En matemáticas , el formalismo resolutivo es una técnica para aplicar conceptos del análisis complejo al estudio del espectro de operadores en espacios de Banach y espacios más generales. La justificación formal de las manipulaciones puede encontrarse en el marco del cálculo funcional holomorfo .
El resolvente captura las propiedades espectrales de un operador en la estructura analítica del funcional . Dado un operador A , el resolvente puede definirse como
Entre otros usos, el resolvente puede emplearse para resolver las ecuaciones integrales no homogéneas de Fredholm ; un enfoque comúnmente utilizado es una solución en serie, la serie de Liouville-Neumann .
El resolvente de A se puede utilizar para obtener directamente información sobre la descomposición espectral de A . Por ejemplo, supongamos que λ es un valor propio aislado en el espectro de A . Es decir, supongamos que existe una curva cerrada simple en el plano complejo que separa a λ del resto del espectro de A . Entonces el residuo
define un operador de proyección sobre el espacio propio λ de A . El teorema de Hille-Yosida relaciona el resolvente a través de una transformada de Laplace con una integral sobre el grupo de un parámetro de transformaciones generadas por A . [1] Así, por ejemplo, si A es una matriz antihermítica , entonces U ( t ) = exp( tA ) es un grupo de un parámetro de operadores unitarios. Siempre que , el resolvente de A en z se puede expresar como la transformada de Laplace
donde la integral se toma a lo largo del rayo . [2]
El primer uso importante del operador resolvente como una serie en A (cf. serie de Liouville–Neumann ) fue realizado por Ivar Fredholm , en un artículo histórico de 1903 en Acta Mathematica que ayudó a establecer la teoría moderna de operadores .
El nombre de disolvente fue dado por David Hilbert .
Para todo z, w en ρ ( A ) , el conjunto resolutivo de un operador A , tenemos que la primera identidad resolutiva (también llamada identidad de Hilbert) se cumple: [3]
(Nótese que Dunford y Schwartz , citados, definen el resolvente como ( zI −A ) −1 , por lo que la fórmula anterior difiere en signo de la de ellos).
La segunda identidad resolutiva es una generalización de la primera identidad resolutiva, antes mencionada, útil para comparar los resolutivos de dos operadores distintos. Dados los operadores A y B , ambos definidos en el mismo espacio lineal, y z en ρ ( A ) ∩ ρ ( B ), se cumple la siguiente identidad, [4]
Una prueba de una línea es la siguiente:
Al estudiar un operador no acotado cerrado A : H → H en un espacio de Hilbert H , si existe tal que es un operador compacto , decimos que A tiene solvencia compacta. El espectro de tal A es un subconjunto discreto de . Si además A es autoadjunto , entonces y existe una base ortonormal de vectores propios de A con valores propios respectivamente. Además, no tiene un punto de acumulación finito . [5]
