tienen una suma finita de cuadrados . El operador de desplazamiento bilateral simplemente desplaza cada elemento de la secuencia una posición; es decir, si entonces para cada entero . La ecuación de valor propio no tiene una solución distinta de cero en este espacio, ya que implica que todos los valores tienen el mismo valor absoluto (si ) o son una progresión geométrica (si ); de cualquier manera, la suma de sus cuadrados no sería finita. Sin embargo, el operador no es invertible si . Por ejemplo, la secuencia tal que está en ; pero no hay ninguna secuencia en tal que (es decir, para todos los ). ${\textstyle \sum _{i=-\infty }^{+\infty }v_{i}^{2}}$ ${\displaystyle T}$ ${\displaystyle u=T(v)}$ ${\displaystyle u_{i}=v_{i-1}}$ ${\displaystyle i}$ ${\displaystyle T(v)=\lambda v}$ ${\displaystyle v_{i}}$ ${\displaystyle \vert \lambda \vert =1}$ ${\displaystyle \vert \lambda \vert \neq 1}$ ${\displaystyle T-\lambda I}$ ${\displaystyle |\lambda |=1}$ ${\displaystyle u}$ ${\displaystyle u_{i}=1/(|i|+1)}$ ${\displaystyle \ell ^{2}(\mathbb {Z} )}$ ${\displaystyle v}$ ${\displaystyle \ell ^{2}(\mathbb {Z} )}$ ${\displaystyle (T-I)v=u}$ ${\displaystyle v_{i-1}=u_{i}+v_{i}}$ ${\displaystyle i}$

Propiedades básicas

El espectro de un operador acotado T es siempre un subconjunto cerrado y acotado del plano complejo .

Si el espectro estuviera vacío, entonces la función resolvente

${\displaystyle R(\lambda )=(T-\lambda I)^{-1},\qquad \lambda \in \mathbb {C} ,}$

estaría definida en todas partes en el plano complejo y acotada. Pero se puede demostrar que la función resolvente R es holomorfa en su dominio. Por la versión vectorial del teorema de Liouville , esta función es constante, por lo tanto cero en todas partes, ya que es cero en el infinito. Esto sería una contradicción.

La acotación del espectro se desprende de la expansión de la serie de Neumann en λ ; el espectro σ ( T ) está acotado por || T ||. Un resultado similar muestra la cerrazón del espectro.

El límite || T || del espectro se puede refinar un poco. El radio espectral , r ( T ), de T es el radio del círculo más pequeño en el plano complejo que está centrado en el origen y contiene el espectro σ ( T ) dentro de él, es decir

${\displaystyle r(T)=\sup\{|\lambda |:\lambda \in \sigma (T)\}.}$

La fórmula del radio espectral dice ^[2] que para cualquier elemento de un álgebra de Banach , ${\displaystyle T}$

${\displaystyle r(T)=\lim _{n\to \infty }\left\|T^{n}\right\|^{1/n}.}$

Espectro de un operador ilimitado

Se puede extender la definición de espectro a operadores ilimitados en un espacio de Banach X. Estos operadores ya no son elementos del álgebra de Banach B ( X ).

Definición

Sea X un espacio de Banach y un operador lineal definido en el dominio . Se dice que un número complejo λ está en el conjunto resolvente (también llamado conjunto regular ) de si el operador ${\displaystyle T:\,D(T)\to X}$ ${\displaystyle D(T)\subseteq X}$ ${\displaystyle T}$

${\displaystyle T-\lambda I:\,D(T)\to X}$

tiene una inversa acotada y definida en todas partes, es decir, si existe un operador acotado

${\displaystyle S:\,X\rightarrow D(T)}$

de tal manera que

${\displaystyle S(T-\lambda I)=I_{D(T)},\,(T-\lambda I)S=I_{X}.}$

Un número complejo λ está entonces en el espectro si λ no está en el conjunto resolvente.

Para que λ esté en el resolvente (es decir, no en el espectro), al igual que en el caso acotado, debe ser biyectiva, ya que debe tener una inversa bilateral. Como antes, si existe una inversa, entonces su linealidad es inmediata, pero en general puede no estar acotada, por lo que esta condición debe verificarse por separado. ${\displaystyle T-\lambda I}$

Por el teorema del grafo cerrado , la acotación de se sigue directamente de su existencia cuando T es cerrado . Entonces, al igual que en el caso acotado, un número complejo λ se encuentra en el espectro de un operador cerrado T si y solo si no es biyectivo. Nótese que la clase de operadores cerrados incluye todos los operadores acotados. ${\displaystyle (T-\lambda I)^{-1}}$ ${\displaystyle T-\lambda I}$

Propiedades básicas

El espectro de un operador no acotado es en general un subconjunto cerrado, posiblemente vacío, del plano complejo. Si el operador T no es cerrado , entonces . ${\displaystyle \sigma (T)=\mathbb {C} }$

Clasificación de puntos en el espectro

Un operador acotado T en un espacio de Banach es invertible, es decir, tiene una inversa acotada, si y sólo si T está acotado por debajo, es decir, para algún valor y tiene un rango denso. En consecuencia, el espectro de T se puede dividir en las siguientes partes: ${\displaystyle \|Tx\|\geq c\|x\|,}$ ${\displaystyle c>0,}$

1. ${\displaystyle \lambda \in \sigma (T)}$si no está acotado inferiormente. En particular, este es el caso si no es inyectiva, es decir, λ es un valor propio. El conjunto de valores propios se denomina espectro puntual de T y se denota por σ _p ( T ). Alternativamente, podría ser biunívoco pero aún así no estar acotado inferiormente. Tal λ no es un valor propio pero aún así es un valor propio aproximado de T (los valores propios en sí mismos también son valores propios aproximados). El conjunto de valores propios aproximados (que incluye el espectro puntual) se denomina espectro puntual aproximado de T , denotado por σ _ap ( T ). ${\displaystyle T-\lambda I}$ ${\displaystyle T-\lambda I}$ ${\displaystyle T-\lambda I}$
2. ${\displaystyle \lambda \in \sigma (T)}$Si no tiene rango denso, el conjunto de tales λ se denomina espectro de compresión de T , denotado por . Si no tiene rango denso pero es inyectivo, se dice que λ está en el espectro residual de T , denotado por . ${\displaystyle T-\lambda I}$ ${\displaystyle \sigma _{\mathrm {cp} }(T)}$ ${\displaystyle T-\lambda I}$ ${\displaystyle \sigma _{\mathrm {res} }(T)}$

Téngase en cuenta que el espectro puntual aproximado y el espectro residual no son necesariamente disjuntos ^[3] (sin embargo, el espectro puntual y el espectro residual sí lo son).

Las siguientes subsecciones proporcionan más detalles sobre las tres partes de σ ( T ) esbozadas anteriormente.

Espectro de puntos

Si un operador no es inyectivo (por lo que existe algún x distinto de cero con T ( x ) = 0), entonces claramente no es invertible. Por lo tanto, si λ es un valor propio de T , necesariamente se tiene λ  ∈  σ ( T ). El conjunto de valores propios de T también se denomina espectro puntual de T , denotado por σ _p ( T ). Algunos autores se refieren al cierre del espectro puntual como el espectro puntual puro , mientras que otros simplemente consideran ^{[4] [5]} ${\displaystyle \sigma _{pp}(T)={\overline {\sigma _{p}(T)}}}$ ${\displaystyle \sigma _{pp}(T):=\sigma _{p}(T).}$

Espectro de puntos aproximado

De manera más general, por el teorema de la inversa acotada , T no es invertible si no está acotado inferiormente; es decir, si no hay c  > 0 tal que || Tx || ≥  c || x || para todo x ∈ X. Por lo tanto, el espectro incluye el conjunto de valores propios aproximados , que son aquellos λ tales que T - λI no está acotado inferiormente; equivalentemente, es el conjunto de λ para el cual existe una secuencia de vectores unitarios x ₁ , x ₂ , ... para el cual

${\displaystyle \lim _{n\to \infty }\|Tx_{n}-\lambda x_{n}\|=0}$.

El conjunto de valores propios aproximados se conoce como espectro puntual aproximado , denotado por . ${\displaystyle \sigma _{\mathrm {ap} }(T)}$

Es fácil ver que los valores propios se encuentran en el espectro de puntos aproximado.

Por ejemplo, considere el desplazamiento a la derecha R definido por ${\displaystyle l^{2}(\mathbb {Z} )}$

${\displaystyle R:\,e_{j}\mapsto e_{j+1},\quad j\in \mathbb {Z} ,}$

donde es la base ortonormal estándar en . El cálculo directo muestra que R no tiene valores propios, pero cada λ con es un valor propio aproximado; siendo x _n el vector ${\displaystyle {\big (}e_{j}{\big )}_{j\in \mathbb {N} }}$ ${\displaystyle l^{2}(\mathbb {Z} )}$ ${\displaystyle |\lambda |=1}$

${\displaystyle {\frac {1}{\sqrt {n}}}(\dots ,0,1,\lambda ^{-1},\lambda ^{-2},\dots ,\lambda ^{1-n},0,\dots )}$

se puede ver que || x _n || = 1 para todo n , pero

${\displaystyle \|Rx_{n}-\lambda x_{n}\|={\sqrt {\frac {2}{n}}}\to 0.}$

Como R es un operador unitario, su espectro se encuentra en el círculo unitario. Por lo tanto, el espectro puntual aproximado de R es su espectro completo.

Esta conclusión también es válida para una clase más general de operadores. Un operador unitario es normal . Por el teorema espectral , un operador acotado en un espacio de Hilbert H es normal si y solo si es equivalente (después de la identificación de H con un espacio) a un operador de multiplicación . Se puede demostrar que el espectro puntual aproximado de un operador de multiplicación acotado es igual a su espectro. ${\displaystyle L^{2}}$

Espectro discreto

El espectro discreto se define como el conjunto de valores propios normales o, equivalentemente, como el conjunto de puntos aislados del espectro tales que el proyector de Riesz correspondiente es de rango finito. Como tal, el espectro discreto es un subconjunto estricto del espectro puntual, es decir, ${\displaystyle \sigma _{d}(T)\subset \sigma _{p}(T).}$

Espectro continuo

El conjunto de todos los λ para los cuales es inyectivo y tiene rango denso, pero no es sobreyectivo, se llama espectro continuo de T , denotado por . Por lo tanto, el espectro continuo consiste en aquellos valores propios aproximados que no son valores propios y no se encuentran en el espectro residual. Es decir, ${\displaystyle T-\lambda I}$ ${\displaystyle \sigma _{\mathbb {c} }(T)}$

${\displaystyle \sigma _{\mathrm {c} }(T)=\sigma _{\mathrm {ap} }(T)\setminus (\sigma _{\mathrm {r} }(T)\cup \sigma _{\mathrm {p} }(T))}$.

Por ejemplo, , , , es inyectiva y tiene un rango denso, pero . De hecho, si con tal que , no necesariamente se tiene , y entonces . ${\displaystyle A:\,l^{2}(\mathbb {N} )\to l^{2}(\mathbb {N} )}$ ${\displaystyle e_{j}\mapsto e_{j}/j}$ ${\displaystyle j\in \mathbb {N} }$ ${\displaystyle \mathrm {Ran} (A)\subsetneq l^{2}(\mathbb {N} )}$ ${\textstyle x=\sum _{j\in \mathbb {N} }c_{j}e_{j}\in l^{2}(\mathbb {N} )}$ ${\displaystyle c_{j}\in \mathbb {C} }$ ${\textstyle \sum _{j\in \mathbb {N} }|c_{j}|^{2}<\infty }$ ${\textstyle \sum _{j\in \mathbb {N} }\left|jc_{j}\right|^{2}<\infty }$ ${\textstyle \sum _{j\in \mathbb {N} }jc_{j}e_{j}\notin l^{2}(\mathbb {N} )}$

Espectro de compresión

El conjunto de para el cual no tiene rango denso se conoce como espectro de compresión de T y se denota por . ${\displaystyle \lambda \in \mathbb {C} }$ ${\displaystyle T-\lambda I}$ ${\displaystyle \sigma _{\mathrm {cp} }(T)}$

Espectro residual

El conjunto de para el cual es inyectivo pero no tiene rango denso se conoce como espectro residual de T y se denota por : ${\displaystyle \lambda \in \mathbb {C} }$ ${\displaystyle T-\lambda I}$ ${\displaystyle \sigma _{\mathrm {r} }(T)}$

${\displaystyle \sigma _{\mathrm {r} }(T)=\sigma _{\mathrm {cp} }(T)\setminus \sigma _{\mathrm {p} }(T).}$

Un operador puede ser inyectivo, incluso acotado inferiormente, pero no invertible. El desplazamiento a la derecha en , , , es un ejemplo de ello. Este operador de desplazamiento es una isometría , por lo tanto acotado inferiormente por 1. Pero no es invertible ya que no es sobreyectivo ( ), y además no es denso en ( ). ${\displaystyle l^{2}(\mathbb {N} )}$ ${\displaystyle R:\,l^{2}(\mathbb {N} )\to l^{2}(\mathbb {N} )}$ ${\displaystyle R:\,e_{j}\mapsto e_{j+1},\,j\in \mathbb {N} }$ ${\displaystyle e_{1}\not \in \mathrm {Ran} (R)}$ ${\displaystyle \mathrm {Ran} (R)}$ ${\displaystyle l^{2}(\mathbb {N} )}$ ${\displaystyle e_{1}\notin {\overline {\mathrm {Ran} (R)}}}$

Espectro periférico

El espectro periférico de un operador se define como el conjunto de puntos de su espectro que tienen un módulo igual a su radio espectral. ^[6]

Espectro esencial

Hay cinco definiciones similares del espectro esencial del operador lineal cerrado y densamente definido que satisfacen ${\displaystyle A:\,X\to X}$

${\displaystyle \sigma _{\mathrm {ess} ,1}(A)\subset \sigma _{\mathrm {ess} ,2}(A)\subset \sigma _{\mathrm {ess} ,3}(A)\subset \sigma _{\mathrm {ess} ,4}(A)\subset \sigma _{\mathrm {ess} ,5}(A)\subset \sigma (A).}$

Todos estos espectros coinciden en el caso de operadores autoadjuntos. ${\displaystyle \sigma _{\mathrm {ess} ,k}(A),\ 1\leq k\leq 5}$

1. El espectro esencial se define como el conjunto de puntos del espectro tales que no es semi-Fredholm . (El operador es semi-Fredholm si su rango es cerrado y su núcleo o co-núcleo (o ambos) es de dimensión finita). Ejemplo 1: para el operador , (porque el rango de este operador no es cerrado: el rango no incluye todos los de aunque su clausura sí lo hace). Ejemplo 2: para , para cualquier (porque tanto el núcleo como el co-núcleo de este operador son de dimensión infinita). ${\displaystyle \sigma _{\mathrm {ess} ,1}(A)}$ ${\displaystyle \lambda }$ ${\displaystyle A-\lambda I}$
   ${\displaystyle \lambda =0\in \sigma _{\mathrm {ess} ,1}(A)}$ ${\displaystyle A:\,l^{2}(\mathbb {N} )\to l^{2}(\mathbb {N} )}$ ${\displaystyle A:\,e_{j}\mapsto e_{j}/j,~j\in \mathbb {N} }$ ${\displaystyle l^{2}(\mathbb {N} )}$
   ${\displaystyle \lambda =0\in \sigma _{\mathrm {ess} ,1}(N)}$ ${\displaystyle N:\,l^{2}(\mathbb {N} )\to l^{2}(\mathbb {N} )}$ ${\displaystyle N:\,v\mapsto 0}$ ${\displaystyle v\in l^{2}(\mathbb {N} )}$
2. El espectro esencial se define como el conjunto de puntos del espectro tales que el operador tiene un núcleo de dimensión infinita o tiene un rango que no está cerrado. También se puede caracterizar en términos del criterio de Weyl : existe una sucesión en el espacio X tal que , y tal que no contiene ninguna subsucesión convergente . Una secuencia de este tipo se denomina secuencia singular (o secuencia singular de Weyl ). Ejemplo: para el operador , si j es par y cuando j es impar (el núcleo es de dimensión infinita; el conúcleo es de dimensión cero). Nótese que . ${\displaystyle \sigma _{\mathrm {ess} ,2}(A)}$ ${\displaystyle \lambda }$ ${\displaystyle A-\lambda I}$ ${\displaystyle (x_{j})_{j\in \mathbb {N} }}$ ${\displaystyle \Vert x_{j}\Vert =1}$ ${\textstyle \lim _{j\to \infty }\left\|(A-\lambda I)x_{j}\right\|=0,}$ ${\displaystyle (x_{j})_{j\in \mathbb {N} }}$
   ${\displaystyle \lambda =0\in \sigma _{\mathrm {ess} ,2}(B)}$ ${\displaystyle B:\,l^{2}(\mathbb {N} )\to l^{2}(\mathbb {N} )}$ ${\displaystyle B:\,e_{j}\mapsto e_{j/2}}$ ${\displaystyle e_{j}\mapsto 0}$ ${\displaystyle \lambda =0\not \in \sigma _{\mathrm {ess} ,1}(B)}$
3. El espectro esencial se define como el conjunto de puntos del espectro tales que no es Fredholm . (El operador es Fredholm si su rango es cerrado y tanto su núcleo como su conúcleo son de dimensión finita). Ejemplo: para el operador , (el núcleo es de dimensión cero, el conúcleo es de dimensión infinita). Nótese que . ${\displaystyle \sigma _{\mathrm {ess} ,3}(A)}$ ${\displaystyle \lambda }$ ${\displaystyle A-\lambda I}$
   ${\displaystyle \lambda =0\in \sigma _{\mathrm {ess} ,3}(J)}$ ${\displaystyle J:\,l^{2}(\mathbb {N} )\to l^{2}(\mathbb {N} )}$ ${\displaystyle J:\,e_{j}\mapsto e_{2j}}$ ${\displaystyle \lambda =0\not \in \sigma _{\mathrm {ess} ,2}(J)}$
4. El espectro esencial se define como el conjunto de puntos del espectro tales que no es Fredholm de índice cero. También podría caracterizarse como la parte más grande del espectro de A que se conserva mediante perturbaciones compactas . En otras palabras, ; aquí denota el conjunto de todos los operadores compactos en X . Ejemplo: donde es el operador de desplazamiento a la derecha, , para (su núcleo es cero, su co-núcleo es unidimensional). Nótese que . ${\displaystyle \sigma _{\mathrm {ess} ,4}(A)}$ ${\displaystyle \lambda }$ ${\displaystyle A-\lambda I}$ ${\textstyle \sigma _{\mathrm {ess} ,4}(A)=\bigcap _{K\in B_{0}(X)}\sigma (A+K)}$ ${\displaystyle B_{0}(X)}$
   ${\displaystyle \lambda =0\in \sigma _{\mathrm {ess} ,4}(R)}$ ${\displaystyle R:\,l^{2}(\mathbb {N} )\to l^{2}(\mathbb {N} )}$ ${\displaystyle R:\,l^{2}(\mathbb {N} )\to l^{2}(\mathbb {N} )}$ ${\displaystyle R:\,e_{j}\mapsto e_{j+1}}$ ${\displaystyle j\in \mathbb {N} }$ ${\displaystyle \lambda =0\not \in \sigma _{\mathrm {ess} ,3}(R)}$
5. El espectro esencial es la unión de con todos los componentes de que no se intersecan con el conjunto resolutivo . También se puede caracterizar como . Ejemplo: considere el operador , para , . Dado que , se tiene . Para cualquier con , el rango de es denso pero no cerrado, por lo tanto, el límite del disco unitario está en el primer tipo del espectro esencial: . Para cualquier con , tiene un rango cerrado, un núcleo unidimensional y un conúcleo unidimensional, por lo que aunque para ; por lo tanto, para . Hay dos componentes de : y . El componente no tiene intersección con el conjunto resolutivo; por definición, . ${\displaystyle \sigma _{\mathrm {ess} ,5}(A)}$ ${\displaystyle \sigma _{\mathrm {ess} ,1}(A)}$ ${\displaystyle \mathbb {C} \setminus \sigma _{\mathrm {ess} ,1}(A)}$ ${\displaystyle \mathbb {C} \setminus \sigma (A)}$ ${\displaystyle \sigma (A)\setminus \sigma _{\mathrm {d} }(A)}$
   ${\displaystyle T:\,l^{2}(\mathbb {Z} )\to l^{2}(\mathbb {Z} )}$ ${\displaystyle T:\,e_{j}\mapsto e_{j-1}}$ ${\displaystyle j\neq 0}$ ${\displaystyle T:\,e_{0}\mapsto 0}$ ${\displaystyle \Vert T\Vert =1}$ ${\displaystyle \sigma (T)\subset {\overline {\mathbb {D} _{1}}}}$ ${\displaystyle z\in \mathbb {C} }$ ${\displaystyle |z|=1}$ ${\displaystyle T-zI}$ ${\displaystyle \partial \mathbb {D} _{1}\subset \sigma _{\mathrm {ess} ,1}(T)}$ ${\displaystyle z\in \mathbb {C} }$ ${\displaystyle |z|<1}$ ${\displaystyle T-zI}$ ${\displaystyle z\in \sigma (T)}$ ${\displaystyle z\not \in \sigma _{\mathrm {ess} ,k}(T)}$ ${\displaystyle 1\leq k\leq 4}$ ${\displaystyle \sigma _{\mathrm {ess} ,k}(T)=\partial \mathbb {D} _{1}}$ ${\displaystyle 1\leq k\leq 4}$ ${\displaystyle \mathbb {C} \setminus \sigma _{\mathrm {ess} ,1}(T)}$ ${\displaystyle \{z\in \mathbb {C} :\,|z|>1\}}$ ${\displaystyle \{z\in \mathbb {C} :\,|z|<1\}}$ ${\displaystyle \{|z|<1\}}$ ${\displaystyle \sigma _{\mathrm {ess} ,5}(T)=\sigma _{\mathrm {ess} ,1}(T)\cup \{z\in \mathbb {C} :\,|z|<1\}=\{z\in \mathbb {C} :\,|z|\leq 1\}}$

Ejemplo: átomo de hidrógeno

El átomo de hidrógeno proporciona un ejemplo de los diferentes tipos de espectros. El operador hamiltoniano del átomo de hidrógeno , , con dominio tiene un conjunto discreto de valores propios (el espectro discreto , que en este caso coincide con el espectro puntual ya que no hay valores propios insertos en el espectro continuo) que se pueden calcular mediante la fórmula de Rydberg . Sus funciones propias correspondientes se denominan estados propios o estados ligados . El resultado del proceso de ionización se describe mediante la parte continua del espectro (la energía de la colisión/ionización no está "cuantizada"), representada por (también coincide con el espectro esencial, ). ^{[ cita requerida ] [ aclaración necesaria ]} ${\displaystyle H=-\Delta -{\frac {Z}{|x|}}}$ ${\displaystyle Z>0}$ ${\displaystyle D(H)=H^{1}(\mathbb {R} ^{3})}$ ${\displaystyle \sigma _{\mathrm {d} }(H)}$ ${\displaystyle \sigma _{\mathrm {p} }(H)}$ ${\displaystyle \sigma _{\mathrm {cont} }(H)=[0,+\infty )}$ ${\displaystyle \sigma _{\mathrm {ess} }(H)=[0,+\infty )}$

Espectro del operador adjunto

Sea X un espacio de Banach y un operador lineal cerrado con dominio denso . Si X* es el espacio dual de X y es el adjunto hermítico de T , entonces ${\displaystyle T:\,X\to X}$ ${\displaystyle D(T)\subset X}$ ${\displaystyle T^{*}:\,X^{*}\to X^{*}}$

${\displaystyle \sigma (T^{*})={\overline {\sigma (T)}}:=\{z\in \mathbb {C} :{\bar {z}}\in \sigma (T)\}.}$

Teorema  —  Para un operador acotado (o, más generalmente, cerrado y densamente definido) T ,

${\displaystyle \sigma _{\mathrm {cp} }(T)={\overline {\sigma _{\mathrm {p} }(T^{*})}}}$.

En particular, . ${\displaystyle \sigma _{\mathrm {r} }(T)\subset {\overline {\sigma _{\mathrm {p} }(T^{*})}}\subset \sigma _{\mathrm {r} }(T)\cup \sigma _{\mathrm {p} }(T)}$

Prueba

Supóngase que no es denso en X . Por el teorema de Hahn-Banach , existe un valor distinto de cero que se anula en . Para todo x ∈ X , ${\displaystyle \mathrm {Ran} (T-\lambda I)}$ ${\displaystyle \varphi \in X^{*}}$ ${\displaystyle \mathrm {Ran} (T-\lambda I)}$

${\displaystyle \langle \varphi ,(T-\lambda I)x\rangle =\langle (T^{*}-{\bar {\lambda }}I)\varphi ,x\rangle =0.}$

Por lo tanto, y es un valor propio de T* . ${\displaystyle (T^{*}-{\bar {\lambda }}I)\varphi =0\in X^{*}}$ ${\displaystyle {\bar {\lambda }}}$

Por el contrario, supongamos que es un valor propio de T* . Entonces existe un valor distinto de cero tal que , es decir ${\displaystyle {\bar {\lambda }}}$ ${\displaystyle \varphi \in X^{*}}$ ${\displaystyle (T^{*}-{\bar {\lambda }}I)\varphi =0}$

${\displaystyle \forall x\in X,\;\langle (T^{*}-{\bar {\lambda }}I)\varphi ,x\rangle =\langle \varphi ,(T-\lambda I)x\rangle =0.}$

Si es denso en X , entonces φ debe ser el funcional cero, lo cual es una contradicción. La afirmación queda demostrada. ${\displaystyle \mathrm {Ran} (T-\lambda I)}$

También obtenemos el siguiente argumento: X se incrusta isométricamente en X** . Por lo tanto, para cada elemento distinto de cero en el núcleo de existe un elemento distinto de cero en X** que se anula en . Por lo tanto, no puede ser denso. ${\displaystyle \sigma _{\mathrm {p} }(T)\subset {\overline {\sigma _{\mathrm {r} }(T^{*})\cup \sigma _{\mathrm {p} }(T^{*})}}}$ ${\displaystyle T-\lambda I}$ ${\displaystyle \mathrm {Ran} (T^{*}-{\bar {\lambda }}I)}$ ${\displaystyle \mathrm {Ran} (T^{*}-{\bar {\lambda }}I)}$

Además, si X es reflexiva, tenemos . ${\displaystyle {\overline {\sigma _{\mathrm {r} }(T^{*})}}\subset \sigma _{\mathrm {p} }(T)}$

Espectros de clases particulares de operadores

Operadores compactos

Si T es un operador compacto o, más generalmente, un operador no esencial , entonces se puede demostrar que el espectro es contable, que cero es el único punto de acumulación posible y que cualquier λ distinto de cero en el espectro es un valor propio.

Operadores cuasinilpotentes

Un operador acotado es cuasinilpotente si como (en otras palabras, si el radio espectral de A es igual a cero). Dichos operadores podrían caracterizarse de manera equivalente por la condición ${\displaystyle A:\,X\to X}$ ${\displaystyle \lVert A^{n}\rVert ^{1/n}\to 0}$ ${\displaystyle n\to \infty }$

${\displaystyle \sigma (A)=\{0\}.}$

Un ejemplo de dicho operador es , para . ${\displaystyle A:\,l^{2}(\mathbb {N} )\to l^{2}(\mathbb {N} )}$ ${\displaystyle e_{j}\mapsto e_{j+1}/2^{j}}$ ${\displaystyle j\in \mathbb {N} }$

Operadores autoadjuntos

Si X es un espacio de Hilbert y T es un operador autoadjunto (o, más generalmente, un operador normal ), entonces un resultado notable conocido como el teorema espectral da un análogo del teorema de diagonalización para operadores normales de dimensión finita (matrices hermíticas, por ejemplo).

Para los operadores autoadjuntos, se pueden utilizar medidas espectrales para definir una descomposición del espectro en partes absolutamente continuas, puramente puntuales y singulares.

Espectro de un operador real

Las definiciones de resolvente y espectro se pueden extender a cualquier operador lineal continuo que actúe sobre un espacio de Banach sobre el cuerpo real (en lugar del cuerpo complejo ) a través de su complejización . En este caso definimos el conjunto resolvente como el conjunto de todos los que son invertibles como operador que actúa sobre el espacio complejizado ; luego definimos . ${\displaystyle T}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \mathbb {R} }$ ${\displaystyle \mathbb {C} }$ ${\displaystyle T_{\mathbb {C} }}$ ${\displaystyle \rho (T)}$ ${\displaystyle \lambda \in \mathbb {C} }$ ${\displaystyle T_{\mathbb {C} }-\lambda I}$ ${\displaystyle X_{\mathbb {C} }}$ ${\displaystyle \sigma (T)=\mathbb {C} \setminus \rho (T)}$

Espectro real

El espectro real de un operador lineal continuo que actúa sobre un espacio de Banach real , denotado , se define como el conjunto de todos para los cuales no es invertible en el álgebra real de operadores lineales acotados que actúan sobre . En este caso tenemos . Nótese que el espectro real puede coincidir o no con el espectro complejo. En particular, el espectro real podría estar vacío. ${\displaystyle T}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \sigma _{\mathbb {R} }(T)}$ ${\displaystyle \lambda \in \mathbb {R} }$ ${\displaystyle T-\lambda I}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \sigma (T)\cap \mathbb {R} =\sigma _{\mathbb {R} }(T)}$

Espectro de un álgebra de Banach unitaria

Sea B un álgebra de Banach compleja que contiene una unidad e . Entonces definimos el espectro σ ( x ) (o más explícitamente σ _B ( x )) de un elemento x de B como el conjunto de aquellos números complejos λ para los cuales λe  −  x no es invertible en B . Esto extiende la definición para operadores lineales acotados B ( X ) en un espacio de Banach X , ya que B ( X ) es un álgebra de Banach unital.

Véase también

• Espectro esencial
• Espectro discreto (matemáticas)
• Operador autoadjunto
• Pseudoespectro
• Conjunto de disolventes

Notas

1. Kreyszig, Erwin. Análisis funcional introductorio con aplicaciones .
2. Teorema 3.3.3 de Kadison y Ringrose, 1983, Fundamentos de la teoría de álgebras de operadores, Vol. I: Teoría elemental , Nueva York: Academic Press, Inc.
3. "Intersección no vacía entre el espectro puntual aproximado y el espectro residual".
4. Teschl 2014, pág. 115.
5. Simon 2005, pág. 44.
6. Zaanen, Adriaan C. (2012). Introducción a la teoría del operador en espacios de Riesz. Medios de ciencia y negocios de Springer. pag. 304.ISBN​ 9783642606373. Recuperado el 8 de septiembre de 2017 .

Referencias

• Dales et al., Introducción a las álgebras de Banach, operadores y análisis armónico , ISBN 0-521-53584-0 
• "Espectro de un operador", Enciclopedia de Matemáticas , EMS Press , 2001 [1994]
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