Operador estrictamente singular

En análisis funcional , una rama de las matemáticas , un operador estrictamente singular es un operador lineal acotado entre espacios normados que no está acotado por debajo de ningún subespacio de dimensión infinita.

Definiciones.

Sean X e Y espacios lineales normados y denotemos por B(X,Y) el espacio de operadores acotados de la forma . Sea cualquier subconjunto. Decimos que T está acotado por debajo siempre que haya una constante tal que para todo , la desigualdad se cumpla. Si A=X , decimos simplemente que T está acotado por debajo . ${\displaystyle T:X\to Y}$ ${\displaystyle A\subseteq X}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle c\in (0,\infty )}$ ${\displaystyle x\in A}$ ${\displaystyle \|Tx\|\geq c\|x\|}$

Ahora supongamos que X e Y son espacios de Banach y sean y denoten los respectivos operadores de identidad. Un operador se llama no esencial siempre que haya un operador Fredholm para cada . De manera equivalente, T es no esencial si y sólo si es Fredholm para cada . Denota por el conjunto de todos los operadores no esenciales en . ${\displaystyle Id_{X}\in B(X)}$ ${\displaystyle Id_{Y}\in B(Y)}$ ${\displaystyle T\in B(X,Y)}$ ${\displaystyle Id_{X}-ST}$ ${\displaystyle S\in B(Y,X)}$ ${\displaystyle Id_{Y}-TS}$ ${\displaystyle S\in B(Y,X)}$ ${\displaystyle {\mathcal {E}}(X,Y)}$ ${\displaystyle B(X,Y)}$

Un operador se llama estrictamente singular siempre que no esté acotado por debajo de cualquier subespacio de dimensión infinita de X. Denota por el conjunto de todos los operadores estrictamente singulares en . Decimos que es finitamente estrictamente singular siempre que para cada uno exista tal que para cada subespacio E de X que satisfaga , exista tal que . Denota por el conjunto de todos los operadores finitamente estrictamente singulares en . ${\displaystyle T\in B(X,Y)}$ ${\displaystyle {\mathcal {SS}}(X,Y)}$ ${\displaystyle B(X,Y)}$ ${\displaystyle T\in B(X,Y)}$ ${\displaystyle \epsilon >0}$ ${\displaystyle n\in \mathbb {N} }$ ${\displaystyle {\text{dim}}(E)\geq n}$ ${\displaystyle x\in E}$ ${\displaystyle \|Tx\|<\epsilon \|x\|}$ ${\displaystyle {\mathcal {FSS}}(X,Y)}$ ${\displaystyle B(X,Y)}$

Denotemos la bola unitaria cerrada en X. Un operador es compacto siempre que sea un subconjunto relativamente compacto de normas de Y , y se denota por el conjunto de todos esos operadores compactos. ${\displaystyle B_{X}=\{x\in X:\|x\|\leq 1\}}$ ${\displaystyle T\in B(X,Y)}$ ${\displaystyle TB_{X}=\{Tx:x\in B_{X}\}}$ ${\displaystyle {\mathcal {K}}(X,Y)}$

Propiedades.

Los operadores estrictamente singulares pueden verse como una generalización de los operadores compactos , ya que cada operador compacto es estrictamente singular. Estas dos clases comparten algunas propiedades importantes. Por ejemplo, si X es un espacio de Banach y T es un operador estrictamente singular en B(X) , entonces su espectro satisface las siguientes propiedades: (i) la cardinalidad de es como máximo contable; (ii) (excepto posiblemente en el caso trivial donde X es de dimensión finita); (iii) cero es el único punto límite posible de ; y (iv) todo distinto de cero es un valor propio. Este mismo "teorema espectral" que consta de (i)-(iv) se cumple para operadores no esenciales en B(X) . ${\displaystyle \sigma (T)}$ ${\displaystyle \sigma (T)}$ ${\displaystyle 0\in \sigma (T)}$ ${\displaystyle \sigma (T)}$ ${\displaystyle \lambda \in \sigma (T)}$

Las clases , , y todas forman ideales de operadores cerrados con normas . Esto significa que, siempre que X e Y sean espacios de Banach, los espacios componentes , , y son subespacios cerrados (en la norma del operador) de B(X,Y) , de modo que las clases sean invariantes en composición con operadores lineales acotados arbitrarios. ${\displaystyle {\mathcal {K}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {FSS}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {SS}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {E}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {K}}(X,Y)}$ ${\displaystyle {\mathcal {FSS}}(X,Y)}$ ${\displaystyle {\mathcal {SS}}(X,Y)}$ ${\displaystyle {\mathcal {E}}(X,Y)}$

En general, tenemos y cada una de las inclusiones puede ser estricta o no, dependiendo de las elecciones de X e Y. ${\displaystyle {\mathcal {K}}(X,Y)\subset {\mathcal {FSS}}(X,Y)\subset {\mathcal {SS}}(X,Y)\subset {\mathcal {E}}(X,Y)}$

Ejemplos.

Cada aplicación lineal acotada , para ,, es estrictamente singular. Aquí, y son espacios de secuencia . De manera similar, cada aplicación lineal acotada y , para , es estrictamente singular. Aquí está el espacio de Banach de secuencias que convergen a cero. Este es un corolario del teorema de Pitt, que establece que tales T , para q  <  p , son compactos. ${\displaystyle T:\ell _{p}\to \ell _{q}}$ ${\displaystyle 1\leq q,p<\infty }$ ${\displaystyle p\neq q}$ ${\displaystyle \ell _{p}}$ ${\displaystyle \ell _{q}}$ ${\displaystyle T:c_{0}\to \ell _{p}}$ ${\displaystyle T:\ell _{p}\to c_{0}}$ ${\displaystyle 1\leq p<\infty }$ ${\displaystyle c_{0}}$

Si entonces el operador de identidad formal es finitamente singular pero no compacto. Si entonces existen "operadores Pelczynski" en los que están uniformemente acotados a continuación en copias de , y por lo tanto son estrictamente singulares pero no finitamente singulares. En este caso tenemos . Sin embargo, todo operador no esencial con codominio es estrictamente singular, de modo que . Por otro lado, si X es cualquier espacio de Banach separable, entonces existe un operador acotado por debajo, cualquiera de los cuales no es esencial pero no es estrictamente singular. Así, en particular, para todos . ${\displaystyle 1\leq p<q<\infty }$ ${\displaystyle I_{p,q}\in B(\ell _{p},\ell _{q})}$ ${\displaystyle 1<p<q<\infty }$ ${\displaystyle B(\ell _{p},\ell _{q})}$ ${\displaystyle \ell _{2}^{n}}$ ${\displaystyle n\in \mathbb {N} }$ ${\displaystyle {\mathcal {K}}(\ell _{p},\ell _{q})\subsetneq {\mathcal {FSS}}(\ell _{p},\ell _{q})\subsetneq {\mathcal {SS}}(\ell _{p},\ell _{q})}$ ${\displaystyle \ell _{q}}$ ${\displaystyle {\mathcal {SS}}(\ell _{p},\ell _{q})={\mathcal {E}}(\ell _{p},\ell _{q})}$ ${\displaystyle T\in B(X,\ell _{\infty })}$ ${\displaystyle {\mathcal {K}}(\ell _{p},\ell _{\infty })\subsetneq {\mathcal {FSS}}(\ell _{p},\ell _{\infty })\subsetneq {\mathcal {SS}}(\ell _{p},\ell _{\infty })\subsetneq {\mathcal {E}}(\ell _{p},\ell _{\infty })}$ ${\displaystyle 1<p<\infty }$

Dualidad.

Los operadores compactos forman un ideal simétrico , lo que significa si y sólo si . Sin embargo, este no es el caso de las clases , o . Para establecer relaciones de dualidad, introduciremos clases adicionales. ${\displaystyle T\in {\mathcal {K}}(X,Y)}$ ${\displaystyle T^{*}\in {\mathcal {K}}(Y^{*},X^{*})}$ ${\displaystyle {\mathcal {FSS}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {SS}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {E}}}$

Si Z es un subespacio cerrado de un espacio de Banach Y , entonces existe una sobreyección "canónica" definida mediante el mapeo natural . Un operador se llama estrictamente cosingular siempre que, dado un subespacio cerrado de dimensión infinita Z de Y , el mapa no sea sobreyectivo. Denota por el subespacio de operadores estrictamente cosingulares en B(X,Y) . ${\displaystyle Q_{Z}:Y\to Y/Z}$ ${\displaystyle y\mapsto y+Z}$ ${\displaystyle T\in B(X,Y)}$ ${\displaystyle Q_{Z}T}$ ${\displaystyle {\mathcal {SCS}}(X,Y)}$

Teorema 1. Sean X e Y espacios de Banach y sean . Si T* es estrictamente singular (resp. estrictamente cosingular), entonces T es estrictamente cosingular (resp. estrictamente singular). ${\displaystyle T\in B(X,Y)}$

Tenga en cuenta que hay ejemplos de operadores estrictamente singulares cuyos adjuntos no son ni estrictamente singulares ni estrictamente cosingulares (ver Plichko, 2004). De manera similar, existen operadores estrictamente cosingulares cuyos adjuntos no son estrictamente singulares, por ejemplo, el mapa de inclusión . Así que no está en plena dualidad con . ${\displaystyle I:c_{0}\to \ell _{\infty }}$ ${\displaystyle {\mathcal {SS}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {SCS}}}$

Teorema 2. Sean X e Y espacios de Banach y sean . Si T* no es esencial, entonces T también lo es . ${\displaystyle T\in B(X,Y)}$

Referencias

Aiena, Pietro, Fredholm y la teoría espectral local, con aplicaciones a multiplicadores (2004), ISBN  1-4020-1830-4 .

Plichko, Anatolij, "Operadores superestrictamente singulares y superestrictamente cosingulares", Estudios de matemáticas de Holanda Septentrional 197 (2004), páginas 239-255.