Conjunto de disolventes

En álgebra lineal y teoría de operadores , el conjunto resolutivo de un operador lineal es un conjunto de números complejos para los cuales el operador se comporta de algún modo " bien ". El conjunto resolutivo desempeña un papel importante en el formalismo resolutivo .

Definiciones

Sea X un espacio de Banach y sea un operador lineal con dominio . Sea id el operador identidad en X . Para cualquier , sea ${\displaystyle L\colon D(L)\rightarrow X}$ ${\displaystyle D(L)\subseteq X}$ ${\displaystyle \lambda \in \mathbb {C} }$

${\displaystyle L_{\lambda }=L-\lambda \,\mathrm {id} .}$

Se dice que un número complejo es un valor regular si las tres afirmaciones siguientes son verdaderas: ${\displaystyle \lambda }$

1. ${\displaystyle L_{\lambda }}$es inyectiva , es decir, la correstricción de a su imagen tiene una inversa llamada resolvente ; ^[1] ${\displaystyle L_{\lambda }}$ ${\displaystyle R(\lambda ,L)=(L-\lambda \,\mathrm {id} )^{-1}}$
2. ${\displaystyle R(\lambda ,L)}$es un operador lineal acotado ;
3. ${\displaystyle R(\lambda ,L)}$se define en un subespacio denso de X , es decir, tiene rango denso. ${\displaystyle L_{\lambda }}$

El conjunto resolutivo de L es el conjunto de todos los valores regulares de L :

${\displaystyle \rho (L)=\{\lambda \in \mathbb {C} \mid \lambda {\mbox{ is a regular value of }}L\}.}$

El espectro es el complemento del conjunto resolvente

${\displaystyle \sigma (L)=\mathbb {C} \setminus \rho (L),}$

y sujeto a una descomposición espectral mutuamente singular en el espectro puntual (cuando falla la condición 1), el espectro continuo (cuando falla la condición 2) y el espectro residual (cuando falla la condición 3).

Si es un operador cerrado , entonces también lo es cada , y la condición 3 puede reemplazarse exigiendo que sea sobreyectivo . ${\displaystyle L}$ ${\displaystyle L_{\lambda }}$ ${\displaystyle L_{\lambda }}$

Propiedades

• El conjunto resolutivo de un operador lineal acotado L es un conjunto abierto . ${\displaystyle \rho (L)\subseteq \mathbb {C} }$
• De manera más general, el conjunto resolutivo de un operador cerrado e ilimitado densamente definido es un conjunto abierto.

Notas

1. Reed y Simon 1980, pág. 188.

Referencias

• Reed, M.; Simon, B. (1980). Métodos de física matemática moderna: vol. 1: Análisis funcional . Academic Press. ISBN 978-0-12-585050-6.
• Renardy, Michael; Rogers, Robert C. (2004). Introducción a las ecuaciones diferenciales parciales . Textos de Matemáticas Aplicadas 13 (segunda edición). Nueva York: Springer-Verlag. xiv+434. ISBN 0-387-00444-0. MR 2028503 (Ver apartado 8.3)

Enlaces externos

• Voitsekhovskii, MI (2001) [1994], "Conjunto de resolución", Enciclopedia de Matemáticas , EMS Press

Véase también

• Formalismo resolutivo
• Espectro (análisis funcional)
• Descomposición del espectro (análisis funcional)