serie neumann

Serie matemática

Una serie de Neumann es una serie matemática de la forma

${\displaystyle \sum _{k=0}^{\infty }T^{k}}$

¿Dónde está un operador y sus tiempos de aplicación repetida? Esto generaliza la serie geométrica . ${\displaystyle T}$ ${\displaystyle T^{k}:={}T^{k-1}\circ {T}}$ ${\displaystyle k}$

La serie lleva el nombre del matemático Carl Neumann , quien la utilizó en 1877 en el contexto de la teoría potencial . La serie de Neumann se utiliza en análisis funcional . Constituye la base de la serie de Liouville-Neumann , que se utiliza para resolver ecuaciones integrales de Fredholm . También es importante a la hora de estudiar el espectro de operadores acotados.

Propiedades

Supongamos que es un operador lineal acotado en el espacio vectorial normado . Si la serie de Neumann converge en la norma del operador , entonces es invertible y su inversa es la serie: ${\displaystyle T}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle {\text{Id}}-T}$

${\displaystyle (\mathrm {Id} -T)^{-1}=\sum _{k=0}^{\infty }T^{k}}$,

¿ Dónde está el operador de identidad en ? Para ver por qué, considere las sumas parciales ${\displaystyle \mathrm {Id} }$ ${\displaystyle X}$

${\displaystyle S_{n}:=\sum _{k=0}^{n}T^{k}}$.

Entonces nosotros tenemos

${\displaystyle \lim _{n\rightarrow \infty }(\mathrm {Id} -T)S_{n}=\lim _{n\rightarrow \infty }\left(\sum _{k=0}^{n}T^{k}-\sum _{k=0}^{n}T^{k+1}\right)=\lim _{n\rightarrow \infty }\left(\mathrm {Id} -T^{n+1}\right)=\mathrm {Id} .}$

Este resultado sobre operadores es análogo a la serie geométrica en , en la que encontramos que: ${\displaystyle \mathbb {R} }$

${\displaystyle (1-x)\cdot (1+x+x^{2}+\cdots +x^{n-1}+x^{n})=1-x^{n+1},}$

${\displaystyle 1+x+x^{2}+\cdots ={\frac {1}{1-x}}.}$

Un caso en el que la convergencia está garantizada es cuando es un espacio de Banach y en la norma del operador o es convergente. Sin embargo, también hay resultados que dan condiciones más débiles bajo las cuales converge la serie. ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle |T|<1}$ ${\displaystyle \sum |T^{n}|}$

Ejemplo

Sea dado por: ${\displaystyle C\in \mathbb {R} ^{3\times 3}}$

${\displaystyle {\begin{pmatrix}0&{\frac {1}{2}}&{\frac {1}{4}}\\{\frac {5}{7}}&0&{\frac {1}{7}}\\{\frac {3}{10}}&{\frac {3}{5}}&0\end{pmatrix}}.}$

Necesitamos demostrar que C es menor que la unidad en alguna norma . Por tanto, calculamos:

${\displaystyle {\begin{aligned}||C||_{\infty }&=\max _{i}\sum _{j}|c_{ij}|=\max \left\lbrace {\frac {3}{4}},{\frac {6}{7}},{\frac {9}{10}}\right\rbrace ={\frac {9}{10}}<1.\end{aligned}}}$

Por lo tanto, sabemos por la afirmación anterior que existe. ${\displaystyle (I-C)^{-1}}$

Inversión matricial aproximada

Se puede utilizar una serie de Neumann truncada para una inversión matricial aproximada . Para aproximar la inversa de una matriz invertible , podemos asignar el operador lineal como: ${\displaystyle \mathbf {A} }$

${\displaystyle T(\mathbf {x} )=(\mathbf {I} -\mathbf {A} )\mathbf {x} }$

¿ Dónde está la matriz identidad? Si se cumple la condición de norma en , truncando la serie en , obtenemos: ${\displaystyle \mathbf {I} }$ ${\displaystyle T}$ ${\displaystyle n}$

${\displaystyle \mathbf {A} ^{-1}\approx \sum _{i=0}^{n}(\mathbf {I} -\mathbf {A} )^{i}}$

El conjunto de operadores reversibles está abierto.

Un corolario es que el conjunto de operadores invertibles entre dos espacios de Banach y es abierto en la topología inducida por la norma del operador. De hecho, sea un operador invertible y sea otro operador. Si , entonces también es invertible. Dado que , la serie de Neumann es convergente. Por lo tanto, tenemos ${\displaystyle B}$ ${\displaystyle B'}$ ${\displaystyle S:B\to B'}$ ${\displaystyle T:B\to B'}$ ${\displaystyle |S-T|<|S^{-1}|^{-1}}$ ${\displaystyle T}$ ${\displaystyle |\mathrm {Id} -S^{-1}T|<1}$ ${\displaystyle \sum (\mathrm {Id} -S^{-1}T)^{k}}$

${\displaystyle T^{-1}S=(\mathrm {Id} -(\mathrm {Id} -S^{-1}T))^{-1}=\sum _{k=0}^{\infty }(\mathrm {Id} -S^{-1}T)^{k}}$

Tomando las normas, obtenemos

${\displaystyle |T^{-1}S|\leq {\frac {1}{1-|\mathrm {Id} -(S^{-1}T)|}}}$

La norma de puede estar limitada por ${\displaystyle T^{-1}}$

${\displaystyle |T^{-1}|\leq {\tfrac {1}{1-q}}|S^{-1}|\quad {\text{where}}\quad q=|S-T|\,|S^{-1}|.}$

Aplicaciones

La serie Neumann se ha utilizado para la detección de datos lineales en sistemas inalámbricos masivos multiusuario de múltiples entradas y múltiples salidas (MIMO). El uso de una serie de Neumann truncada evita el cálculo de una matriz inversa explícita, lo que reduce la complejidad de la detección de datos lineales de cúbicos a cuadrados. ^[1]

Otra aplicación es la teoría de los gráficos de propagación , que aprovecha las series de Neumann para derivar una expresión en forma cerrada para la función de transferencia.

Referencias

1. Wu, M.; Yin, B.; Vosoughi, A.; Studer, C.; Cavallaro, JR; Dick, C. (mayo de 2013). "Inversión de matriz aproximada para la detección de datos de alto rendimiento en el enlace ascendente MIMO a gran escala". Simposio internacional IEEE sobre circuitos y sistemas 2013 (ISCAS2013) . págs. 2155-2158. doi :10.1109/ISCAS.2013.6572301. hdl : 1911/75011 . ISBN 978-1-4673-5762-3. S2CID  389966.

• Werner, Dirk (2005). Análisis funcional (en alemán). Springer Verlag. ISBN 3-540-43586-7.