Medida valorada en proyección

Medida del valor del operador matemático de interés en la mecánica cuántica y el análisis funcional

En matemáticas , particularmente en análisis funcional , una medida valorada por proyección (o medida espectral ) es una función definida sobre ciertos subconjuntos de un conjunto fijo y cuyos valores son proyecciones autoadjuntas sobre un espacio de Hilbert fijo . ^[1] Una medida de valor de proyección (PVM) es formalmente similar a una medida de valor real , excepto que sus valores son proyecciones autoadjuntas en lugar de números reales. Como en el caso de las medidas ordinarias, es posible integrar funciones de valores complejos con respecto a un PVM; el resultado de tal integración es un operador lineal en el espacio de Hilbert dado.

Las medidas con valores de proyección se utilizan para expresar resultados en la teoría espectral , como el importante teorema espectral para operadores autoadjuntos , en cuyo caso el PVM a veces se denomina medida espectral . El cálculo funcional de Borel para operadores autoadjuntos se construye utilizando integrales con respecto a PVM. En mecánica cuántica , los PVM son la descripción matemática de mediciones proyectivas . ^{[ se necesita aclaración ]} Se generalizan mediante medidas positivas valoradas por el operador (POVM) en el mismo sentido que un estado mixto o una matriz de densidad generaliza la noción de estado puro .

Definición

Denotemos un espacio de Hilbert complejo separable y un espacio medible que consta de un conjunto y un álgebra σ de Borel en . Una medida con valor de proyección es un mapa del conjunto de operadores autoadjuntos acotados que satisfacen las siguientes propiedades: ^{[2] [3]} ${\displaystyle H}$ ${\displaystyle (X,M)}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \pi }$ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle H}$

• ${\displaystyle \pi (E)}$es una proyección ortogonal para todos ${\displaystyle E\in M.}$
• ${\displaystyle \pi (\emptyset )=0}$y , donde está el conjunto vacío y el operador identidad . ${\displaystyle \pi (X)=I}$ ${\displaystyle \emptyset }$ ${\displaystyle I}$
• Si son disjuntos, entonces para todos , ${\displaystyle E_{1},E_{2},E_{3},\dotsc }$ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle v\in H}$

${\displaystyle \pi \left(\bigcup _{j=1}^{\infty }E_{j}\right)v=\sum _{j=1}^{\infty }\pi (E_{j})v.}$

• ${\displaystyle \pi (E_{1}\cap E_{2})=\pi (E_{1})\pi (E_{2})}$para todos ${\displaystyle E_{1},E_{2}\in M.}$

La segunda y cuarta propiedad muestran que si y son disjuntos, es decir , las imágenes y son ortogonales entre sí. ${\displaystyle E_{1}}$ ${\displaystyle E_{2}}$ ${\displaystyle E_{1}\cap E_{2}=\emptyset }$ ${\displaystyle \pi (E_{1})}$ ${\displaystyle \pi (E_{2})}$

Sea y su complemento ortogonal la imagen y el núcleo , respectivamente, de . Si es un subespacio cerrado de entonces se puede escribir como descomposición ortogonal y es el operador de identidad único al satisfacer las cuatro propiedades. ^{[4] [5]} ${\displaystyle V_{E}=\operatorname {im} (\pi (E))}$ ${\displaystyle V_{E}^{\perp }=\ker(\pi (E))}$ ${\displaystyle \pi (E)}$ ${\displaystyle V_{E}}$ ${\displaystyle H}$ ${\displaystyle H}$ ${\displaystyle H=V_{E}\oplus V_{E}^{\perp }}$ ${\displaystyle \pi (E)=I_{E}}$ ${\displaystyle V_{E}}$

Para cada y la medida valorada en proyección forma una medida valorada compleja definida como ${\displaystyle \xi ,\eta \in H}$ ${\displaystyle E\in M}$ ${\displaystyle H}$

${\displaystyle \mu _{\xi ,\eta }(E):=\langle \pi (E)\xi \mid \eta \rangle }$

con variación total como máximo . ^{[6] Se reduce a una} medida de valor real cuando ${\displaystyle \|\xi \|\|\eta \|}$

${\displaystyle \mu _{\xi }(E):=\langle \pi (E)\xi \mid \xi \rangle }$

y una medida de probabilidad cuando es un vector unitario . ${\displaystyle \xi }$

Ejemplo Sea un espacio σ de medida finita y, para todo , sea ${\displaystyle (X,M,\mu )}$ ${\displaystyle E\in M}$

${\displaystyle \pi (E):L^{2}(X)\to L^{2}(X)}$

ser definido como

${\displaystyle \psi \mapsto \pi (E)\psi =1_{E}\psi ,}$

es decir, como multiplicación por la función indicadora en L 2 ( X ) . Luego define una medida valorada en proyección. ^[6] Por ejemplo, si , y entonces existe la medida compleja asociada que toma una función medible y da la integral ${\displaystyle 1_{E}}$ ${\displaystyle \pi (E)=1_{E}}$ ${\displaystyle X=\mathbb {R} }$ ${\displaystyle E=(0,1)}$ ${\displaystyle \phi ,\psi \in L^{2}(\mathbb {R} )}$ ${\displaystyle \mu _{\phi ,\psi }}$ ${\displaystyle f:\mathbb {R} \to \mathbb {R} }$

${\displaystyle \int _{E}f\,d\mu _{\phi ,\psi }=\int _{0}^{1}f(x)\psi (x){\overline {\phi }}(x)\,dx}$

Extensiones de medidas valoradas en proyecciones

Si π es una medida valorada en proyección en un espacio medible ( X , M ), entonces el mapa

${\displaystyle \chi _{E}\mapsto \pi (E)}$

se extiende a un mapa lineal en el espacio vectorial de funciones escalonadas en X . De hecho, es fácil comprobar que este mapa es un homomorfismo de anillo . Este mapa se extiende de forma canónica a todas las funciones medibles acotadas de valores complejos en X , y tenemos lo siguiente.

Teorema  :  para cualquier función de Borel acotada en , existe un operador acotado único tal que ^{[7] [8]} ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle T:H\to H}$

${\displaystyle \langle T\xi \mid \xi \rangle =\int _{X}f(\lambda )\,d\mu _{\xi }(\lambda ),\quad \forall \xi \in H.}$

donde es una medida finita de Borel dada por ${\displaystyle \mu _{\xi }}$

${\displaystyle \mu _{\xi }(E):=\langle \pi (E)\xi \mid \xi \rangle ,\quad \forall E\in M.}$

Por tanto, es un espacio de medida finita . ${\displaystyle (X,M,\mu )}$

El teorema también es correcto para funciones medibles ilimitadas, pero entonces será un operador lineal ilimitado en el espacio de Hilbert . ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle T}$ ${\displaystyle H}$

Esto permite definir el cálculo funcional de Borel para dichos operadores y luego pasar a funciones medibles mediante el teorema de representación de Riesz-Markov-Kakutani . Es decir, si es una función medible, entonces existe una medida única tal que ${\displaystyle g:\mathbb {R} \to \mathbb {C} }$

${\displaystyle g(T):=\int _{\mathbb {R} }g(x)\,d\pi (x).}$

Teorema espectral

Sea un espacio de Hilbert complejo separable , un operador autoadjunto acotado y el espectro de . Entonces, el teorema espectral dice que existe una medida única con valor de proyección , definida en un subconjunto de Borel , tal que ^[9] ${\displaystyle H}$ ${\displaystyle A:H\to H}$ ${\displaystyle \sigma (A)}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle \pi ^{A}}$ ${\displaystyle E\subset \sigma (A)}$

${\displaystyle A=\int _{\sigma (A)}\lambda \,d\pi ^{A}(\lambda ),}$

donde la integral se extiende a una función ilimitada cuando el espectro de es ilimitado. ^[10] ${\displaystyle \lambda }$ ${\displaystyle A}$

Integrales directas

Primero, proporcionamos un ejemplo general de medida valorada en proyección basada en integrales directas . Supongamos que ( X , M , μ ) es un espacio de medida y sea { H _x } _{x ∈ X} una familia μ-medible de espacios de Hilbert separables. Para cada E ∈ M , sea π ( E ) el operador de multiplicación por 1 _E en el espacio de Hilbert

${\displaystyle \int _{X}^{\oplus }H_{x}\ d\mu (x).}$

Entonces π es una medida valorada en proyección en ( X , M ).

Supongamos que π , ρ son medidas valoradas en proyección en ( X , M ) con valores en las proyecciones de H , K. π , ρ son unitariamente equivalentes si y sólo si existe un operador unitario U : H → K tal que

${\displaystyle \pi (E)=U^{*}\rho (E)U\quad }$

para cada mi ∈ M .

Teorema . Si ( X , M ) es un espacio de Borel estándar , entonces para cada medida π valorada en proyección en ( X , M ) que toma valores en las proyecciones de un espacio de Hilbert separable , hay una medida de Borel μ y una familia μ-medible de Espacios de Hilbert { H _x } _{x ∈ X} , tales que π es unitariamente equivalente a la multiplicación por 1 _E en el espacio de Hilbert

${\displaystyle \int _{X}^{\oplus }H_{x}\ d\mu (x).}$

La clase de medida ^{[ aclaración necesaria ]} de μ y la clase de equivalencia de medida de la función de multiplicidad x → dim H _x caracterizan completamente la medida valorada en proyección hasta la equivalencia unitaria.

Una medida π con valor de proyección es homogénea de multiplicidad n si y solo si la función de multiplicidad tiene un valor constante n . Claramente,

Teorema . Cualquier medida π valorada en proyección que tome valores en las proyecciones de un espacio de Hilbert separable es una suma directa ortogonal de medidas homogéneas valoradas en proyección:

${\displaystyle \pi =\bigoplus _{1\leq n\leq \omega }(\pi \mid H_{n})}$

dónde

${\displaystyle H_{n}=\int _{X_{n}}^{\oplus }H_{x}\ d(\mu \mid X_{n})(x)}$

y

${\displaystyle X_{n}=\{x\in X:\dim H_{x}=n\}.}$

Aplicación en mecánica cuántica

En mecánica cuántica, dada una medida valorada en proyección de un espacio medible al espacio de endomorfismos continuos en un espacio de Hilbert , ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle H}$

• el espacio proyectivo del espacio de Hilbert se interpreta como el conjunto de estados posibles ( normalizables ) de un sistema cuántico, ^[11] ${\displaystyle \mathbf {P} (H)}$ ${\displaystyle H}$ ${\displaystyle \varphi }$
• el espacio medible es el espacio de valores para alguna propiedad cuántica del sistema (un "observable"), ${\displaystyle X}$
• la medida valorada en proyección expresa la probabilidad de que lo observable adopte varios valores. ${\displaystyle \pi }$

Una opción común es la línea real, pero también puede ser ${\displaystyle X}$

• ${\displaystyle \mathbb {R} ^{3}}$(para posición o impulso en tres dimensiones),
• un conjunto discreto (para momento angular, energía de un estado ligado, etc.),
• el conjunto de 2 puntos "verdadero" y "falso" para el valor de verdad de una proposición arbitraria sobre . ${\displaystyle \varphi }$

Sea un subconjunto medible de y un estado cuántico vectorial normalizado en , de modo que su norma de Hilbert sea unitaria, . La probabilidad de que el observable tome su valor en , dado el sistema en estado , es ${\displaystyle E}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \varphi }$ ${\displaystyle H}$ ${\displaystyle \|\varphi \|=1}$ ${\displaystyle E}$ ${\displaystyle \varphi }$

${\displaystyle P_{\pi }(\varphi )(E)=\langle \varphi \mid \pi (E)(\varphi )\rangle =\langle \varphi |\pi (E)|\varphi \rangle .}$

Podemos analizar esto de dos maneras. Primero, para cada fijo , la proyección es un operador autoadjunto en cuyo espacio propio 1 están los estados para los cuales el valor del observable siempre se encuentra en , y cuyo espacio propio 0 son los estados para los cuales el valor del observable nunca se encuentra. en . ${\displaystyle E}$ ${\displaystyle \pi (E)}$ ${\displaystyle H}$ ${\displaystyle \varphi }$ ${\displaystyle E}$ ${\displaystyle \varphi }$ ${\displaystyle E}$

En segundo lugar, para cada estado de vector normalizado fijo , la asociación ${\displaystyle \varphi }$

${\displaystyle P_{\pi }(\varphi ):E\mapsto \langle \varphi \mid \pi (E)\varphi \rangle }$

es una medida de probabilidad de convertir los valores de lo observable en una variable aleatoria. ${\displaystyle X}$

Una medición que se puede realizar mediante una medida valorada en proyección se denomina medición proyectiva . ${\displaystyle \pi }$

Si es la recta de números reales, existe asociado a , un operador autoadjunto definido por ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \pi }$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle H}$

${\displaystyle A(\varphi )=\int _{\mathbb {R} }\lambda \,d\pi (\lambda )(\varphi ),}$

lo que se reduce a

${\displaystyle A(\varphi )=\sum _{i}\lambda _{i}\pi ({\lambda _{i}})(\varphi )}$

si el soporte de es un subconjunto discreto de . ${\displaystyle \pi }$ ${\displaystyle X}$

El operador anterior se llama observable asociado con la medida espectral. ${\displaystyle A}$

Generalizaciones

La idea de una medida valorada en proyección se generaliza mediante la medida valorada por operador positivo (POVM), donde la necesidad de la ortogonalidad implícita en los operadores de proyección se reemplaza por la idea de un conjunto de operadores que son una partición no ortogonal de la unidad. ^{[ se necesita aclaración ]} . Esta generalización está motivada por aplicaciones a la teoría de la información cuántica .

Ver también

• Teorema espectral
• Teoría espectral de operadores compactos.
• Teoría espectral de álgebras C* normales

Notas

1. Conway 2000, pag. 41.
2. Salón 2013, pag. 138.
3. Reed y Simon 1980, pág. 234.
4. Rudin 1991, pag. 308.
5. Salón 2013, pag. 541.
6. Conway 2000, pág. 42.
7. Kowalski, Emmanuel (2009), Teoría espectral en espacios de Hilbert (PDF) , notas de conferencias de ETH Zürich, p. 50
8. Reed y Simon 1980, pág. 227.235.
9. Reed y Simon 1980, pág. 235.
10. Salón 2013, pag. 205.
11. Ashtekar y Schilling 1999, págs. 23–65.

Referencias

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