Homomorfismo topológico

En el análisis funcional , un homomorfismo topológico o simplemente homomorfismo (si no se genera ninguna confusión) es el análogo de los homomorfismos para la categoría de espacios vectoriales topológicos (TVS). Este concepto es de considerable importancia en el análisis funcional y el famoso teorema de aplicación abierta proporciona una condición suficiente para que una aplicación lineal continua entre espacios de Fréchet sea un homomorfismo topológico.

Definiciones

Un homomorfismo topológico o simplemente homomorfismo (si no surge ninguna confusión) es un mapa lineal continuo entre espacios vectoriales topológicos (TVSs) tal que el mapa inducido es un mapeo abierto cuando que es la imagen de se da la topología del subespacio inducida por ^[1] Este concepto es de considerable importancia en el análisis funcional y el famoso teorema de mapeo abierto da una condición suficiente para que un mapa lineal continuo entre espacios de Fréchet sea un homomorfismo topológico. ${\displaystyle u:X\to Y}$ ${\displaystyle u:X\to \operatorname {Im} u}$ ${\displaystyle \operatorname {Im} u:=u(X),}$ ${\displaystyle u,}$ ${\displaystyle Y.}$

Una incrustación de TVSo un monomorfismo topológico ^[2] es un homomorfismo topológico inyectivo . De manera equivalente, una incrustación TVS es una función lineal que también es una incrustación topológica .

Caracterizaciones

Supongamos que hay un mapa lineal entre TVS y nota que se puede descomponer en la composición de los siguientes mapas lineales canónicos: ${\displaystyle u:X\to Y}$ ${\displaystyle u}$

${\displaystyle X~{\overset {\pi }{\rightarrow }}~X/\operatorname {ker} u~{\overset {u_{0}}{\rightarrow }}~\operatorname {Im} u~{\overset {\operatorname {In} }{\rightarrow }}~Y}$

donde es el mapa cociente canónico y es el mapa de inclusión . ${\displaystyle \pi :X\to X/\operatorname {ker} u}$ ${\displaystyle \operatorname {In} :\operatorname {Im} u\to Y}$

Los siguientes son equivalentes:

1. ${\displaystyle u}$es un homomorfismo topológico
2. para cada base de vecindad del origen en es una base de vecindad del origen en ^[1] ${\displaystyle {\mathcal {U}}}$ ${\displaystyle X,}$ ${\displaystyle u\left({\mathcal {U}}\right)}$ ${\displaystyle Y}$
3. El mapa inducido es un isomorfismo de TVS ^[1] ${\displaystyle u_{0}:X/\operatorname {ker} u\to \operatorname {Im} u}$

Si además el rango de es un espacio de Hausdorff de dimensión finita, entonces los siguientes son equivalentes: ${\displaystyle u}$

1. ${\displaystyle u}$es un homomorfismo topológico
2. ${\displaystyle u}$es continua ^[1]
3. ${\displaystyle u}$es continua en el origen ^[1]
4. ${\displaystyle u^{-1}(0)}$está cerrado en ^[1] ${\displaystyle X}$

Condiciones suficientes

Teorema ^[1]  —  Sea una función lineal continua sobreyectiva de un espacio LF en un TVS Si también es un espacio LF o si es un espacio de Fréchet entonces es un homomorfismo topológico. ${\displaystyle u:X\to Y}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle Y.}$ ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle u:X\to Y}$

Teorema ^[3]  —  Supóngase que β es un operador lineal continuo entre dos TVS de Hausdorff. Si β es un subespacio vectorial denso de y si la restricción a es un homomorfismo topológico entonces β es también un homomorfismo topológico. ^[3] ${\displaystyle f:X\to Y}$ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle f{\big \vert }_{M}:M\to Y}$ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle f:X\to Y}$

Por lo tanto, si y son compleciones de Hausdorff de y respectivamente, y si es un homomorfismo topológico, entonces la única extensión lineal continua de es un homomorfismo topológico. (Sin embargo, es posible que sea sobreyectiva pero que no sea inyectiva). ${\displaystyle C}$ ${\displaystyle D}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle Y,}$ ${\displaystyle f:X\to Y}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle F:C\to D}$ ${\displaystyle f:X\to Y}$ ${\displaystyle F:C\to D}$

Teorema de mapeo abierto

El teorema de aplicación abierta , también conocido como teorema de homomorfismo de Banach , proporciona una condición suficiente para que un operador lineal continuo entre TVS metrizables completos sea un homomorfismo topológico.

Teorema ^[4]  —  Sea una función lineal continua entre dos TVS metrizables completas. Si que es el rango de es un subconjunto denso de entonces o bien es magro (es decir, de la primera categoría ) en o bien es un homomorfismo topológico sobreyectivo. En particular, es un homomorfismo topológico si y solo si es un subconjunto cerrado de ${\displaystyle u:X\to Y}$ ${\displaystyle \operatorname {Im} u,}$ ${\displaystyle u,}$ ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle \operatorname {Im} u}$ ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle u:X\to Y}$ ${\displaystyle u:X\to Y}$ ${\displaystyle \operatorname {Im} u}$ ${\displaystyle Y.}$

Corolario ^[4]  —  Sean y topologías TVS en un espacio vectorial tales que cada topología se convierte en un TVS metrizable completo . Si o entonces ${\displaystyle \sigma }$ ${\displaystyle \tau }$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \sigma \subseteq \tau }$ ${\displaystyle \tau \subseteq \sigma }$ ${\displaystyle \sigma =\tau .}$

Corolario ^[4]  —  Si es un TVS metrizable completo , y son dos subespacios vectoriales cerrados de y si es la suma directa algebraica de y (es decir, la suma directa en la categoría de espacios vectoriales), entonces es la suma directa de y en la categoría de espacios vectoriales topológicos. ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle N}$ ${\displaystyle X,}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle N}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle N}$

Ejemplos

Cada funcional lineal continuo en un TVS es un homomorfismo topológico. ^[1]

Sea un TVS de dimensión 1 sobre el campo y sea distinto de cero. Sea definido por Si tiene su topología euclidiana habitual y si es Hausdorff entonces es un isomorfismo TVS. ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle 1}$ ${\displaystyle \mathbb {K} }$ ${\displaystyle x\in X}$ ${\displaystyle L:\mathbb {K} \to X}$ ${\displaystyle L(s):=sx.}$ ${\displaystyle \mathbb {K} }$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle L:\mathbb {K} \to X}$

Véase también

• Homomorfismo  – Mapa que preserva la estructura entre dos estructuras algebraicas del mismo tipo
• Mapeo abierto  : una función que envía subconjuntos abiertos (o cerrados) a subconjuntos abiertos (o cerrados)Pages displaying short descriptions of redirect targets
• Sobreyección de espacios de Fréchet  – Caracterización de la sobreyección
• Espacio vectorial topológico  – Espacio vectorial con noción de proximidad

Referencias

1. Schaefer y Wolff 1999, págs. 74–78.
2. Köthe 1969, pág. 91.
3. Schaefer & Wolff 1999, pág. 116.
4. Schaefer y Wolff 1999, pág. 78.

Bibliografía

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