Pseudoespectro

En matemáticas , el pseudoespectro de un operador es un conjunto que contiene el espectro del operador y los números que son "casi" valores propios . El conocimiento del pseudoespectro puede ser particularmente útil para comprender los operadores no normales y sus funciones propias.

El ε-pseudoespectro de una matriz A consiste en todos los valores propios de las matrices que son ε-cercanas a A : ^[1]

${\displaystyle \Lambda _{\epsilon }(A)=\{\lambda \in \mathbb {C} \mid \exists x\in \mathbb {C} ^{n}\setminus \{0\},\exists E\in \mathbb {C} ^{n\times n}\colon (A+E)x=\lambda x,\|E\|\leq \epsilon \}.}$

Los algoritmos numéricos que calculan los valores propios de una matriz dan solo resultados aproximados debido al redondeo y otros errores. Estos errores se pueden describir con la matriz E .

De manera más general, para los espacios de Banach y los operadores , se puede definir el -pseudoespectro de (normalmente denotado por ) de la siguiente manera ${\displaystyle X,Y}$ ${\displaystyle A:X\to Y}$ ${\displaystyle \epsilon }$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle {\text{sp}}_{\epsilon }(A)}$

${\displaystyle {\text{sp}}_{\epsilon }(A)=\{\lambda \in \mathbb {C} \mid \|(A-\lambda I)^{-1}\|\geq 1/\epsilon \}.}$

donde utilizamos la convención de que si no es invertible. ^[2] ${\displaystyle \|(A-\lambda I)^{-1}\|=\infty }$ ${\displaystyle A-\lambda I}$

Notas

1. Hogben, Leslie (2013). Manual de álgebra lineal, segunda edición. CRC Press. pág. 23-1. ISBN 9781466507296. Recuperado el 8 de septiembre de 2017 .
2. Böttcher, Albrecht ; Silbermann, Bernd (1999). Introducción a las matrices de Toeplitz truncadas grandes . Springer Nueva York. pag. 70.doi :10.1007/978-1-4612-1426-7_3 . ISBN 978-1-4612-1426-7.

Bibliografía

• Lloyd N. Trefethen y Mark Embree: "Espectros y pseudoespectros: el comportamiento de matrices y operadores no normales", Princeton Univ. Press, ISBN 978-0691119465 (2005). 

Enlaces externos

• Pseudospectra Gateway de Embree y Trefethen