Serie de Liouville-Neumann

En matemáticas , la serie de Liouville-Neumann es una serie de funciones que resulta de aplicar el formalismo resolvente para resolver ecuaciones integrales de Fredholm en la teoría de Fredholm .

Definición

La serie de Liouville-Neumann se define como

${\displaystyle \phi \left(x\right)=\sum _{n=0}^{\infty }\lambda ^{n}\phi _{n}\left(x\right)}$

que, siempre que sea lo suficientemente pequeña para que la serie converja, es la única solución continua de la ecuación integral de Fredholm de segundo tipo, ${\displaystyle \lambda }$

${\displaystyle f(x)=\phi (x)-\lambda \int _{a}^{b}K(x,s)\phi (s)\,ds.}$

Si el n -ésimo núcleo iterado se define como n −1 integrales anidadas de n núcleos de operadores K ,

${\displaystyle K_{n}\left(x,z\right)=\int \int \cdots \int K\left(x,y_{1}\right)K\left(y_{1},y_{2}\right)\cdots K\left(y_{n-1},z\right)dy_{1}dy_{2}\cdots dy_{n-1}}$

entonces

${\displaystyle \phi _{n}\left(x\right)=\int K_{n}\left(x,z\right)f\left(z\right)dz}$

con

${\displaystyle \phi _{0}\left(x\right)=f\left(x\right)~,}$

Por lo tanto, K ₀ puede tomarse como δ ( x−z ) , el núcleo del operador identidad .

El resolvente , también llamado "núcleo solución" para el operador integral, viene dado entonces por una generalización de la serie geométrica ,

${\displaystyle R\left(x,z;\lambda \right)=\sum _{n=0}^{\infty }\lambda ^{n}K_{n}\left(x,z\right),}$

donde K ₀ es nuevamente δ ( x−z ) .

La solución de la ecuación integral se vuelve entonces sencilla

${\displaystyle \phi \left(x\right)=\int R\left(x,z;\lambda \right)f\left(z\right)dz.}$

Se pueden utilizar métodos similares para resolver las ecuaciones integrales de Volterra .

Véase también

• Serie de Neumann

Referencias

• Mathews, Jon; Walker, Robert L. (1970), Métodos matemáticos de la física (2.ª ed.), Nueva York: WA Benjamin, ISBN  0-8053-7002-1
• Fredholm, Erik I. (1903), "Sur une classe d'equations fonctionnelles", Acta Mathematica , 27 : 365–390, doi : 10.1007/bf02421317