Teorema de aplicación abierta (análisis funcional)

Condición para que un operador lineal sea abierto

En el análisis funcional , el teorema de aplicación abierta , también conocido como teorema de Banach-Schauder o teorema de Banach ^[1] (llamado así por Stefan Banach y Juliusz Schauder ), es un resultado fundamental que establece que si un operador lineal acotado o continuo entre espacios de Banach es sobreyectivo , entonces es una aplicación abierta .

Un caso especial también se denomina teorema inverso acotado (también llamado teorema de aplicación inversa o teorema de isomorfismo de Banach), que establece que un operador lineal acotado biyectivo de un espacio de Banach a otro tiene inverso acotado . ${\displaystyle T}$ ${\displaystyle T^{-1}}$

Afirmación y prueba

Teorema de aplicación abierta  —  ^{[2] [3]} Sea una aplicación lineal continua sobreyectiva entre espacios de Banach (o más generalmente espacios de Fréchet ). Entonces es una aplicación abierta (es decir, si es un subconjunto abierto, entonces es abierto). ${\displaystyle T:E\to F}$ ${\displaystyle T}$ ${\displaystyle U\subset E}$ ${\displaystyle T(U)}$

La prueba aquí utiliza el teorema de categorías de Baire y la completitud de ambos es esencial para el teorema. El enunciado del teorema ya no es verdadero si se supone que cualquiera de los espacios es solo un espacio vectorial normado ; véase § Contraejemplo. ${\displaystyle E}$ ${\displaystyle F}$

La demostración se basa en los siguientes lemas, que también tienen cierto interés independiente. Se dice que una función lineal entre espacios vectoriales topológicos es casi abierta si, para cada entorno de cero, el cierre contiene un entorno de cero. El siguiente lema puede considerarse una versión débil del teorema de funciones abiertas. ${\displaystyle f:E\to F}$ ${\displaystyle U}$ ${\displaystyle {\overline {f(U)}}}$

Lema  —  ^{[4] [5]} Una función lineal entre espacios normados es casi abierta si la imagen de es no magra en . (No se necesita continuidad). ${\displaystyle f:E\to F}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle F}$

Demostración: Al encoger , podemos suponer que es una bola abierta centrada en cero. Tenemos . Por lo tanto, alguna contiene un punto interior ; es decir, para algún radio , ${\displaystyle U}$ ${\displaystyle U}$ ${\displaystyle f(E)=f\left(\bigcup _{n\in \mathbb {N} }nU\right)=\bigcup _{n\in \mathbb {N} }f(nU)}$ ${\displaystyle {\overline {f(nU)}}}$ ${\displaystyle y}$ ${\displaystyle r>0}$

${\displaystyle B(y,r)\subset {\overline {f(nU)}}.}$

Entonces, para cualquier en con , por linealidad, convexidad y , ${\displaystyle v}$ ${\displaystyle F}$ ${\displaystyle \|v\|<r}$ ${\displaystyle (-1)U\subset U}$

${\displaystyle v=v-y+y\in {\overline {f(-nU)}}+{\overline {f(nU)}}\subset {\overline {f(2nU)}}}$,

lo que demuestra el lema dividiendo por . (La misma prueba funciona si son espacios pre-Fréchet). ${\displaystyle 2n}$ ${\displaystyle \square }$ ${\displaystyle E,F}$

La integridad del dominio permite entonces una actualización prácticamente abierta.

Lema  (Schauder)  —  ^{[6] [7]} Sea una función lineal continua entre espacios normados. ${\displaystyle f:E\to F}$

Si es casi abierto y si es completo, entonces es abierto y sobreyectivo. ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle E}$ ${\displaystyle f}$

Más precisamente, si para algunos y si es completo, entonces ${\displaystyle B(0,\delta )\subset {\overline {f(B(0,1))}}}$ ${\displaystyle \delta >0}$ ${\displaystyle E}$

${\displaystyle B(0,\delta )\subset f(B(0,1))}$

donde es una bola abierta con radio y centro . ${\displaystyle B(x,r)}$ ${\displaystyle r}$ ${\displaystyle x}$

Demostración: Sea en y en alguna sucesión. Tenemos: . Por lo tanto, para cada y en , podemos encontrar un con y en . Por lo tanto, tomando , encontramos un tal que ${\displaystyle y}$ ${\displaystyle B(0,\delta )}$ ${\displaystyle c_{n}>0}$ ${\displaystyle {\overline {B(0,\delta )}}\subset {\overline {f(B(0,1))}}}$ ${\displaystyle \epsilon >0}$ ${\displaystyle z}$ ${\displaystyle F}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle \|x\|<\delta ^{-1}\|z\|}$ ${\displaystyle z}$ ${\displaystyle B(f(x),\epsilon )}$ ${\displaystyle z=y}$ ${\displaystyle x_{1}}$

${\displaystyle \|y-f(x_{1})\|<c_{1},\,\|x_{1}\|<\delta ^{-1}\|y\|.}$

Aplicando el mismo argumento con , encontramos entonces un tal que ${\displaystyle z=y-f(x_{1})}$ ${\displaystyle x_{2}}$

${\displaystyle \|y-f(x_{1})-f(x_{2})\|<c_{2},\,\|x_{2}\|<\delta ^{-1}c_{1}}$

donde observamos . Entonces así sucesivamente. Por lo tanto, si , encontramos una secuencia tal que converge y . Además, ${\displaystyle \|x_{2}\|<\delta ^{-1}\|z\|<\delta ^{-1}c_{1}}$ ${\displaystyle c:=\sum c_{n}<\infty }$ ${\displaystyle x_{n}}$ ${\displaystyle x=\sum _{1}^{\infty }x_{n}}$ ${\displaystyle f(x)=y}$

${\displaystyle \|x\|\leq \sum _{1}^{\infty }\|x_{n}\|\leq \delta ^{-1}\|y\|+\delta ^{-1}c.}$

Dado que , al hacer lo suficientemente pequeño, podemos lograr . (Nuevamente, la misma prueba es válida si son espacios pre-Fréchet). ${\displaystyle \delta ^{-1}\|y\|<1}$ ${\displaystyle c}$ ${\displaystyle \|x\|<1}$ ${\displaystyle \square }$ ${\displaystyle E,F}$

Demostración del teorema: según el teorema de categorías de Baire, se aplica el primer lema. Luego, la conclusión del teorema se sigue del segundo lema. ${\displaystyle \square }$

En general, una biyección continua entre espacios topológicos no es necesariamente un homeomorfismo. El teorema de aplicación abierta, cuando se aplica, implica que la biyectividad es suficiente:

Corolario  (Teorema de la inversa acotada)  —  ^[8] Un operador lineal biyectivo continuo entre espacios de Banach (o espacios de Fréchet) tiene una inversa continua. Es decir, el operador inverso es continuo.

Aunque el teorema inverso acotado anterior es un caso especial del teorema de aplicación abierta, el teorema de aplicación abierta a su vez se deduce de él. De hecho, un operador lineal sobreyectivo se factoriza como ${\displaystyle T:E\to F}$

${\displaystyle T:E{\overset {p}{\to }}E/\operatorname {ker} T{\overset {T_{0}}{\to }}F.}$

Aquí, es biyectiva y, por lo tanto, es un homeomorfismo según el teorema del inverso acotado; en particular, es una función abierta. Como una función cociente para grupos topológicos es abierta, entonces es abierta. ${\displaystyle T_{0}}$ ${\displaystyle T}$

Debido a que el teorema de aplicación abierta y el teorema inverso acotado son esencialmente el mismo resultado, a menudo se los denomina simplemente teorema de Banach .

Formulación de transposición

Aquí se presenta una formulación del teorema de aplicación abierta en términos de la transposición de un operador.

Teorema  —  ^[6] Sean y espacios de Banach, sean y sus bolas unitarias abiertas, y sea un operador lineal acotado. Si entonces entre los siguientes cuatro enunciados tenemos (con el mismo ) ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle B_{X}}$ ${\displaystyle B_{Y}}$ ${\displaystyle T:X\to Y}$ ${\displaystyle \delta >0}$ ${\displaystyle (1)\implies (2)\implies (3)\implies (4)}$ ${\displaystyle \delta }$

1. ${\displaystyle \delta \left\|y'\right\|\leq \left\|T'y'\right\|}$para todos = dual continuo de ; ${\displaystyle y'\in Y'}$ ${\displaystyle Y}$
2. ${\displaystyle \delta B_{Y}\subset {\overline {T\left(B_{X}\right)}}}$;
3. ${\displaystyle \delta B_{Y}\subset {T\left(B_{X}\right)}}$;
4. ${\displaystyle T}$es sobreyectiva.

Además, si es sobreyectiva entonces (1) se cumple para algún ${\displaystyle T}$ ${\displaystyle \delta >0}$

Demostración: La idea de 1. 2. es demostrar: y que esto se sigue del teorema de Hahn-Banach . 2. 3. es exactamente el segundo lema en § Enunciado y demostración. Finalmente, 3. 4. es trivial y 4. 1. se sigue fácilmente del teorema de aplicación abierta. ${\displaystyle \Rightarrow }$ ${\displaystyle y\notin {\overline {T(B_{X})}}\Rightarrow \|y\|>\delta ,}$ ${\displaystyle \Rightarrow }$ ${\displaystyle \Rightarrow }$ ${\displaystyle \Rightarrow }$ ${\displaystyle \square }$

Alternativamente, 1. implica que es inyectiva y tiene imagen cerrada y luego por el teorema de rango cerrado , eso implica que tiene imagen densa e imagen cerrada, respectivamente; es decir, es sobreyectiva. Por lo tanto, el resultado anterior es una variante de un caso especial del teorema de rango cerrado. ${\displaystyle T^{*}}$ ${\displaystyle T}$ ${\displaystyle T}$

Formulación cuantitativa

Terence Tao da la siguiente formulación cuantitativa del teorema: ^[9]

Teorema  :  Sea un operador acotado entre espacios de Banach. Entonces, los siguientes son equivalentes: ${\displaystyle T:E\to F}$

1. ${\displaystyle T}$Está abierto.
2. ${\displaystyle T}$es sobreyectiva.
3. Existe una constante tal que, para cada en , la ecuación tiene una solución con . ${\displaystyle C>0}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle F}$ ${\displaystyle Tu=f}$ ${\displaystyle u}$ ${\displaystyle \|u\|\leq C\|f\|}$
4. 3. se cumple en algún subespacio denso de . ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle F}$

Demostración: 2. 1. es el teorema de aplicación abierta habitual. ${\displaystyle \Rightarrow }$

1. 4.: Para algunos , tenemos donde significa una pelota abierta. Luego para algunos en . Es decir, con . ${\displaystyle \Rightarrow }$ ${\displaystyle r>0}$ ${\displaystyle B(0,2)\subset T(B(0,r))}$ ${\displaystyle B}$ ${\displaystyle {\frac {f}{\|f\|}}=T\left({\frac {u}{\|f\|}}\right)}$ ${\displaystyle {\frac {u}{\|f\|}}}$ ${\displaystyle B(0,r)}$ ${\displaystyle Tu=f}$ ${\displaystyle \|u\|<r\|f\|}$

4. 3.: Podemos escribir con en el subespacio denso y la suma converge en la norma. Entonces, como es completo, con y es una solución requerida. Finalmente, 3. 2. es trivial. ${\displaystyle \Rightarrow }$ ${\displaystyle f=\sum _{0}^{\infty }f_{j}}$ ${\displaystyle f_{j}}$ ${\displaystyle E}$ ${\displaystyle u=\sum _{0}^{\infty }u_{j}}$ ${\displaystyle \|u_{j}\|\leq C\|f_{j}\|}$ ${\displaystyle Tu_{j}=f_{j}}$ ${\displaystyle \Rightarrow }$ ${\displaystyle \square }$

Contraejemplo

El teorema de aplicación abierta puede no ser válido para espacios normados que no sean completos. Una forma más rápida de ver esto es notar que el teorema de grafo cerrado , una consecuencia del teorema de aplicación abierta, falla sin completitud. Pero aquí hay un contraejemplo más concreto. Consideremos el espacio X de sucesiones x  :  N  →  R con solo un número finito de términos distintos de cero equipados con la norma suprema . La función T  :  X  →  X definida por

${\displaystyle Tx=\left(x_{1},{\frac {x_{2}}{2}},{\frac {x_{3}}{3}},\dots \right)}$

es acotado, lineal e invertible, pero T ⁻¹ no es acotado. Esto no contradice el teorema del inverso acotado, ya que X no es completo y, por lo tanto, no es un espacio de Banach. Para ver que no es completo, considere la secuencia de secuencias x ^{( n )}  ∈  X dada por

${\displaystyle x^{(n)}=\left(1,{\frac {1}{2}},\dots ,{\frac {1}{n}},0,0,\dots \right)}$

converge cuando n  → ∞ a la secuencia x ^(∞) dada por

${\displaystyle x^{(\infty )}=\left(1,{\frac {1}{2}},\dots ,{\frac {1}{n}},\dots \right),}$

que tiene todos sus términos distintos de cero y, por lo tanto, no se encuentra en X .

La completitud de X es el espacio ${\displaystyle c_{0}}$ de todas las sucesiones que convergen a cero, que es un subespacio (cerrado) del espacio ℓ p ℓ _∞ ( N ), que es el espacio de todas las sucesiones acotadas. Sin embargo, en este caso, la función T no es sobreyectiva y, por lo tanto, no es una biyección. Para ver esto, basta con observar que la sucesión

${\displaystyle x=\left(1,{\frac {1}{2}},{\frac {1}{3}},\dots \right),}$

es un elemento de , pero no está en el rango de . El mismo razonamiento se aplica a show tampoco es sobre en , por ejemplo no está en el rango de . ${\displaystyle c_{0}}$ ${\displaystyle T:c_{0}\to c_{0}}$ ${\displaystyle T}$ ${\displaystyle l^{\infty }}$ ${\displaystyle x=\left(1,1,1,\dots \right)}$ ${\displaystyle T}$

Consecuencias

El teorema de aplicación abierta tiene varias consecuencias importantes:

• Si es un operador lineal continuo biyectivo entre los espacios de Banach y entonces el operador inverso también es continuo (esto se llama teorema del inverso acotado ). ^[10] ${\displaystyle T:X\to Y}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle Y,}$ ${\displaystyle T^{-1}:Y\to X}$
• Si es un operador lineal entre los espacios de Banach y y si para cada secuencia en con y se deduce que entonces es continua (el teorema del grafo cerrado ). ^[11] ${\displaystyle T:X\to Y}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle Y,}$ ${\displaystyle \left(x_{n}\right)}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle x_{n}\to 0}$ ${\displaystyle Tx_{n}\to y}$ ${\displaystyle y=0,}$ ${\displaystyle T}$
• Dado un operador acotado entre espacios normados, si la imagen de es no exigua y si es completa, entonces es abierta y sobreyectiva y es completa (para ver esto, use los dos lemas en la prueba del teorema). ^[12] ${\displaystyle T:E\to F}$ ${\displaystyle T}$ ${\displaystyle E}$ ${\displaystyle T}$ ${\displaystyle F}$
• Una secuencia exacta de espacios de Banach (o más generalmente de espacios de Fréchet) es topológicamente exacta.
• El teorema de rango cerrado , que dice que un operador (bajo algún supuesto) tiene imagen cerrada si y sólo si su transpuesta tiene imagen cerrada (ver teorema de rango cerrado#Esquema de prueba ).

El teorema de aplicación abierta no implica que un operador lineal sobreyectivo continuo admita una sección lineal continua. Lo que tenemos es: ^[9]

• Un operador lineal continuo sobreyectivo entre espacios de Banach admite una sección lineal continua si y sólo si el núcleo está complementado topológicamente.

En particular, lo anterior se aplica a un operador entre espacios de Hilbert o a un operador con núcleo de dimensión finita (por el teorema de Hahn-Banach ). Si se descarta el requisito de que una sección sea lineal, un operador lineal continuo sobreyectivo entre espacios de Banach admite una sección continua; este es el teorema de Bartle-Graves. ^{[13] [14]}

Generalizaciones

La convexidad local de o  no es esencial para la prueba, pero la completitud sí lo es: el teorema sigue siendo válido en el caso en que y sean F-espacios . Además, el teorema se puede combinar con el teorema de categorías de Baire de la siguiente manera: ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle Y}$

Teorema de aplicación abierta para aplicaciones continuas ^{[12] [15]}  —  Sea un operador lineal continuo de una TVS pseudometrizable completa sobre una TVS de Hausdorff Si es no exiguo en entonces es una aplicación abierta (sobreyectiva) y es una TVS pseudometrizable completa. Además, si se supone que es de Hausdorff (es decir, un F-espacio ), entonces es también un F-espacio. ${\displaystyle A:X\to Y}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle Y.}$ ${\displaystyle \operatorname {Im} A}$ ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle A:X\to Y}$ ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle Y}$

(La prueba es esencialmente la misma que en los casos de Banach o Fréchet; modificamos ligeramente la prueba para evitar el uso de la convexidad).

Además, en este último caso, si es el núcleo de entonces hay una factorización canónica de en la forma donde es el espacio cociente (también un F-espacio) de por el subespacio cerrado . La aplicación del cociente es abierta, y la aplicación es un isomorfismo de espacios vectoriales topológicos . ^[16] ${\displaystyle N}$ ${\displaystyle A,}$ ${\displaystyle A}$ $${\displaystyle X\to X/N{\overset {\alpha }{\to }}Y}$$ ${\displaystyle X/N}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle N.}$ ${\displaystyle X\to X/N}$ ${\displaystyle \alpha }$

Un caso especial importante de este teorema también puede enunciarse como

Teorema ^[17]  —  Sean y dos F-espacios . Entonces, toda función lineal continua de sobre es un homomorfismo TVS , donde una función lineal es un homomorfismo de espacio vectorial topológico (TVS) si la función inducida es un isomorfismo TVS sobre su imagen. ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle u:X\to Y}$ ${\displaystyle {\hat {u}}:X/\ker(u)\to Y}$

Por otra parte, se puede dar una formulación más general, que implica la primera:

Teorema de aplicación abierta ^[15]  —  Sea una aplicación lineal sobreyectiva de un TVS pseudometrizable completo sobre un TVS y supongamos que se cumple al menos una de las dos condiciones siguientes: ${\displaystyle A:X\to Y}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle Y}$

1. ${\displaystyle Y}$es un espacio de Baire , o
2. ${\displaystyle X}$es localmente convexo y es un espacio en forma de barril , ${\displaystyle Y}$

Si es un operador lineal cerrado entonces es una aplicación abierta. Si es un operador lineal continuo y es de Hausdorff entonces es (un operador lineal cerrado y por lo tanto también) una aplicación abierta. ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle A}$

Mapas lineales casi/casi abiertos

Un mapa lineal entre dos espacios vectoriales topológicos (TVS) se denomina ${\displaystyle A:X\to Y}$Mapa casi abierto (o a veces, un mapa casi abierto ) si para cada entornodel origen en el dominio, el cierre de su imagenes un entorno del origen en^[18] Muchos autores usan una definición diferente de "mapa casi/casi abierto" que requiere que el cierre desea un entorno del origen enen lugar de en^[18]pero para mapas sobreyectivos estas definiciones son equivalentes. Un mapa lineal biyectivo es casi abierto si y solo si su inverso es continuo.^[18]Todo mapa lineal sobreyectivo deTVS localmente convexosobreTVS abarriladoes casi abierto.^[19]Lo mismo es cierto para todo mapa lineal sobreyectivo de un TVS sobre unde Baire.^[19] ${\displaystyle U}$ ${\displaystyle \operatorname {cl} A(U)}$ ${\displaystyle Y.}$ ${\displaystyle A(U)}$ ${\displaystyle A(X)}$ ${\displaystyle Y,}$

Teorema de mapeo abierto ^[20]  —  Si un mapa lineal sobreyectivo cerrado de un TVS pseudometrizable completo sobre un TVS de Hausdorff es casi abierto, entonces es abierto.

Teorema ^[21]  —  Si es una biyección lineal continua de un espacio vectorial topológico pseudometrizable (TVS) completo sobre un TVS de Hausdorff que es un espacio de Baire , entonces es un homeomorfismo (y por lo tanto un isomorfismo de TVS). ${\displaystyle A:X\to Y}$ ${\displaystyle A:X\to Y}$

Los espacios reticulados son una clase de espacios vectoriales topológicos para los cuales se cumplen el teorema de aplicación abierta y el teorema de gráfico cerrado .

Véase también

• Mapa lineal casi abierto  – Mapa que satisface una condición similar a la de ser un mapa abierto.Pages displaying short descriptions of redirect targets
• Teorema inverso acotado  : condición para que un operador lineal sea abiertoPages displaying short descriptions of redirect targets
• Grafo cerrado  – Gráfica de un mapa cerrado en el espacio del productoPages displaying short descriptions of redirect targets
• Teorema de grafos cerrados  – Teorema que relaciona la continuidad con los grafos
• Teorema de grafos cerrados (análisis funcional)  : teoremas que conectan la continuidad con el cierre de grafos
• Teorema de aplicación abierta (análisis complejo)  : teorema que sostiene que las funciones holomorfas en dominios complejos son aplicaciones abiertasPages displaying wikidata descriptions as a fallback
• Sobreyección de espacios de Fréchet  – Caracterización de la sobreyección
• Teorema de Ursescu  : generalización del grafo cerrado, aplicación abierta y teorema de acotación uniforme
• Espacio en red  : espacio donde se cumplen los teoremas de mapeo abierto y grafos cerrados

Referencias

1. Trèves 2006, pág. 166.
2. Rudin 1973, Teorema 2.11.
3. Vogt 2000, Teorema 1.6.
4. Vogt 2000, Lema 1.4.
5. La primera parte de la prueba de Rudin 1991, Teorema 2.11.
6. Rudin 1991, Teorema 4.13.
7. Vogt 2000, Lema 1.5.
8. Vogt 2000, Corolario 1.7.
9. Tao, Terence (1 de febrero de 2009). "245B, Notas 9: El teorema de categorías de Baire y sus consecuencias en el espacio de Banach". Novedades .
10. Rudin 1973, Corolario 2.12.
11. Rudin 1973, Teorema 2.15.
12. Rudin 1991, Teorema 2.11.
13. Sarnowski, Jarek (31 de octubre de 2020). "¿Puede el operador inverso del teorema de Bartle-Graves ser lineal?". MathOverflow .
14. Borwein, JM ; Dontchev, AL (2003). "Sobre el teorema de Bartle–Graves". Actas de la American Mathematical Society . 131 (8): 2553–2560. doi :10.1090/S0002-9939-03-07229-0. MR  1974655.
15. Narici y Beckenstein 2011, pág. 468.
16. Dieudonné 1970, 16.12.8.
17. Tréves 2006, pág. 170
18. Narici y Beckenstein 2011, págs. 466.
19. Narici y Beckenstein 2011, págs. 467.
20. Narici y Beckenstein 2011, págs. 466−468.
21. Narici y Beckenstein 2011, pág. 469.

Bibliografía

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Lectura adicional

• "¿Cuándo un complejo de espacios de Banach es tan exacto como un grupo abeliano condensado?". MathOverflow . 6 de febrero de 2021.