Operador compacto

Tipo de operador lineal continuo

En el análisis funcional , una rama de las matemáticas , un operador compacto es un operador lineal , donde son espacios vectoriales normados , con la propiedad de que asigna subconjuntos acotados de a subconjuntos relativamente compactos de (subconjuntos con clausura compacta en ). Un operador de este tipo es necesariamente un operador acotado y, por lo tanto, continuo. ^[1] Algunos autores requieren que sean de Banach , pero la definición se puede extender a espacios más generales. ${\displaystyle T:X\to Y}$ ${\displaystyle X,Y}$ ${\displaystyle T}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle X,Y}$

Cualquier operador acotado que tenga rango finito es un operador compacto; de hecho, la clase de operadores compactos es una generalización natural de la clase de operadores de rango finito en un entorno de dimensión infinita. Cuando es un espacio de Hilbert , es cierto que cualquier operador compacto es un límite de operadores de rango finito, ^[1] de modo que la clase de operadores compactos puede definirse alternativamente como la clausura del conjunto de operadores de rango finito en la topología de norma . Si esto era cierto en general para los espacios de Banach (la propiedad de aproximación ) fue una cuestión sin resolver durante muchos años; en 1973 Per Enflo dio un contraejemplo, basándose en el trabajo de Grothendieck y Banach . ^[2] ${\displaystyle T}$ ${\displaystyle Y}$

El origen de la teoría de operadores compactos está en la teoría de ecuaciones integrales , donde los operadores integrales proporcionan ejemplos concretos de tales operadores. Una ecuación integral típica de Fredholm da lugar a un operador compacto K en espacios de funciones ; la propiedad de compacidad se muestra por la equicontinuidad . El método de aproximación por operadores de rango finito es básico en la solución numérica de tales ecuaciones. La idea abstracta del operador de Fredholm se deriva de esta conexión.

Formulaciones equivalentes

Se dice que un mapa lineal entre dos espacios vectoriales topológicos es compacto si existe un vecindario del origen en tal que es un subconjunto relativamente compacto de . ^[3] ${\displaystyle T:X\to Y}$ ${\displaystyle U}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle T(U)}$ ${\displaystyle Y}$

Sean espacios normados y un operador lineal. Entonces las siguientes afirmaciones son equivalentes, y algunas de ellas son utilizadas como definición principal por diferentes autores ^[4] ${\displaystyle X,Y}$ ${\displaystyle T:X\to Y}$

• ${\displaystyle T}$es un operador compacto;
• La imagen de la bola unitaria de abajo es relativamente compacta en ; ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle T}$ ${\displaystyle Y}$
• La imagen de cualquier subconjunto acotado de under es relativamente compacta en ; ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle T}$ ${\displaystyle Y}$
• existe un vecindario del origen en y un subconjunto compacto tal que ; ${\displaystyle U}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle V\subseteq Y}$ ${\displaystyle T(U)\subseteq V}$
• Para cualquier secuencia acotada en , la secuencia contiene una subsecuencia convergente. ${\displaystyle (x_{n})_{n\in \mathbb {N} }}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle (Tx_{n})_{n\in \mathbb {N} }}$

Si además está Banach, estas afirmaciones también son equivalentes a: ${\displaystyle Y}$

• La imagen de cualquier subconjunto acotado de bajo está totalmente acotada en . ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle T}$ ${\displaystyle Y}$

Si un operador lineal es compacto, entonces es continuo.

Propiedades

En lo que sigue, son espacios de Banach, es el espacio de operadores acotados bajo la norma del operador , y denota el espacio de operadores compactos . denota el operador identidad en , , y . ${\displaystyle X,Y,Z,W}$ ${\displaystyle B(X,Y)}$ ${\displaystyle X\to Y}$ ${\displaystyle K(X,Y)}$ ${\displaystyle X\to Y}$ ${\displaystyle \operatorname {Id} _{X}}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle B(X)=B(X,X)}$ ${\displaystyle K(X)=K(X,X)}$

• ${\displaystyle K(X,Y)}$es un subespacio cerrado de (en la topología normal). De manera equivalente, ^[5] ${\displaystyle B(X,Y)}$
  • dada una secuencia de operadores compactos que se aplican (donde son Banach) y dado que converge a con respecto a la norma del operador , entonces es compacto. ${\displaystyle (T_{n})_{n\in \mathbf {N} }}$ ${\displaystyle X\to Y}$ ${\displaystyle X,Y}$ ${\displaystyle (T_{n})_{n\in \mathbf {N} }}$ ${\displaystyle T}$ ${\displaystyle T}$
• Por el contrario, si son espacios de Hilbert, entonces cada operador compacto de es el límite de los operadores de rango finito. Cabe destacar que esta " propiedad de aproximación " es falsa para los espacios de Banach generales X e Y. ^[4 ] ${\displaystyle X,Y}$ ${\displaystyle X\to Y}$
• ${\displaystyle B(Y,Z)\circ K(X,Y)\circ B(W,X)\subseteq K(W,Z),}$donde la composición de conjuntos se toma elemento por elemento. En particular, forma un ideal bilateral en . ${\displaystyle K(X)}$ ${\displaystyle B(X)}$
• Cualquier operador compacto es estrictamente singular , pero no al revés. ^[6]
• Un operador lineal acotado entre espacios de Banach es compacto si y sólo si su adjunto es compacto ( teorema de Schauder ). ^[7]
  • Si es acotado y compacto, entonces: ^{[5] [7]} ${\displaystyle T:X\to Y}$
    • El cierre del rango de es separable . ${\displaystyle T}$
    • Si el rango de está cerrado en Y , entonces el rango de es de dimensión finita. ${\displaystyle T}$ ${\displaystyle T}$
• Si es un espacio de Banach y existe un operador compacto acotado invertible entonces es necesariamente de dimensión finita. ^[7] ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle T:X\to X}$ ${\displaystyle X}$

Supongamos ahora que es un espacio de Banach y es un operador lineal compacto, y es el adjunto o transpuesto de T. ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle T\colon X\to X}$ ${\displaystyle T^{*}\colon X^{*}\to X^{*}}$

• Para cualquier ,   es un operador de Fredholm de índice 0. En particular, es cerrado. Esto es esencial para desarrollar las propiedades espectrales de los operadores compactos. Se puede notar la similitud entre esta propiedad y el hecho de que, si y son subespacios de donde es cerrado y es de dimensión finita, entonces también es cerrado. ${\displaystyle T\in K(X)}$ ${\displaystyle {\operatorname {Id} _{X}}-T}$ ${\displaystyle \operatorname {Im} ({\operatorname {Id} _{X}}-T)}$ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle N}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle N}$ ${\displaystyle M+N}$
• Si es cualquier operador lineal acotado, entonces tanto como son operadores compactos. ^[5] ${\displaystyle S\colon X\to X}$ ${\displaystyle S\circ T}$ ${\displaystyle T\circ S}$
• Si entonces el rango de es cerrado y el núcleo de es de dimensión finita. ^[5] ${\displaystyle \lambda \neq 0}$ ${\displaystyle T-\lambda \operatorname {Id} _{X}}$ ${\displaystyle T-\lambda \operatorname {Id} _{X}}$
• Si entonces los siguientes son finitos e iguales: ^[5] ${\displaystyle \lambda \neq 0}$ ${\displaystyle \dim \ker \left(T-\lambda \operatorname {Id} _{X}\right)=\dim {\big (}X/\operatorname {Im} \left(T-\lambda \operatorname {Id} _{X}\right){\big )}=\dim \ker \left(T^{*}-\lambda \operatorname {Id} _{X^{*}}\right)=\dim {\big (}X^{*}/\operatorname {Im} \left(T^{*}-\lambda \operatorname {Id} _{X^{*}}\right){\big )}}$
• El espectro de es compacto, contable y tiene como máximo un punto límite , que necesariamente sería el origen. ^[5] ${\displaystyle \sigma (T)}$ ${\displaystyle T}$
• Si es de dimensión infinita entonces . ^[5] ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle 0\in \sigma (T)}$
• Si y entonces es un valor propio de ambos y . ^[5] ${\displaystyle \lambda \neq 0}$ ${\displaystyle \lambda \in \sigma (T)}$ ${\displaystyle \lambda }$ ${\displaystyle T}$ ${\displaystyle T^{*}}$
• Para cada conjunto es finito, y para cada valor distinto de cero el rango de es un subconjunto propio de X . ^[5] ${\displaystyle r>0}$ ${\displaystyle E_{r}=\left\{\lambda \in \sigma (T):|\lambda |>r\right\}}$ ${\displaystyle \lambda \in \sigma (T)}$ ${\displaystyle T-\lambda \operatorname {Id} _{X}}$

Orígenes de la teoría de ecuaciones integrales

Una propiedad crucial de los operadores compactos es la alternativa de Fredholm , que afirma que la existencia de solución de ecuaciones lineales de la forma

${\displaystyle (\lambda K+I)u=f}$

(donde K es un operador compacto, f es una función dada y u es la función desconocida que se debe resolver) se comporta de manera muy similar a como en dimensiones finitas. Luego se sigue la teoría espectral de operadores compactos , y se debe a Frigyes Riesz (1918). Muestra que un operador compacto K en un espacio de Banach de dimensión infinita tiene un espectro que es un subconjunto finito de C que incluye 0, o el espectro es un subconjunto infinito numerable de C que tiene 0 como su único punto límite . Además, en cualquier caso, los elementos no cero del espectro son valores propios de K con multiplicidades finitas (de modo que K − λ I tiene un núcleo de dimensión finita para todo complejo λ ≠ 0).

Un ejemplo importante de un operador compacto es la incrustación compacta de espacios de Sobolev , que, junto con la desigualdad de Gårding y el teorema de Lax-Milgram , se puede utilizar para convertir un problema de valor de contorno elíptico en una ecuación integral de Fredholm. ^[8] La existencia de la solución y las propiedades espectrales se deducen de la teoría de operadores compactos; en particular, un problema de valor de contorno elíptico en un dominio acotado tiene infinitos valores propios aislados. Una consecuencia es que un cuerpo sólido puede vibrar solo a frecuencias aisladas, dadas por los valores propios, y siempre existen frecuencias de vibración arbitrariamente altas.

Los operadores compactos de un espacio de Banach consigo mismo forman un ideal bilateral en el álgebra de todos los operadores acotados en el espacio. De hecho, los operadores compactos en un espacio de Hilbert separable de dimensión infinita forman un ideal maximalista, por lo que el álgebra del cociente , conocida como álgebra de Calkin , es simple . De manera más general, los operadores compactos forman un ideal de operador .

Operador compacto en espacios de Hilbert

Para los espacios de Hilbert, otra definición equivalente de operadores compactos se da como sigue.

Un operador en un espacio de Hilbert de dimensión infinita , ${\displaystyle T}$ ${\displaystyle ({\mathcal {H}},\langle \cdot ,\cdot \rangle )}$

${\displaystyle T\colon {\mathcal {H}}\to {\mathcal {H}}}$,

Se dice que es compacto si se puede escribir en la forma

${\displaystyle T=\sum _{n=1}^{\infty }\lambda _{n}\langle f_{n},\cdot \rangle g_{n}}$,

donde y son conjuntos ortonormales (no necesariamente completos), y es una secuencia de números positivos con límite cero, llamados valores singulares del operador, y la serie del lado derecho converge en la norma del operador. Los valores singulares pueden acumularse solo en cero. Si la secuencia se vuelve estacionaria en cero, es decir, para algún y cada , entonces el operador tiene rango finito, es decir , un rango de dimensión finita, y puede escribirse como ${\displaystyle \{f_{1},f_{2},\ldots \}}$ ${\displaystyle \{g_{1},g_{2},\ldots \}}$ ${\displaystyle \lambda _{1},\lambda _{2},\ldots }$ ${\displaystyle \lambda _{N+k}=0}$ ${\displaystyle N\in \mathbb {N} }$ ${\displaystyle k=1,2,\dots }$

${\displaystyle T=\sum _{n=1}^{N}\lambda _{n}\langle f_{n},\cdot \rangle g_{n}}$.

Una subclase importante de operadores compactos son los operadores nucleares o de clase traza , es decir, tales que . Si bien todos los operadores de clase traza son operadores compactos, lo inverso no es necesariamente cierto. Por ejemplo, tiende a cero para while . ${\displaystyle \operatorname {Tr} (|T|)<\infty }$ ${\textstyle \lambda _{n}={\frac {1}{n}}}$ ${\displaystyle n\to \infty }$ ${\textstyle \sum _{n=1}^{\infty }|\lambda _{n}|=\infty }$

Operadores completamente continuos

Sean X e Y espacios de Banach. Un operador lineal acotado T  : X → Y se dice que es completamente continuo si, para cada secuencia débilmente convergente desde X , la secuencia es norma-convergente en Y (Conway 1985, §VI.3). Los operadores compactos en un espacio de Banach son siempre completamente continuos. Si X es un espacio de Banach reflexivo , entonces todo operador completamente continuo T  : X → Y es compacto. ${\displaystyle (x_{n})}$ ${\displaystyle (Tx_{n})}$

De manera un tanto confusa, en la literatura antigua a veces se hace referencia a los operadores compactos como "completamente continuos", aunque no sean necesariamente completamente continuos según la definición de esa frase en la terminología moderna.

Ejemplos

• Cada operador de rango finito es compacto.
• Para una secuencia (t _n ) que converge a cero, el operador de multiplicación ( Tx ) _n = t _n x _n es compacto. ${\displaystyle \ell ^{p}}$
• Para algún g fijo  ∈  C ([0, 1];  R ), definamos el operador lineal T desde C ([0, 1];  R ) hasta C ([0, 1];  R ) mediante Que el operador T es de hecho compacto se deduce del teorema de Ascoli . $${\displaystyle (Tf)(x)=\int _{0}^{x}f(t)g(t)\,\mathrm {d} t.}$$
• De manera más general, si Ω es cualquier dominio en R ⁿ y el núcleo integral k  : Ω × Ω →  R es un núcleo de Hilbert–Schmidt , entonces el operador T en L ² (Ω;  R ) definido por es un operador compacto. $${\displaystyle (Tf)(x)=\int _{\Omega }k(x,y)f(y)\,\mathrm {d} y}$$
• Según el lema de Riesz , el operador identidad es un operador compacto si y sólo si el espacio es de dimensión finita. ^[9]

Véase también

• Incorporación compacta
• Operador compacto en el espacio de Hilbert
• Alternativa de Fredholm  : teorema matemáticoPáginas que muestran descripciones de wikidata como alternativa
• Ecuación integral de Fredholm
• Operador de Fredholm  : parte de las teorías de Fredholm en ecuaciones integrales
• Operador estrictamente singular
• Teoría espectral de operadores compactos

Notas

1. Conway 1985, Sección 2.4
2. Enflo 1973
3. Schaefer y Wolff 1999, pág. 98.
4. Brézis, H. (2011). Análisis funcional, espacios de Sobolev y ecuaciones diferenciales parciales. H. Brézis. Nueva York: Springer. ISBN 978-0-387-70914-7.OCLC 695395895  .
5. Rudin 1991, págs.
6. NL Carothers, Un curso corto sobre la teoría del espacio de Banach , (2005) London Mathematical Society Student Texts 64 , Cambridge University Press.
7. Conway 1990, págs. 173-177.
8. William McLean, Sistemas fuertemente elípticos y ecuaciones integrales de contorno, Cambridge University Press, 2000
9. Kreyszig 1978, Teoremas 2.5-3, 2.5-5.

Referencias

• Conway, John B. (1985). Un curso de análisis funcional . Springer-Verlag. Sección 2.4. ISBN 978-3-540-96042-3.
• Conway, John B. (1990). Un curso de análisis funcional . Textos de posgrado en matemáticas . Vol. 96 (2.ª ed.). Nueva York: Springer-Verlag . ISBN. 978-0-387-97245-9.OCLC 21195908  .
• Enflo, P. (1973). "Un contraejemplo del problema de aproximación en espacios de Banach". Acta Mathematica . 130 (1): 309–317. doi : 10.1007/BF02392270 . ISSN  0001-5962. MR  0402468.
• Kreyszig, Erwin (1978). Introducción al análisis funcional con aplicaciones . John Wiley & Sons. ISBN 978-0-471-50731-4.
• Kutateladze, SS (1996). Fundamentos del Análisis Funcional . Textos en Ciencias Matemáticas. vol. 12 (2ª ed.). Nueva York: Springer-Verlag. pag. 292.ISBN​ 978-0-7923-3898-7.
• Lax, Peter (2002). Análisis funcional . Nueva York: Wiley-Interscience. ISBN 978-0-471-55604-6.OCLC 47767143  .
• Narici, Lawrence; Beckenstein, Edward (2011). Espacios vectoriales topológicos . Matemáticas puras y aplicadas (segunda edición). Boca Raton, FL: CRC Press. ISBN 978-1584888666.OCLC 144216834  .
• Renardy, M.; Rogers, RC (2004). Introducción a las ecuaciones diferenciales parciales . Textos de Matemáticas Aplicadas. Vol. 13 (2.ª ed.). Nueva York: Springer-Verlag . pág. 356. ISBN. 978-0-387-00444-0.(Sección 7.5)
• Rudin, Walter (1991). Análisis funcional. Serie internacional de matemáticas puras y aplicadas. Vol. 8 (segunda edición). Nueva York, NY: McGraw-Hill Science/Engineering/Math . ISBN 978-0-07-054236-5.OCLC 21163277  .
• Schaefer, Helmut H. ; Wolff, Manfred P. (1999). Espacios vectoriales topológicos . GTM . Vol. 8 (Segunda ed.). Nueva York, NY: Springer New York Imprenta Springer. ISBN 978-1-4612-7155-0.OCLC 840278135  .
• Trèves, François (2006) [1967]. Espacios vectoriales topológicos, distribuciones y núcleos . Mineola, Nueva York: Publicaciones de Dover. ISBN 978-0-486-45352-1.OCLC 853623322  .