En el análisis complejo , el teorema de aplicación abierta establece que si U es un dominio del plano complejo C y f : U → C es una función holomorfa no constante , entonces f es una aplicación abierta (es decir, envía subconjuntos abiertos de U a subconjuntos abiertos de C , y tenemos invariancia de dominio ).
El teorema de aplicación abierta señala la marcada diferencia entre holomorfía y diferenciabilidad real. En la recta real , por ejemplo, la función diferenciable f ( x ) = x 2 no es una función abierta, ya que la imagen del intervalo abierto (−1, 1) es el intervalo semiabierto [0, 1).
El teorema, por ejemplo, implica que una función holomorfa no constante no puede proyectar un disco abierto sobre una porción de cualquier línea inserta en el plano complejo. Las imágenes de funciones holomorfas pueden ser de dimensión real cero (si son constantes) o dos (si no son constantes), pero nunca de dimensión 1.
Supongamos que f : U → C es una función holomorfa no constante y que U es un dominio del plano complejo. Tenemos que demostrar que cada punto en f ( U ) es un punto interior de f ( U ), es decir, que cada punto en f ( U ) tiene un entorno (disco abierto) que también está en f ( U ).
Consideremos un w 0 arbitrario en f ( U ). Entonces existe un punto z 0 en U tal que w 0 = f ( z 0 ). Como U es abierto, podemos hallar d > 0 tal que el disco cerrado B alrededor de z 0 con radio d está completamente contenido en U . Consideremos la función g ( z ) = f ( z )− w 0 . Nótese que z 0 es una raíz de la función.
Sabemos que g ( z ) no es constante y es holomorfa. Las raíces de g están aisladas por el teorema de identidad y, al disminuir aún más el radio del disco B , podemos asegurar que g ( z ) tiene una sola raíz en B (aunque esta única raíz puede tener una multiplicidad mayor que 1).
El límite de B es un círculo y por tanto un conjunto compacto , en el que | g ( z )| es una función continua positiva , por lo que el teorema del valor extremo garantiza la existencia de un mínimo positivo e , es decir, e es el mínimo de | g ( z )| para z en el límite de B y e > 0.
Denotemos por D el disco abierto alrededor de w 0 con radio e . Por el teorema de Rouché , la función g ( z ) = f ( z )− w 0 tendrá el mismo número de raíces (contadas con multiplicidad) en B que h ( z ):= f ( z )− w 1 para cualquier w 1 en D . Esto es porque h ( z ) = g ( z ) + ( w 0 - w 1 ), y para z en el borde de B , | g ( z )| ≥ e > | w 0 - w 1 |. Por lo tanto, para cada w 1 en D , existe al menos un z 1 en B tal que f ( z 1 ) = w 1 . Esto significa que el disco D está contenido en f ( B ).
La imagen de la pelota B , f ( B ) es un subconjunto de la imagen de U , f ( U ). Por lo tanto, w 0 es un punto interior de f ( U ). Como w 0 era arbitrario en f ( U ) sabemos que f ( U ) es abierta. Como U era arbitrario, la función f es abierta.