triple pitagórico

Longitudes enteras de los lados de un triángulo rectángulo

Animación que muestra la terna pitagórica más pequeña, 3 ² + 4 ² = 5 ² .

Una terna pitagórica consta de tres números enteros positivos a , b y c , tales que a ² + b ² = c ² . Este triple se escribe comúnmente ( a , b , c ) , un ejemplo bien conocido es (3, 4, 5) . Si ( a , b , c ) es una terna pitagórica, entonces también lo es ( ka , kb , kc ) para cualquier entero positivo k . Un triángulo cuyas longitudes de lados son una terna pitagórica es un triángulo rectángulo y se llama triángulo pitagórico .

Una terna pitagórica primitiva es aquella en la que a , b y c son coprimos (es decir, no tienen ningún divisor común mayor que 1). ^[1] Por ejemplo, (3, 4, 5) es una terna pitagórica primitiva mientras que (6, 8, 10) no lo es. Cada tripleta pitagórica se puede escalar a una tripleta pitagórica primitiva única dividiendo ( a , b , c ) por su máximo común divisor . Por el contrario, cada terna pitagórica se puede obtener multiplicando los elementos de una terna pitagórica primitiva por un número entero positivo (lo mismo para los tres elementos).

El nombre se deriva del teorema de Pitágoras , que establece que cada triángulo rectángulo tiene longitudes de lados que satisfacen la fórmula ; por tanto, las ternas pitagóricas describen las longitudes de los tres lados enteros de un triángulo rectángulo. Sin embargo, los triángulos rectángulos con lados no enteros no forman ternas pitagóricas. Por ejemplo, el triángulo con lados y es un triángulo rectángulo, pero no es un triple pitagórico porque la raíz cuadrada de 2 no es un número entero ni una razón de números enteros . Además, y no tiene un número entero común múltiplo porque es irracional . ${\displaystyle a^{2}+b^{2}=c^{2}}$ ${\displaystyle a=b=1}$ ${\displaystyle c={\sqrt {2}}}$ ${\displaystyle (1,1,{\sqrt {2}})}$ ${\displaystyle 1}$ ${\displaystyle {\sqrt {2}}}$ ${\displaystyle {\sqrt {2}}}$

Los triples pitagóricos se conocen desde la antigüedad. El registro más antiguo conocido proviene de Plimpton 322 , una tablilla de arcilla babilónica de aproximadamente 1800 a. C., escrita en un sistema numérico sexagesimal . ^[2]

Al buscar soluciones enteras, la ecuación a ² + b ² = c ² es una ecuación diofántica . Así, las ternas pitagóricas se encuentran entre las soluciones más antiguas conocidas de una ecuación diofántica no lineal .

Ejemplos

Diagrama de dispersión de los catetos ( a , b ) de las primeras ternas pitagóricas con a y b menores que 6000. Se incluyen valores negativos para ilustrar los patrones parabólicos. Los "rayos" son el resultado del hecho de que si ( a , b , c ) es una terna pitagórica, entonces también lo es (2 a , 2 b , 2 c ) , (3 a , 3 b , 3 c ) y, más generalmente, ( ka , kb , kc ) para cualquier entero positivo k .

Hay 16 ternas pitagóricas primitivas de números hasta 100:

Otras ternas pitagóricas pequeñas como (6, 8, 10) no se enumeran porque no son primitivas; por ejemplo (6, 8, 10) es múltiplo de (3, 4, 5).

Cada uno de estos puntos (con sus múltiplos) forma una línea radiante en el diagrama de dispersión de la derecha.

Además, estos son los restantes triples pitagóricos primitivos de números hasta 300:

Generando un triple

Los triples pitagóricos primitivos. El cateto impar a se traza en el eje horizontal, el cateto par b en el vertical. La cuadrícula curvilínea se compone de curvas de constante m − n y de constante m + n en la fórmula de Euclides.

Una gráfica de tripletas generada por la fórmula de Euclides traza parte del cono z ² = x ² + y ² . Una m o n constante traza parte de una parábola en el cono.

La fórmula de Euclides ^{[3] es una fórmula fundamental para generar} ternas pitagóricas dado un par arbitrario de números enteros myn con m > n > 0 . La fórmula establece que los números enteros

${\displaystyle a=m^{2}-n^{2},\ \,b=2mn,\ \,c=m^{2}+n^{2}}$

formar una terna pitagórica. Por ejemplo, dado

${\displaystyle m=2,\ \,n=1}$

generar el triple primitivo (3,4,5):

${\displaystyle a=2^{2}-1^{2}=3,\ \,b=2\times 2\times 1=4,\ \,c=2^{2}+1^{2}=5.}$

El triple generado por la fórmula de Euclides es primitivo si y sólo si m y n son coprimos y exactamente uno de ellos es par. Cuando tanto m como n son impares, entonces a , b y c serán pares, y el triple no será primitivo; sin embargo, dividir a , b y c por 2 producirá un triple primitivo cuando myn son coprimos. ^[4]

Cada triplete primitivo surge (después del intercambio de a y b , si a es par) de un único par de números coprimos m , n , uno de los cuales es par. De ello se deduce que hay infinitas ternas pitagóricas primitivas. A lo largo del resto de este artículo se hace referencia a esta relación de a , byc con myn de la fórmula de Euclides.

A pesar de generar todos los triples primitivos, la fórmula de Euclides no produce todos los triples; por ejemplo, (9, 12, 15) no se puede generar usando los números enteros m y n . Esto se puede solucionar insertando un parámetro k adicional en la fórmula. Lo siguiente generará todas las ternas pitagóricas de forma única:

${\displaystyle a=k\cdot (m^{2}-n^{2}),\ \,b=k\cdot (2mn),\ \,c=k\cdot (m^{2}+n^{2})}$

donde m , n y k son números enteros positivos con m > n , y con myn coprimos y no ambos impares .

Que estas fórmulas generan ternas pitagóricas se puede verificar expandiendo a ² + b ² usando álgebra elemental y verificando que el resultado es igual a c ² . Dado que cada tripleta pitagórica se puede dividir por algún número entero k para obtener un triplete primitivo, cada triplete se puede generar de forma única usando la fórmula con myn para generar su contraparte primitiva y luego multiplicando por k como en la última ecuación.

La elección de myn de ciertas secuencias de números enteros da resultados interesantes. Por ejemplo, si m y n son números de Pell consecutivos , a y b diferirán en 1. ^[5]

Desde la época de Euclides se han desarrollado muchas fórmulas para generar triples con propiedades particulares.

Prueba de la fórmula de Euclides

Que la satisfacción de la fórmula de Euclides por a, b, c es suficiente para que el triángulo sea pitagórico se desprende del hecho de que para enteros positivos m y n , m > n , a , b y c dados por la fórmula son todos positivos. números enteros, y del hecho de que

${\displaystyle a^{2}+b^{2}=(m^{2}-n^{2})^{2}+(2mn)^{2}=(m^{2}+n^{2})^{2}=c^{2}.}$

Una prueba de la necesidad de que a, b, c se exprese mediante la fórmula de Euclides para cualquier triple pitagórico primitivo es la siguiente. ^[6] Todos estos triples primitivos se pueden escribir como ( a , b , c ) donde a ² + b ² = c ² y a , b , c son coprimos . Así , a , b , c son coprimos por pares (si un número primo dividiera dos de ellos, se vería obligado a dividir también al tercero). Como a y b son coprimos, al menos uno de ellos es impar. Si suponemos que a es impar, entonces b es par y c es impar (si b fuera impar, c sería par y c ² sería múltiplo de 4, mientras que a ² + b ² sería congruente con 2 módulo 4 , ya que un cuadrado impar es congruente con 1 módulo 4).

De asumir que a es impar. Obtenemos y por tanto . Entonces . Como es racional, lo igualamos a en sus términos más bajos. Por tanto , siendo el recíproco de . Luego resolviendo ${\displaystyle a^{2}+b^{2}=c^{2}}$ ${\displaystyle c^{2}-a^{2}=b^{2}}$ ${\displaystyle (c-a)(c+a)=b^{2}}$ ${\displaystyle {\tfrac {(c+a)}{b}}={\tfrac {b}{(c-a)}}}$ ${\displaystyle {\tfrac {(c+a)}{b}}}$ ${\displaystyle {\tfrac {m}{n}}}$ ${\displaystyle {\tfrac {(c-a)}{b}}={\tfrac {n}{m}}}$ ${\displaystyle {\tfrac {(c+a)}{b}}}$

${\displaystyle {\frac {c}{b}}+{\frac {a}{b}}={\frac {m}{n}},\quad \quad {\frac {c}{b}}-{\frac {a}{b}}={\frac {n}{m}}}$

para y da ${\displaystyle {\tfrac {c}{b}}}$ ${\displaystyle {\tfrac {a}{b}}}$

${\displaystyle {\frac {c}{b}}={\frac {1}{2}}\left({\frac {m}{n}}+{\frac {n}{m}}\right)={\frac {m^{2}+n^{2}}{2mn}},\quad \quad {\frac {a}{b}}={\frac {1}{2}}\left({\frac {m}{n}}-{\frac {n}{m}}\right)={\frac {m^{2}-n^{2}}{2mn}}.}$

Como se reduce completamente, m y n son coprimos y no pueden ser ambos pares. Si ambos fueran impares, el numerador de sería múltiplo de 4 (porque un cuadrado impar es congruente con 1 módulo 4), y el denominador 2 mn no sería múltiplo de 4. Dado que 4 sería el mínimo factor par posible en el numerador y 2 sería el máximo factor par posible en el denominador, esto implicaría que a sea par a pesar de definirlo como impar. Así , uno de myn es impar y el otro es par, y los numeradores de las dos fracciones con denominador 2 mn son impares. Por lo tanto , estas fracciones se reducen completamente (un primo impar que divide este denominador divide uno de myn pero no el otro; por lo tanto, no divide m ² ± n ² ). Por tanto, se pueden equiparar numeradores con numeradores y denominadores con denominadores, dando la fórmula de Euclides ${\displaystyle {\tfrac {m}{n}}}$ ${\displaystyle {\tfrac {m^{2}-n^{2}}{2mn}}}$

${\displaystyle a=m^{2}-n^{2},\ \,b=2mn,\ \,c=m^{2}+n^{2}}$con m y n coprimos y de paridades opuestas.

^{Maor (2007) [7]} y Sierpiński (2003) ofrecen una prueba más extensa pero más común . ^[8] Otra prueba se da en Ecuación diofántica § Ejemplo de ternas pitagóricas , como un ejemplo de un método general que se aplica a toda ecuación diofántica homogénea de grado dos.

Interpretación de parámetros en la fórmula de Euclides.

Supongamos que los lados de un triángulo pitagórico tienen longitudes m ² − n ² , 2 mn y m ² + n ² , y supongamos que el ángulo entre el cateto de longitud m ² − n ² y la hipotenusa de longitud m ² + n ² es denotado como β . Entonces y los valores trigonométricos de ángulo completo son , y . ^[9] ${\displaystyle \tan {\tfrac {\beta }{2}}={\tfrac {n}{m}}}$ ${\displaystyle \sin {\beta }={\tfrac {2mn}{m^{2}+n^{2}}}}$ ${\displaystyle \cos {\beta }={\tfrac {m^{2}-n^{2}}{m^{2}+n^{2}}}}$ ${\displaystyle \tan {\beta }={\tfrac {2mn}{m^{2}-n^{2}}}}$

Una variante

La siguiente variante de la fórmula de Euclides es a veces más conveniente, por ser más simétrica en myn ( misma condición de paridad en myn ) .

Si m y n son dos enteros impares tales que m > n , entonces

${\displaystyle a=mn,\quad b={\frac {m^{2}-n^{2}}{2}},\quad c={\frac {m^{2}+n^{2}}{2}}}$

son tres números enteros que forman un triple pitagórico, que es primitivo si y sólo si myn son coprimos. Por el contrario, cada tripleta pitagórica primitiva surge (después del intercambio de a y b , si a es par) de un par único m > n > 0 de enteros coprimos impares.

No intercambiarayb

En la presentación anterior, se dice que todas las ternas pitagóricas se obtienen únicamente a partir de la fórmula de Euclides "después del intercambio de a y b , si a es par". La fórmula de Euclides y la variante anterior se pueden fusionar de la siguiente manera para evitar este intercambio, lo que lleva al siguiente resultado.

Cada tripleta pitagórica primitiva se puede escribir de forma única

${\displaystyle a=2\varepsilon mn,\quad b=\varepsilon (m^{2}-n^{2}),\quad c=\varepsilon (m^{2}+n^{2}),}$

donde m y n son números enteros coprimos positivos, y si m y n son ambos impares, y en caso contrario. De manera equivalente, si a es impar y si a es par. ${\displaystyle \varepsilon ={\frac {1}{2}}}$ ${\displaystyle \varepsilon =1}$ ${\displaystyle \varepsilon ={\frac {1}{2}}}$ ${\displaystyle \varepsilon =1}$

Propiedades elementales de los triples pitagóricos primitivos.

Propiedades generales

Las propiedades de un triple pitagórico primitivo ( a , b , c ) con a < b < c (sin especificar cuál de a o b es par y cuál es impar) incluyen:

• ${\displaystyle {\tfrac {(c-a)(c-b)}{2}}}$siempre es un cuadrado perfecto. ^[10] Como es sólo una condición necesaria pero no suficiente, se puede utilizar para comprobar si un determinado triple de números no es un triple pitagórico. Por ejemplo, los triples {6, 12, 18} y {1, 8, 9} pasan la prueba de que ( c − a )( c − b )/2 es un cuadrado perfecto, pero ninguno es un triple pitagórico.
• Cuando un triple de números a , byc forma un triple pitagórico primitivo, entonces ( c menos el cateto par) y la mitad de ( c menos el cateto impar) son ambos cuadrados perfectos; sin embargo, esto no es una condición suficiente, ya que los números {1, 8, 9} pasan la prueba de los cuadrados perfectos pero no son un triple pitagórico ya que 1 ² + 8 ² ≠ 9 ² .
• Como máximo uno de a , b , c es un cuadrado. ^[11]
• El área de un triángulo pitagórico no puede ser el cuadrado ^{[12] : p. 17} o el doble del cuadrado ^{[12] : p. 21} de un número entero.
• Exactamente uno de a , b es divisible por 2 (es par ) y la hipotenusa c siempre es impar. ^[13]
• Exactamente uno de a , b es divisible por 3, pero nunca c . ^{[14] [8] : 23-25}
• Exactamente uno de a , b es divisible por 4, ^[8] pero nunca c (porque c nunca es par).
• Exactamente uno de a , b , c es divisible por 5. ^[8]
• El número más grande que siempre divide a abc es 60. ^[15]
• Cualquier número impar de la forma 2 m +1 , donde m es un número entero y m >1 , puede ser el cateto impar de una terna pitagórica primitiva. Consulte la sección de triples pitagóricos primitivos casi isósceles a continuación. Sin embargo, sólo los números pares divisibles por 4 pueden ser el cateto par de un triple pitagórico primitivo. Esto se debe a que la fórmula de Euclides para el cateto par dada anteriormente es 2 mn y uno de m o n debe ser par.
• La hipotenusa c (que siempre es impar) es la suma de dos cuadrados. Esto requiere que todos sus factores primos sean primos de la forma 4 n + 1 . ^[16] Por lo tanto, c es de la forma 4 n + 1 . Se puede encontrar una secuencia de posibles números de hipotenusa para una terna pitagórica primitiva en (secuencia A008846 en la OEIS ).
• El área ( K = ab /2) es un número congruente ^[17] divisible por 6.
• En todo triángulo pitagórico, el radio de la circunferencia circundante y los radios de las tres circunferencias excirculares son números enteros positivos. Específicamente, para un triple primitivo, el radio del círculo interior es r = n ( m − n ) , y los radios de los círculos excirculares opuestos a los lados m ² − n ² , 2mn y la hipotenusa m ² + n ² son respectivamente m ( metro - norte ) , norte ( metro + norte ) y metro ( metro + norte ) . ^[18]
• Como para cualquier triángulo rectángulo, lo inverso del teorema de Tales dice que el diámetro del círculo circunstante es igual a la hipotenusa; por lo tanto, para los triples primitivos, el circundiámetro es m ² + n ² , y el circunradio es la mitad de este y, por lo tanto, es racional pero no entero (ya que m y n tienen paridad opuesta).
• Cuando el área de un triángulo pitagórico se multiplica por las curvaturas de su círculo interior y 3 círculos exteriores, el resultado son cuatro enteros positivos w > x > y > z , respectivamente. Los enteros − w , x , y , z satisfacen la ecuación circular de Descartes . ^[19] De manera equivalente, el radio del círculo exterior de Soddy de cualquier triángulo rectángulo es igual a su semiperímetro. El centro exterior de Soddy está ubicado en D , donde ACBD es un rectángulo, ACB el triángulo rectángulo y AB su hipotenusa. ^{[19] : pág. 6}
• Sólo dos lados de un triple pitagórico primitivo pueden ser simultáneamente primos porque, según la fórmula de Euclides para generar un triple pitagórico primitivo, uno de los catetos debe ser compuesto y par. ^[20] Sin embargo, solo un lado puede ser un número entero de potencia perfecta porque si dos lados fueran números enteros de potencias perfectas con igual exponente contradiría el hecho de que no hay soluciones enteras para la ecuación diofántica , con y siendo coprimos por pares. ^[21] ${\displaystyle p\geq 2}$ ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle x^{2p}\pm y^{2p}=z^{2}}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle y}$ ${\displaystyle z}$
• No existen triángulos pitagóricos en los que la hipotenusa y un cateto sean catetos de otro triángulo pitagórico; esta es una de las formas equivalentes del teorema del triángulo rectángulo de Fermat . ^{[12] : pág. 14}
• Cada triángulo pitagórico primitivo tiene una relación entre el área, K y el semiperímetro cuadrado , s , que es única para sí mismo y está dada por ^[22]

${\displaystyle {\frac {K}{s^{2}}}={\frac {n(m-n)}{m(m+n)}}=1-{\frac {c}{s}}.}$

• Ningún triángulo pitagórico primitivo tiene una altitud entera desde la hipotenusa; es decir, todo triángulo pitagórico primitivo es indescomponible. ^[23]
• El conjunto de todas las ternas pitagóricas primitivas forma un árbol ternario enraizado de forma natural; véase Árbol de las ternas pitagóricas primitivas .
• Ninguno de los ángulos agudos de un triángulo pitagórico puede ser un número racional de grados . ^[24] (Esto se deriva del teorema de Niven ).

Casos especiales

Además, se puede garantizar la existencia de ternas pitagóricas especiales con ciertas propiedades adicionales:

• Todo número entero mayor que 2 que no sea congruente con 2 mod 4 (en otras palabras, todo número entero mayor que 2 que no sea de la forma 4k + 2 ) es parte de una terna pitagórica primitiva. (Si el número entero tiene la forma 4 k , se puede tomar n = 1 y m = 2 k en la fórmula de Euclides; si el número entero es 2 k + 1 , se puede tomar n = k y m = k + 1 ).
• Todo número entero mayor que 2 forma parte de una terna pitagórica primitiva o no primitiva. Por ejemplo, los números enteros 6, 10, 14 y 18 no forman parte de las ternas primitivas, pero sí de las ternas no primitivas (6, 8, 10) , (14, 48, 50) y (18, 80, 82) .
• Existen infinitas ternas pitagóricas en las que la hipotenusa y el cateto más largo difieren exactamente en uno. Tales tripletas son necesariamente primitivas y tienen la forma (2 n + 1, 2 n ² + 2 n , 2 n ² + 2 n +1) . Esto resulta de la fórmula de Euclides al señalar que la condición implica que el triple es primitivo y debe verificar ( m ² + n ² ) - 2 mn = 1 . Esto implica ( m – n ) ² = 1 , y por tanto m = n + 1 . La forma anterior de los triples resulta así de sustituir m por n + 1 en la fórmula de Euclides.
• Existen infinitas ternas pitagóricas primitivas en las que la hipotenusa y el cateto más largo difieren exactamente en dos. Todos son primitivos y se obtienen poniendo n = 1 en la fórmula de Euclides. De manera más general, para cada número entero k > 0 , existen infinitas ternas pitagóricas primitivas en las que la hipotenusa y el cateto impar difieren en 2 k ² . Se obtienen poniendo n = k en la fórmula de Euclides.
• Existen infinitas ternas pitagóricas en las que los dos catetos se diferencian exactamente en uno. Por ejemplo, 20 ² + 21 ² = 29 ² ; estos son generados por la fórmula de Euclides cuando es convergente a . ${\displaystyle {\tfrac {m-n}{n}}}$ ${\displaystyle {\sqrt {2}}}$
• Para cada entero positivo k , existen k ternas pitagóricas con diferentes hipotenusas y la misma área.
• Para cada entero positivo k , existen al menos k ternas pitagóricas primitivas diferentes con el mismo cateto a , donde a es algún entero positivo (la longitud del cateto par es 2 mn , y basta con elegir a con muchas factorizaciones, por ejemplo a = 4 b , donde b es un producto de k números primos impares diferentes; esto produce al menos 2 ^k ternas primitivas diferentes). ^{[8] : 30}
• Para cada entero positivo k , existen al menos k ternas pitagóricas diferentes con la misma hipotenusa. ^{[8] : 31}
• Si c = p ^e es una potencia prima , existe una triple pitagórica primitiva a ² + b ² = c ² si y sólo si el primo p tiene la forma 4 n + 1 ; este triple es único hasta el intercambio de a y b .
• De manera más general, un entero positivo c es la hipotenusa de un triple pitagórico primitivo si y sólo si cada factor primo de c es congruente con 1 módulo 4 ; es decir, cada factor primo tiene la forma 4 n + 1 . En este caso, el número de ternas pitagóricas primitivas ( a , b , c ) con a < b es 2 ^{k −1} , donde k es el número de factores primos distintos de c . ^[25]
• Existen infinitas ternas pitagóricas con números cuadrados tanto para la hipotenusa c como para la suma de los catetos a + b . Según Fermat, el triple más pequeño ^[26] tiene lados a = 4.565.486.027.761 ; b = 1.061.652.293.520 ; y c = 4.687.298.610.289 . Aquí a + b = 2.372.159 2 ^yc = 2.165.017 ² . Esto se genera mediante la fórmula de Euclides con valores de parámetros m = 2.150.905 y n = 246.792 .
• Existen triángulos pitagóricos no primitivos con altura entera desde la hipotenusa . ^{[27] [28]} Estos triángulos pitagóricos se conocen como descomponibles ya que se pueden dividir a lo largo de esta altitud en dos triángulos pitagóricos separados y más pequeños. ^[23]

Geometría de la fórmula de Euclides.

Puntos racionales en un círculo unitario

3,4,5 se asigna al punto x,y (4/5,3/5) en el círculo unitario

Los puntos racionales de una circunferencia corresponden, bajo proyección estereográfica , a los puntos racionales de la recta.

La fórmula de Euclides para una terna pitagórica

${\displaystyle a=m^{2}-n^{2},\quad b=2mn,\quad c=m^{2}+n^{2}}$

puede entenderse en términos de la geometría de puntos racionales en el círculo unitario (Trautman 1998).

De hecho, un punto en el plano cartesiano con coordenadas ( x , y ) pertenece al círculo unitario si x ² + y ² = 1 . El punto es racional si x e y son números racionales , es decir, si hay enteros coprimos a , b , c tales que

${\displaystyle {\biggl (}{\frac {a}{c}}{\biggr )}^{2}+{\biggl (}{\frac {b}{c}}{\biggr )}^{2}=1.}$

Multiplicando ambos miembros por c ² , se puede ver que los puntos racionales del círculo están en correspondencia uno a uno con las ternas pitagóricas primitivas.

El círculo unitario también puede definirse mediante una ecuación paramétrica.

${\displaystyle x={\frac {1-t^{2}}{1+t^{2}}}\quad y={\frac {2t}{1+t^{2}}}.}$

La fórmula de Euclides para las ternas pitagóricas y la relación inversa t = y / ( x + 1) significan que, excepto (−1, 0) , un punto ( x , y ) en el círculo es racional si y sólo si el valor correspondiente de t es un número racional. Tenga en cuenta que t = y / ( x + 1) = b / ( a + c ) = n / m también es la tangente de la mitad del ángulo opuesto al lado del triángulo de longitud b .

Enfoque estereográfico

Proyección estereográfica del círculo unitario sobre el eje x . Dado un punto P en el círculo unitario, traza una línea desde P hasta el punto N = (0, 1) (el polo norte ). El punto P ′ donde la línea cruza el eje x es la proyección estereográfica de P . Inversamente, comenzando con un punto P ′ en el eje x y trazando una línea de P ′ a N , la proyección estereográfica inversa es el punto P donde la línea intersecta el círculo unitario.

Existe una correspondencia entre puntos del círculo unitario con coordenadas racionales y ternas pitagóricas primitivas. En este punto, las fórmulas de Euclides se pueden derivar mediante métodos de trigonometría o de manera equivalente utilizando la proyección estereográfica .

Para el enfoque estereográfico, supongamos que P ′ es un punto en el eje x con coordenadas racionales

${\displaystyle P'=\left({\frac {m}{n}},0\right).}$

Entonces, se puede demostrar mediante álgebra básica que el punto P tiene coordenadas

${\displaystyle P=\left({\frac {2\left({\frac {m}{n}}\right)}{\left({\frac {m}{n}}\right)^{2}+1}},{\frac {\left({\frac {m}{n}}\right)^{2}-1}{\left({\frac {m}{n}}\right)^{2}+1}}\right)=\left({\frac {2mn}{m^{2}+n^{2}}},{\frac {m^{2}-n^{2}}{m^{2}+n^{2}}}\right).}$

Esto establece que cada punto racional del eje x pasa a un punto racional del círculo unitario. Lo contrario, que cada punto racional del círculo unitario proviene de dicho punto del eje x , se obtiene aplicando la proyección estereográfica inversa. Supongamos que P ( x , y ) es un punto del círculo unitario con x e y números racionales. Entonces el punto P ′ obtenido por proyección estereográfica sobre el eje x tiene coordenadas

${\displaystyle \left({\frac {x}{1-y}},0\right)}$

lo cual es racional.

En términos de geometría algebraica , la variedad algebraica de puntos racionales en el círculo unitario es biracional a la recta afín sobre los números racionales. Por tanto, el círculo unitario se denomina curva racional , y es este hecho el que permite una parametrización explícita de los puntos (de números racionales) en él mediante funciones racionales.

Triángulos pitagóricos en una red 2D

Una red 2D es una matriz regular de puntos aislados donde, si se elige un punto como origen cartesiano (0, 0), todos los demás puntos están en ( x , y ) , donde x e y abarcan todos los números enteros positivos y negativos. . Cualquier triángulo pitagórico con triple ( a , b , c ) se puede dibujar dentro de una red 2D con vértices en las coordenadas (0, 0) , ( a , 0) y (0, b ) . El recuento de puntos de la red que se encuentran estrictamente dentro de los límites del triángulo está dado por   ^[29] para los triples pitagóricos primitivos, este recuento de la red interior es   el área (según el teorema de Pick es igual a uno menos que el recuento de la red interior más la mitad del recuento de la red límite) es igual a    . ${\displaystyle {\tfrac {(a-1)(b-1)-\gcd {(a,b)}+1}{2}};}$ ${\displaystyle {\tfrac {(a-1)(b-1)}{2}}.}$ ${\displaystyle {\tfrac {ab}{2}}}$

La primera aparición de dos ternas pitagóricas primitivas que comparten la misma área ocurre con triángulos con lados (20, 21, 29), (12, 35, 37) y área común 210 (secuencia A093536 en la OEIS ). La primera aparición de dos ternas pitagóricas primitivas que comparten el mismo recuento de redes interiores ocurre con (18108, 252685, 253333), (28077, 162964, 165365) y el recuento de redes interiores 2287674594 (secuencia A225760 en la OEIS ). Se han encontrado tres ternas pitagóricas primitivas que comparten la misma área: (4485, 5852, 7373) , (3059, 8580, 9109) , (1380, 19019, 19069) con área 13123110. Hasta el momento, no se ha encontrado ningún conjunto de tres ternas pitagóricas primitivas. Se ha encontrado que comparten el mismo número de celosías interiores.

Enumeración de ternas pitagóricas primitivas

Según la fórmula de Euclides, todos los triples pitagóricos primitivos se pueden generar a partir de números enteros y con , impar y . Por lo tanto, hay una correspondencia 1 a 1 de racionales (en términos más bajos) con ternas pitagóricas primitivas donde está en el intervalo y es impar. ${\displaystyle m}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle m>n>0}$ ${\displaystyle m+n}$ ${\displaystyle \gcd(m,n)=1}$ ${\displaystyle {\tfrac {n}{m}}}$ ${\displaystyle (0,1)}$ ${\displaystyle m+n}$

El mapeo inverso de un triple primitivo donde a un racional se logra estudiando las dos sumas y . Una de estas sumas será un cuadrado que se puede equiparar y la otra será el doble de un cuadrado que se puede equiparar . Entonces es posible determinar lo racional . ${\displaystyle (a,b,c)}$ ${\displaystyle c>b>a>0}$ ${\displaystyle {\tfrac {n}{m}}}$ ${\displaystyle a+c}$ ${\displaystyle b+c}$ ${\displaystyle (m+n)^{2}}$ ${\displaystyle 2m^{2}}$ ${\displaystyle {\tfrac {n}{m}}}$

Para enumerar ternas pitagóricas primitivas, el racional se puede expresar como un par ordenado y mapearlo a un número entero usando una función de emparejamiento como la función de emparejamiento de Cantor . Se puede ver un ejemplo en (secuencia A277557 en la OEIS ). Comienza ${\displaystyle (n,m)}$

${\displaystyle 8,18,19,32,33,34,\dots }$y da racionales

${\displaystyle {\tfrac {1}{2}},{\tfrac {2}{3}},{\tfrac {1}{4}},{\tfrac {3}{4}},{\tfrac {2}{5}},{\tfrac {1}{6}},\dots }$estos, a su vez, generan ternas primitivas

${\displaystyle (3,4,5),(5,12,13),(8,15,17),(7,24,25),(20,21,29),(12,35,37),\dots }$

Spinors y el grupo modular.

Las ternas pitagóricas también se pueden codificar en una matriz cuadrada de la forma

${\displaystyle X={\begin{bmatrix}c+b&a\\a&c-b\end{bmatrix}}.}$

Una matriz de esta forma es simétrica . Además, el determinante de X es

${\displaystyle \det X=c^{2}-a^{2}-b^{2}\,}$

que es cero precisamente cuando ( a , b , c ) es una terna pitagórica. Si X corresponde a una terna pitagórica, entonces como matriz debe tener rango 1.

Dado que X es simétrico, de un resultado en álgebra lineal se deduce que existe un vector columna ξ = [ m n ] ^T tal que el producto exterior

se cumple, donde T denota la transposición de la matriz . Dado que ξ y -ξ producen el mismo triple pitagórico, el vector ξ puede considerarse un espinor (para el grupo de Lorentz SO (1, 2)). En términos abstractos, la fórmula de Euclides significa que cada tripleta pitagórica primitiva puede escribirse como el producto externo consigo mismo de un espinor con entradas enteras, como en ( 1 ).

El grupo modular Γ es el conjunto de matrices de 2×2 con entradas enteras

${\displaystyle A={\begin{bmatrix}\alpha &\beta \\\gamma &\delta \end{bmatrix}}}$

con determinante igual a uno: αδ − βγ = 1 . Este conjunto forma un grupo , ya que la inversa de una matriz en Γ está nuevamente en Γ, al igual que el producto de dos matrices en Γ. El grupo modular actúa sobre la colección de todos los espinores enteros. Además, el grupo es transitivo en la colección de espinores enteros con entradas relativamente primos. Porque si [ m n ] ^T tiene entradas relativamente primas, entonces

${\displaystyle {\begin{bmatrix}m&-v\\n&u\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}1\\0\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}m\\n\end{bmatrix}}}$

donde u y v se seleccionan (mediante el algoritmo euclidiano ) de modo que mu + nv = 1 .

Al actuar sobre el espinor ξ en ( 1 ), la acción de Γ pasa a una acción sobre las ternas pitagóricas, siempre que se permitan ternas con componentes posiblemente negativos. Por lo tanto, si A es una matriz en Γ , entonces

da lugar a una acción sobre la matriz X en ( 1 ). Esto no proporciona una acción bien definida sobre tripletas primitivas, ya que puede llevar una tripleta primitiva a una tripleta imprimitiva. Es conveniente en este punto (según Trautman 1998) llamar a un estándar triple ( a , b , c ) si c > 0 y ( a , b , c ) son primos relativos o ( a /2, b /2, c /2) son primos relativos con / 2 impar. Si el espinor [ m n ] ^T tiene entradas relativamente primas, entonces la tripleta asociada ( a , b , c ) determinada por ( 1 ) es una tripleta estándar. De ello se deduce que la acción del grupo modular es transitiva sobre el conjunto de ternas estándar.

Alternativamente, restrinja la atención a aquellos valores de myn para los cuales m es impar y n es par. Sea el subgrupo Γ(2) de Γ el núcleo del homomorfismo de grupo

${\displaystyle \Gamma =\mathrm {SL} (2,\mathbf {Z} )\to \mathrm {SL} (2,\mathbf {Z} _{2})}$

donde SL(2, Z ₂ ) es el grupo lineal especial sobre el campo finito Z ₂ de enteros módulo 2 . Entonces Γ(2) es el grupo de transformaciones unimodulares que preservan la paridad de cada entrada. Por lo tanto, si la primera entrada de ξ es impar y la segunda entrada es par, entonces lo mismo ocurre con A ξ para todo A ∈ Γ(2) . De hecho, bajo la acción ( 2 ), el grupo Γ(2) actúa transitivamente sobre la colección de ternas pitagóricas primitivas (Alperin 2005).

El grupo Γ(2) es el grupo libre cuyos generadores son las matrices

${\displaystyle U={\begin{bmatrix}1&2\\0&1\end{bmatrix}},\qquad L={\begin{bmatrix}1&0\\2&1\end{bmatrix}}.}$

En consecuencia, cada tripleta pitagórica primitiva se puede obtener de forma única como producto de copias de las matrices U y  L.

Relaciones entre padres e hijos

Según Berggren (1934), todas las ternas pitagóricas primitivas se pueden generar a partir del triángulo (3, 4, 5) utilizando las tres transformaciones lineales T ₁ , T ₂ , T ₃ siguientes, donde a , b , c son lados. de un triple:

En otras palabras, cada triplete primitivo será "padre" de tres tripletes primitivos adicionales. Partiendo del nodo inicial con a = 3 , b = 4 y c = 5 , la operación T ₁ produce el nuevo triple

(3 − (2×4) + (2×5), (2×3) − 4 + (2×5), (2×3) − (2×4) + (3×5)) = (5 , 12, 13),

y de manera similar T ₂ y T ₃ producen los triples (21, 20, 29) y (15, 8, 17).

Las transformaciones lineales T ₁ , T ₂ y T ₃ tienen una interpretación geométrica en el lenguaje de las formas cuadráticas . Están estrechamente relacionados (pero no son iguales) con las reflexiones que generan el grupo ortogonal de x ² + y ² − z ² sobre los números enteros. ^[30]

Relación con los enteros gaussianos

Alternativamente, las fórmulas de Euclides se pueden analizar y demostrar utilizando los enteros gaussianos . ^[31] Los enteros gaussianos son números complejos de la forma α = u + vi , donde u y v son enteros ordinarios e i es la raíz cuadrada de menos uno . Las unidades de los enteros gaussianos son ±1 y ±i. Los números enteros ordinarios se denominan enteros racionales y se denotan como ' Z '. Los enteros gaussianos se denotan como Z [ i ] . El lado derecho del teorema de Pitágoras se puede factorizar en números enteros gaussianos:

${\displaystyle c^{2}=a^{2}+b^{2}=(a+bi){\overline {(a+bi)}}=(a+bi)(a-bi).}$

Una terna pitagórica primitiva es aquella en la que a y b son coprimos , es decir, no comparten factores primos en los números enteros. Para tal triple, aob es par y el otro es impar ; de esto se sigue que c también es impar.

Los dos factores z  := a + bi y z*  := a − bi de una terna pitagórica primitiva son iguales al cuadrado de un entero gaussiano. Esto se puede demostrar utilizando la propiedad de que cada número entero gaussiano se puede factorizar de forma única en números primos gaussianos hasta unidades . ^[32] (Esta factorización única se deriva del hecho de que, en términos generales, se puede definir una versión del algoritmo euclidiano ). La demostración tiene tres pasos. Primero, si a y b no comparten factores primos en los números enteros, entonces tampoco comparten factores primos en los números enteros gaussianos. (Supongamos que a = gu y b = gv con enteros gaussianos g , u y v y g no son una unidad. Entonces u y v se encuentran en la misma línea que pasa por el origen. Todos los enteros gaussianos en dicha línea son múltiplos enteros de algún número entero gaussiano h . Pero entonces el número entero gh ≠ ±1 divide a y b .) En segundo lugar, se deduce que z y z* tampoco comparten factores primos en los enteros gaussianos. Porque si lo hicieran, entonces su divisor común δ también dividiría z + z* = 2 a y z − z* = 2 ib . Dado que a y b son coprimos, eso implica que δ divide  2 = (1 + i)(1 − i) = i(1 − i) ² . De la fórmula c ² = zz* , eso a su vez implicaría que c es par, contrariamente a la hipótesis de un triple pitagórico primitivo. En tercer lugar, como c ² es un cuadrado, cada primo gaussiano en su factorización se duplica, es decir, aparece un número par de veces. Dado que z y z* no comparten factores primos, esta duplicación también es válida para ellos. Por tanto, z y z* son cuadrados.

Por tanto, el primer factor se puede escribir

${\displaystyle a+bi=\varepsilon \left(m+ni\right)^{2},\quad \varepsilon \in \{\pm 1,\pm i\}.}$

Las partes real e imaginaria de esta ecuación dan las dos fórmulas:

${\displaystyle {\begin{cases}\varepsilon =+1,&\quad a=+\left(m^{2}-n^{2}\right),\quad b=+2mn;\\\varepsilon =-1,&\quad a=-\left(m^{2}-n^{2}\right),\quad b=-2mn;\\\varepsilon =+i,&\quad a=-2mn,\quad b=+\left(m^{2}-n^{2}\right);\\\varepsilon =-i,&\quad a=+2mn,\quad b=-\left(m^{2}-n^{2}\right).\end{cases}}}$

Para cualquier tripleta pitagórica primitiva, debe haber números enteros myn tales que se satisfagan estas dos ecuaciones. Por tanto, cada terna pitagórica puede generarse a partir de alguna elección de estos números enteros.

Como enteros gaussianos cuadrados perfectos

Si consideramos el cuadrado de un entero gaussiano obtenemos la siguiente interpretación directa de la fórmula de Euclides como representación del cuadrado perfecto de un entero gaussiano.

${\displaystyle (m+ni)^{2}=(m^{2}-n^{2})+2mni.}$

Utilizando el hecho de que los enteros gaussianos son un dominio euclidiano y que para un entero gaussiano p es siempre un cuadrado, es posible demostrar que una terna pitagórica corresponde al cuadrado de un entero gaussiano primo si la hipotenusa es prima. ${\displaystyle |p|^{2}}$

Si el entero gaussiano no es primo, entonces es el producto de dos enteros gaussianos p y q con números enteros y . Dado que las magnitudes se multiplican en los números enteros gaussianos, el producto debe ser , que cuando se eleva al cuadrado para encontrar una terna pitagórica debe ser compuesto. El contrapositivo completa la prueba. ${\displaystyle |p|^{2}}$ ${\displaystyle |q|^{2}}$ ${\displaystyle |p||q|}$

Distribución de triples

Un diagrama de dispersión de los catetos ( a , b ) de las primeras ternas pitagóricas con a y b menores que 4500.

Hay varios resultados sobre la distribución de las ternas pitagóricas. En el diagrama de dispersión ya son evidentes una serie de patrones obvios. Siempre que los catetos ( a , b ) de una tripleta primitiva aparecen en el gráfico, todos los múltiplos enteros de ( a , b ) también deben aparecer en el gráfico, y esta propiedad produce la apariencia de líneas que irradian desde el origen en el diagrama.

Dentro de la dispersión, hay conjuntos de patrones parabólicos con una alta densidad de puntos y todos sus focos en el origen, abriéndose en las cuatro direcciones. Diferentes parábolas se cruzan en los ejes y parecen reflejarse en el eje con un ángulo de incidencia de 45 grados, con una tercera parábola entrando de forma perpendicular. Dentro de este cuadrante, cada arco centrado en el origen muestra esa sección de la parábola que se encuentra entre su punta y su intersección con su recto semi-latus .

Estos patrones se pueden explicar de la siguiente manera. Si es un número entero, entonces ( a , , ) es una terna pitagórica. (De hecho, cada tripleta pitagórica ( a , b , c ) se puede escribir de esta manera con un número entero n , posiblemente después de intercambiar a y b , ya que y a y b no pueden ser ambos impares.) Las ternas pitagóricas, por tanto, se encuentran en curvas dadas por , es decir, parábolas reflejadas en el eje a , y las curvas correspondientes con a y b intercambiadas. Si a se varía para un n dado (es decir, en una parábola dada), los valores enteros de b ocurren con relativa frecuencia si n es un cuadrado o un pequeño múltiplo de un cuadrado. Si varios de estos valores se encuentran muy juntos, las parábolas correspondientes coinciden aproximadamente y las ternas se agrupan en una estrecha franja parabólica. Por ejemplo, 38 ² = 1444 , 2 × 27 ² = 1458 , 3 × 22 ² = 1452 , 5 × 17 ² = 1445 y 10 × 12 ² = 1440 ; la franja parabólica correspondiente alrededor de n ≈ 1450 es claramente visible en el diagrama de dispersión. ${\displaystyle a^{2}/4n}$ ${\displaystyle |n-a^{2}/4n|}$ ${\displaystyle n+a^{2}/4n}$ ${\displaystyle n=(b+c)/2}$ ${\displaystyle b=|n-a^{2}/4n|}$

Las propiedades angulares descritas anteriormente se derivan inmediatamente de la forma funcional de las parábolas. Las parábolas se reflejan en el eje a en a = 2 n , y la derivada de b con respecto a a en este punto es –1; por tanto, el ángulo de incidencia es de 45°. Dado que los grupos, como todos los triples, se repiten en múltiplos enteros, el valor 2 n también corresponde a un grupo. La parábola correspondiente corta el eje b en ángulo recto en b = 2 n , y por lo tanto su reflexión al intercambiar a y b corta el eje a en ángulo recto en a = 2 n , precisamente donde la parábola para n se refleja en el eje a . (Por supuesto, lo mismo es cierto para a y b intercambiados.)

Albert Fässler y otros aportan información sobre la importancia de estas parábolas en el contexto de las asignaciones conformes. ^{[33] [34]}

Casos especiales y ecuaciones relacionadas.

La secuencia platónica

El caso n = 1 de la construcción más general de las ternas pitagóricas se conoce desde hace mucho tiempo. Proclo , en su comentario a la Proposición 47 del primer libro de los Elementos de Euclides , la describe de la siguiente manera:

Se transmiten ciertos métodos para el descubrimiento de triángulos de este tipo, uno que remite a Platón, y otro a Pitágoras . (Este último) parte de números impares. Porque hace que el número impar sea el menor de los lados del ángulo recto; luego se le toma el cuadrado, se le resta la unidad y se hace la mitad de la diferencia del mayor de los lados respecto del ángulo recto; por último, le añade unidad y forma el lado restante, la hipotenusa.
...Porque el método de Platón argumenta a partir de números pares. Toma el número par dado y lo convierte en uno de los lados del ángulo recto; luego, biseccionando este número y elevando la mitad al cuadrado, suma la unidad al cuadrado para formar la hipotenusa y resta la unidad del cuadrado para formar el otro lado alrededor del ángulo recto. ... Así se ha formado el mismo triángulo que se obtuvo por el otro método.

En forma de ecuación, esto se convierte en:

a es impar (Pitágoras, c. 540 a. C.):

${\displaystyle {\text{side }}a:{\text{side }}b={a^{2}-1 \over 2}:{\text{side }}c={a^{2}+1 \over 2}.}$

a es par (Platón, c. 380 a. C.):

${\displaystyle {\text{side }}a:{\text{side }}b=\left({a \over 2}\right)^{2}-1:{\text{side }}c=\left({a \over 2}\right)^{2}+1}$

Se puede demostrar que todas las ternas pitagóricas se pueden obtener, con un cambio de escala apropiado, a partir de la secuencia platónica básica ( a , ( a ² − 1)/2 y ( a ² + 1)/2 ) permitiendo que a tome números no enteros valores racionales. Si a se reemplaza con la fracción m / n en la secuencia, el resultado es igual al triple generador 'estándar' (2 mn , m ² − n ² , m ² + n ² ) después del cambio de escala. De ello se deduce que cada triplete tiene un valor racional correspondiente a que puede usarse para generar un triángulo similar (uno con los mismos tres ángulos y con lados en las mismas proporciones que el original). Por ejemplo, el equivalente platónico de (56, 33, 65) se genera por a = m / n = 7/4 como ( a , ( a ² –1)/2, ( a ² +1)/2) = ( 56/32, 33/32, 65/32) . La secuencia platónica en sí se puede derivar ^{[ se necesita aclaración ]} siguiendo los pasos para "dividir el cuadrado" descritos en Diofanto II.VIII .

La ecuación de Jacobi-Madden

La ecuacion,

${\displaystyle a^{4}+b^{4}+c^{4}+d^{4}=(a+b+c+d)^{4}}$

es equivalente a la terna pitagórica especial,

${\displaystyle (a^{2}+ab+b^{2})^{2}+(c^{2}+cd+d^{2})^{2}=((a+b)^{2}+(a+b)(c+d)+(c+d)^{2})^{2}}$

Hay un número infinito de soluciones para esta ecuación, ya que resolver las variables implica una curva elíptica . Los pequeños son,

${\displaystyle a,b,c,d=-2634,955,1770,5400}$

${\displaystyle a,b,c,d=-31764,7590,27385,48150}$

Sumas iguales de dos cuadrados

Una forma de generar soluciones es parametrizar a, b, c, d en términos de números enteros m, n, p, q de la siguiente manera: ^[35] ${\displaystyle a^{2}+b^{2}=c^{2}+d^{2}}$

${\displaystyle (m^{2}+n^{2})(p^{2}+q^{2})=(mp-nq)^{2}+(np+mq)^{2}=(mp+nq)^{2}+(np-mq)^{2}.}$

Sumas iguales de dos cuartas potencias

Dados dos conjuntos de ternas pitagóricas,

${\displaystyle (a^{2}-b^{2})^{2}+(2ab)^{2}=(a^{2}+b^{2})^{2}}$

${\displaystyle (c^{2}-d^{2})^{2}+(2cd)^{2}=(c^{2}+d^{2})^{2}}$

el problema de encontrar productos iguales de un lado no hipotenusa y la hipotenusa,

${\displaystyle (a^{2}-b^{2})(a^{2}+b^{2})=(c^{2}-d^{2})(c^{2}+d^{2})}$

Se ve fácilmente que es equivalente a la ecuación,

${\displaystyle a^{4}-b^{4}=c^{4}-d^{4}}$

y fue resuelto por primera vez por Euler como . Como demostró que este es un punto racional en una curva elíptica , entonces hay un número infinito de soluciones. De hecho, también encontró una parametrización polinómica de séptimo grado. ${\displaystyle a,b,c,d=133,59,158,134}$

Teorema del círculo de Descartes

Para el caso del teorema del círculo de Descartes donde todas las variables son cuadrados,

${\displaystyle 2(a^{4}+b^{4}+c^{4}+d^{4})=(a^{2}+b^{2}+c^{2}+d^{2})^{2}}$

Euler demostró que esto equivale a tres ternas pitagóricas simultáneas,

${\displaystyle (2ab)^{2}+(2cd)^{2}=(a^{2}+b^{2}-c^{2}-d^{2})^{2}}$

${\displaystyle (2ac)^{2}+(2bd)^{2}=(a^{2}-b^{2}+c^{2}-d^{2})^{2}}$

${\displaystyle (2ad)^{2}+(2bc)^{2}=(a^{2}-b^{2}-c^{2}+d^{2})^{2}}$

También hay un número infinito de soluciones, y para el caso especial cuando , entonces la ecuación se simplifica a, ${\displaystyle a+b=c}$

${\displaystyle 4(a^{2}+ab+b^{2})=d^{2}}$

con soluciones pequeñas como y se pueden resolver como formas cuadráticas binarias . ${\displaystyle a,b,c,d=3,5,8,14}$

Triples pitagóricos casi isósceles

Ninguna terna pitagórica es isósceles , porque la razón de la hipotenusa a cualquier otro lado es √ 2 , pero √ 2 no se puede expresar como la razón de 2 números enteros .

Sin embargo, hay triángulos rectángulos con lados enteros para los cuales las longitudes de los lados no hipotenusa difieren en uno, como por ejemplo,

${\displaystyle 3^{2}+4^{2}=5^{2}}$

${\displaystyle 20^{2}+21^{2}=29^{2}}$

y una infinidad de otros. Se pueden parametrizar completamente como,

${\displaystyle \left({\tfrac {x-1}{2}}\right)^{2}+\left({\tfrac {x+1}{2}}\right)^{2}=y^{2}}$

donde { x, y } son las soluciones de la ecuación de Pell . ${\displaystyle x^{2}-2y^{2}=-1}$

Si a , b , c son los lados de este tipo de triple pitagórico primitivo, entonces la solución a la ecuación de Pell viene dada por la fórmula recursiva

${\displaystyle a_{n}=6a_{n-1}-a_{n-2}+2}$con y ${\displaystyle a_{1}=3}$ ${\displaystyle a_{2}=20}$

${\displaystyle b_{n}=6b_{n-1}-b_{n-2}-2}$con y ${\displaystyle b_{1}=4}$ ${\displaystyle b_{2}=21}$

${\displaystyle c_{n}=6c_{n-1}-c_{n-2}}$con y . ^[36] ${\displaystyle c_{1}=5}$ ${\displaystyle c_{2}=29}$

Esta secuencia de ternas pitagóricas primitivas forma el tallo central (tronco) del árbol ternario enraizado de las ternas pitagóricas primitivas.

Cuando es el lado más largo no hipotenusa y la hipotenusa los que difieren en uno, como en

${\displaystyle 5^{2}+12^{2}=13^{2}}$

${\displaystyle 7^{2}+24^{2}=25^{2}}$

entonces la solución completa para la primitiva triple pitagórica a , b , c es

${\displaystyle a=2m+1,\quad b=2m^{2}+2m,\quad c=2m^{2}+2m+1}$

y

${\displaystyle (2m+1)^{2}+(2m^{2}+2m)^{2}=(2m^{2}+2m+1)^{2}}$

donde el número entero es el parámetro generador. ${\displaystyle m>0}$

Muestra que todos los números impares (mayores que 1) aparecen en este tipo de triple pitagórico primitivo casi isósceles. Esta secuencia de ternas pitagóricas primitivas forma el tallo exterior del lado derecho del árbol ternario enraizado de ternas pitagóricas primitivas.

Otra propiedad de este tipo de triple pitagórica primitiva casi isósceles es que los lados están relacionados de tal manera que

${\displaystyle a^{b}+b^{a}=Kc}$

para algún número entero . O en otras palabras, es divisible por tal como en ${\displaystyle K}$ ${\displaystyle a^{b}+b^{a}}$ ${\displaystyle c}$

${\displaystyle (5^{12}+12^{5})/13=18799189}$. ^[37]

Números de Fibonacci en ternas pitagóricas

Comenzando con 5, cada segundo número de Fibonacci es la longitud de la hipotenusa de un triángulo rectángulo con lados enteros, o en otras palabras, el número más grande en un triple pitagórico, obtenido a partir de la fórmula La secuencia de triángulos pitagóricos obtenida a partir de esta fórmula tiene lados de longitudes $${\displaystyle (F_{n}F_{n+3})^{2}+(2F_{n+1}F_{n+2})^{2}=F_{2n+3}^{2}.}$$

(3,4,5), (5,12,13), (16,30,34), (39,80,89), ...

El lado medio de cada uno de estos triángulos es la suma de los tres lados del triángulo anterior. ^[38]

Generalizaciones

Hay varias formas de generalizar el concepto de ternas pitagóricas.

pitagóriconorte-tupla

La expresion

${\displaystyle \left(m_{1}^{2}-m_{2}^{2}-\ldots -m_{n}^{2}\right)^{2}+\sum _{k=2}^{n}(2m_{1}m_{k})^{2}=\left(m_{1}^{2}+\ldots +m_{n}^{2}\right)^{2}}$

es una n -tupla pitagórica para cualquier tupla de enteros positivos ( m ₁ , ..., m _n ) con m²
₁> m²
₂+ ... + m²
_norte. La n -tupla pitagórica se puede hacer primitiva dividiéndola por el máximo común divisor de sus valores.

Además, cualquier n -tupla a pitagórica primitiva²
₁+ ... + un²
_norte= c ² se puede encontrar mediante este método. Utilice ( m ₁ , ..., m _n ) = ( c + a ₁ , a ₂ , ..., an ₎ para obtener una n -tupla pitagórica mediante la fórmula anterior y divídala por el mayor divisor entero común, que es 2 m ₁ = 2 ( c + a ₁ ) . Al dividir por el máximo común divisor de estos valores ( m ₁ , ..., m _n ) se obtiene la misma n -tupla pitagórica primitiva ; y existe una correspondencia uno a uno entre tuplas de enteros positivos coprimos establecidos ( m ₁ , ..., m _n ) que satisfacen m²
₁> m²
₂+ ... + m²
_nortey primitivas pitagóricas n -tuplas.

Ejemplos de la relación entre valores coprimos establecidos y n -tuplas pitagóricas primitivas incluyen: ^[39] ${\displaystyle {\vec {m}}}$

${\displaystyle {\begin{aligned}{\vec {m}}=(1)&\leftrightarrow 1^{2}=1^{2}\\{\vec {m}}=(2,1)&\leftrightarrow 3^{2}+4^{2}=5^{2}\\{\vec {m}}=(2,1,1)&\leftrightarrow 1^{2}+2^{2}+2^{2}=3^{2}\\{\vec {m}}=(3,1,1,1)&\leftrightarrow 1^{2}+1^{2}+1^{2}+1^{2}=2^{2}\\{\vec {m}}=(5,1,1,2,3)&\leftrightarrow 1^{2}+1^{2}+1^{2}+2^{2}+3^{2}=4^{2}\\{\vec {m}}=(4,1,1,1,1,2)&\leftrightarrow 1^{2}+1^{2}+1^{2}+1^{2}+1^{2}+2^{2}=3^{2}\\{\vec {m}}=(5,1,1,1,2,2,2)&\leftrightarrow 1^{2}+1^{2}+1^{2}+1^{2}+2^{2}+2^{2}+2^{2}=4^{2}\end{aligned}}}$

Cuadrados consecutivos

Dado que la suma F ( k , m ) de k cuadrados consecutivos que comienzan con m ² viene dada por la fórmula, ^[40]

${\displaystyle F(k,m)=km(k-1+m)+{\frac {k(k-1)(2k-1)}{6}}}$

se pueden encontrar valores ( k , m ) para que F ( k , m ) sea un cuadrado, como el de Hirschhorn donde el número de términos es en sí mismo un cuadrado, ^[41]

${\displaystyle m={\tfrac {v^{4}-24v^{2}-25}{48}},\;k=v^{2},\;F(m,k)={\tfrac {v^{5}+47v}{48}}}$

y v ≥ 5 es cualquier número entero no divisible por 2 o 3. Para el caso más pequeño v = 5 , por lo tanto k = 25 , esto produce el conocido problema de apilamiento de balas de cañón de Lucas ,

${\displaystyle 0^{2}+1^{2}+2^{2}+\dots +24^{2}=70^{2}}$

un hecho que está relacionado con la red Leech .

Además, si en una n -tupla pitagórica ( n ≥ 4 ) todos los sumandos son consecutivos excepto uno, se puede usar la ecuación, ^[42]

${\displaystyle F(k,m)+p^{2}=(p+1)^{2}}$

Dado que la segunda potencia de p se cancela, esto es solo lineal y se resuelve fácilmente, como si k , m debiera elegirse de modo que p sea un número entero, con un pequeño ejemplo de k = 5 , m = 1 , lo que da como resultado, ${\displaystyle p={\tfrac {F(k,m)-1}{2}}}$

${\displaystyle 1^{2}+2^{2}+3^{2}+4^{2}+5^{2}+27^{2}=28^{2}}$

Por tanto, una forma de generar n -tuplas pitagóricas es utilizar, para varias x , ^[43]

${\displaystyle x^{2}+(x+1)^{2}+\cdots +(x+q)^{2}+p^{2}=(p+1)^{2},}$

donde q = n –2 y donde

${\displaystyle p={\frac {(q+1)x^{2}+q(q+1)x+{\frac {q(q+1)(2q+1)}{6}}-1}{2}}.}$

El último teorema de Fermat

Una generalización del concepto de ternas pitagóricas es la búsqueda de ternas de números enteros positivos a , b y c , tales que a ⁿ + b ⁿ = c ⁿ , para algunos n estrictamente mayores que 2. Pierre de Fermat en 1637 afirmó que no ese triple existe, afirmación que llegó a conocerse como el último teorema de Fermat porque tardó más que cualquier otra conjetura de Fermat en ser demostrada o refutada. La primera prueba la dio Andrew Wiles en 1994.

norte - 1onorte nortepotencias sumadas a unnorteel poder

Otra generalización es buscar secuencias de n + 1 enteros positivos para las cuales la n -ésima potencia del último es la suma de las n -ésima potencia de los términos anteriores. Las secuencias más pequeñas para valores conocidos de n son:

• norte = 3: {3, 4, 5; 6}.
• norte = 4: {30, 120, 272, 315; 353}
• norte = 5: {19, 43, 46, 47, 67; 72}
• norte = 7: {127, 258, 266, 413, 430, 439, 525; 568}
• norte = 8: {90, 223, 478, 524, 748, 1088, 1190, 1324; 1409}

Para el caso n = 3 , en el que se llama cúbica de Fermat , existe una fórmula general que da todas las soluciones. ${\displaystyle x^{3}+y^{3}+z^{3}=w^{3},}$

Una generalización ligeramente diferente permite que la suma de ( k + 1) n -ésimas potencias sea igual a la suma de ( n − k ) n- ésimas potencias. Por ejemplo:

• ( n = 3 ): 1 ³ + 12 ³ = 9 ³ + 10 ³ , que se hizo famoso por el recuerdo de Hardy de una conversación con Ramanujan acerca de que el número 1729 es el número más pequeño que se puede expresar como una suma de dos cubos de dos maneras distintas. .

También pueden existir n − 1 enteros positivos cuyas n- ésimas potencias suman una n- ésima potencia (aunque, según el último teorema de Fermat , no para n = 3) ; estos son contraejemplos de la conjetura de la suma de potencias de Euler . Los contraejemplos más pequeños conocidos son ^{[44] [45] [15]}

• norte = 4 : (95800, 217519, 414560; 422481)
• norte = 5 : (27, 84, 110, 133; 144)

El triángulo heroniano se triplica

Un triángulo heroniano se define comúnmente como uno con lados enteros cuya área también es un número entero. Las longitudes de los lados de tal triángulo forman un triple heroniano ( a, b, c ) para a ≤ b ≤ c . Cada terna pitagórica es una terna heroniana, porque al menos uno de los catetos a , b debe ser par en una terna pitagórica, por lo que el área ab /2 es un número entero. Sin embargo, no todas las ternas heronianas son ternas pitagóricas, como muestra el ejemplo (4, 13, 15) con área 24.

Si ( a , b , c ) es un triple heroniano, también lo es ( ka , kb , kc ) donde k es cualquier entero positivo; su área será el número entero que es k ² veces el área entera del triángulo ( a , b , c ) . El triple heroniano ( a , b , c ) es primitivo siempre que a , b , c sean coprimos establecidos . (Con los triples pitagóricos primitivos también se aplica la afirmación más fuerte de que son coprimos por pares , pero con los triángulos primitivos de Heron la afirmación más fuerte no siempre es cierta, como ocurre con (7, 15, 20) .) A continuación se muestran algunos de los primitivos más simples. Ternas heronianas que no son ternas pitagóricas:

(4, 13, 15) con área 24

(3, 25, 26) con área 36

(7, 15, 20) con área 42

(6, 25, 29) con área 60

(11, 13, 20) con área 66

(13, 14, 15) con área 84

(13, 20, 21) con área 126

Según la fórmula de Heron , la condición adicional para que un triple de enteros positivos ( a , b , c ) con a < b < c sea heroniano es que

( un ² + segundo ² + c ² ) ² − 2( un ⁴ + segundo ⁴ + c ⁴ )

o equivalente

2( a ² b ² + a ² c ² + b ² c ² ) − ( a ⁴ + b ⁴ + c ⁴ )

ser un cuadrado perfecto distinto de cero divisible por 16.

Aplicación a la criptografía

Las ternas pitagóricas primitivas se han utilizado en criptografía como secuencias aleatorias y para la generación de claves. ^[46]

Ver también

• Problema booleano de triples pitagóricos
• triángulo de brahmagupta
• congruo
• Diofanto II.VIII
• triple de eisenstein
• Ladrillo Euler
• triángulo heroniano
• Teorema de Hilbert 90
• triangulo entero
• Aritmética modular
• número sin hipotenusa
• Plimpton 322
• primo pitagórico
• cuádruple pitagórico
• cuadrico
• Fórmula de medio ángulo tangente
• Identidad trigonométrica

Notas

1. Largo (1972, pág.48)
2. Robson, Eleanor (2002), "Palabras e imágenes: nueva luz sobre Plimpton 322" (PDF) , The American Mathematical Monthly , 109 (2): 105–120, doi :10.1080/00029890.2002.11919845, S2CID  33907668
3. Joyce, DE (junio de 1997), "Libro X, Proposición XXIX", Elementos de Euclides , Universidad de Clark
4. Mitchell, Douglas W. (julio de 2001), "Una caracterización alternativa de todas las ternas pitagóricas primitivas", The Mathematical Gazette , 85 (503): 273–5, doi :10.2307/3622017, JSTOR  3622017, S2CID  126059099
5. Sloane, N. J. A. (ed.), "Secuencia A000129 (números Pell)", La enciclopedia en línea de secuencias enteras , Fundación OEIS
6. Beauregard, Raymond A.; Suryanarayan, ER (2000), "Representación paramétrica de ternas pitagóricas primitivas", en Nelsen, Roger B. (ed.), Pruebas sin palabras: más ejercicios de pensamiento visual , vol. II, Asociación Matemática de América , pág. 120, ISBN 978-0-88385-721-2, OCLC  807785075
7. Maor, Eli , El teorema de Pitágoras , Princeton University Press, 2007: Apéndice B.
8. Sierpiński, Wacław (2003), Triángulos pitagóricos , Dover, págs. iv-vii, ISBN 978-0-486-43278-6
9. Houston, David (1993), "Triples pitagóricas mediante fórmulas de doble ángulo", en Nelsen, Roger B. (ed.), Pruebas sin palabras: ejercicios de pensamiento visual , Asociación Matemática de América, p. 141, ISBN 978-0-88385-700-7, OCLC  29664480
10. Posamentier, Alfred S. (2010), El teorema de Pitágoras: la historia de su poder y belleza, Prometheus Books, p. 156, ISBN 9781616141813.
11. Para la inexistencia de soluciones donde a y b son cuadrados, probada originalmente por Fermat, consulte Koshy, Thomas (2002), Teoría elemental de números con aplicaciones, Academic Press, p. 545, ISBN 9780124211711. Para el otro caso, en el que c es uno de los cuadrados, véase Stillwell, John (1998), Numbers and Geometry, Under Graduate Texts in Mathematics , Springer, p. 133, ISBN 9780387982892.
12. Carmichael, Robert D. (1915), Análisis diofántico, John Wiley & Sons
13. Sierpiński 2003, págs. 4-6
14. Actas de la Conferencia del Sureste sobre Combinatoria, Teoría de Grafos y Computación, Volumen 20, Utilitas Mathematica Pub, 1990, p. 141, ISBN 9780919628700
15. MacHale, Des ; van den Bosch, Christian (marzo de 2012), "Generalización de un resultado sobre ternas pitagóricas", Mathematical Gazette , 96 : 91–96, doi : 10.1017/S0025557200004010 , S2CID  124096076
16. Sally, Judith D. (2007), Las raíces de la investigación: un desarrollo vertical de problemas matemáticos, Sociedad Matemática Estadounidense, págs. 74–75, ISBN 9780821872673.
17. Esto se desprende inmediatamente del hecho de que ab es divisible por doce, junto con la definición de números congruentes como áreas de triángulos rectángulos de lados racionales. Véase, por ejemplo, Koblitz, Neal (1993), Introducción a las curvas elípticas y formas modulares, Graduate Texts in Mathematics, vol. 97, Springer, pág. 3, ISBN 9780387979663.
18. Baragar, Arthur (2001), Un estudio de las geometrías clásicas y modernas: con actividades informáticas , Prentice Hall, ejercicio 15.3, p. 301, ISBN 9780130143181
19. Bernhart, Frank R.; Price, H. Lee (2005), Fórmula de Heron, círculos de Descartes y triángulos pitagóricos , arXiv : math/0701624
20. Sloane, N. J. A. (ed.), "Secuencia A237518 (mínimos primos que junto con el primo (n) forman un triángulo heroniano)", La enciclopedia en línea de secuencias enteras , Fundación OEIS
21. H. Darmon y L. Merel. Cocientes de bobinado y algunas variantes del último teorema de Fermat, J. Reine Angew. Matemáticas. 490 (1997), 81–100.
22. Rosenberg, Steven; Spillane, Michael; Wulf, Daniel B. (mayo de 2008), "Triángulos de Heron y espacios de módulos", Profesor de matemáticas , 101 : 656–663, doi :10.5951/MT.101.9.0656
23. Yiu, Paul (2008), Triángulos de Heron que no se pueden descomponer en dos triángulos rectángulos enteros (PDF) , 41.a reunión de la Sección de Florida de la Asociación Matemática de América, p. 17
24. Weisstein, Eric W. , "Triángulo racional", MathWorld
25. Yekutieli, Amnon (2023), "Triples pitagóricos, números complejos, grupos abelianos y números primos", The American Mathematical Monthly , 130 (4): 321–334, arXiv : 2101.12166 , doi : 10.1080/00029890.2023.2176114, MR  4567419
26. Pickover, Clifford A. (2009), "Teorema de Pitágoras y triángulos", The Math Book, Sterling, p. 40, ISBN 978-1402757969
27. Voles, Roger (julio de 1999), "83.27 Soluciones enteras de ", The Mathematical Gazette , 83 (497): 269–271, doi :10.2307/3619056, JSTOR  3619056, S2CID  123267065 ${\displaystyle a^{-2}+b^{-2}=d^{-2}}$
28. Richinick, Jennifer (julio de 2008), "92.48 El teorema de Pitágoras al revés", The Mathematical Gazette , 92 (524): 313–316, doi :10.1017/s0025557200183275, JSTOR  27821792, S2CID  125989951
29. Yiu, Paul (2003), "Matemáticas recreativas" (PDF) , Notas del curso , Departamento de Ciencias Matemáticas, Florida Atlantic University, cap. 2, pág. 110
30. (Alperín 2005)
31. Stillwell, John (2002), "6.6 Tripletas pitagóricas", Elementos de la teoría de números , Springer, págs. 110-2, ISBN 978-0-387-95587-2
32. Gauss CF (1832), "Theoria residuorum biquadraticorum", Comm. Soc. Reg. Ciencia. Gött. Rec. , 4 .Véase también Werke , 2 :67–148.
33. Preimpresión de 1988 Archivado el 9 de agosto de 2011 en Wayback Machine Consulte la Figura 2 en la página 3, publicado posteriormente como Fässler, Albert (junio-julio de 1991), "Múltiples triples de números pitagóricos", American Mathematical Monthly , 98 (6): 505–517, doi :10.2307/2324870, JSTOR  2324870
34. Benito, Manuel; Varona, Juan L. (junio de 2002), "Triángulos pitagóricos con catetos menores que n ", Journal of Computational and Applied Mathematics , 143 (1): 117–126, Bibcode :2002JCoAM.143..117B, doi : 10.1016/S0377 -0427(01)00496-4como PDF
35. Nahin, Paul J. (1998), Un cuento imaginario: la historia de , Princeton, Nueva Jersey: Princeton University Press, págs. 25-26, ISBN ${\displaystyle {\sqrt {-1}}}$ 0-691-02795-1, señor  1645703
36. Sloane, N. J. A. (ed.), "Sequence A001652", La enciclopedia en línea de secuencias enteras , Fundación OEIS; Sloane, N. J. A. (ed.), "Sequence A001653", La enciclopedia en línea de secuencias enteras , Fundación OEIS
37. Sloane, N. J. A. (ed.), "Sequence A303734", La enciclopedia en línea de secuencias enteras , Fundación OEIS
38. Pagni, David (septiembre de 2001), "Fibonacci se encuentra con Pitágoras", Matemáticas en la escuela , 30 (4): 39–40, JSTOR  30215477
39. Sloane, N. J. A. (ed.), "Sequence A351061 (Entero positivo más pequeño cuyo cuadrado se puede escribir como la suma de n cuadrados perfectos positivos)", The On-Line Encyclopedia of Integer Sequences , Fundación OEIS
40. La suma de cubos consecutivos es igual a un cubo, archivado desde el original el 15 de mayo de 2008.
41. Hirschhorn, Michael (noviembre de 2011), "¿Cuándo es un cuadrado la suma de cuadrados consecutivos?", The Mathematical Gazette , 95 : 511–2, doi : 10.1017/S0025557200003636 , ISSN  0025-5572, OCLC  819659848, S2CID  118776198
42. Goehl, John F. Jr. (mayo de 2005), "Reflexiones del lector", Profesor de matemáticas , 98 (9): 580, doi :10.5951/MT.98.9.0580
43. Goehl, John F., Jr., "Triples, cuartetos, pentadas", Mathematics Teacher 98, mayo de 2005, p. 580.
44. Kim, Scott (mayo de 2002), "Bogglers", Discover : 82, La ecuación w ⁴ + x ⁴ + y ⁴ = z ⁴ es más difícil. En 1988, después de 200 años de intentos de los matemáticos por demostrar que esto era imposible, Noam Elkies de Harvard encontró el contraejemplo, 2.682.440 ⁴ + 15.365.639 ⁴ + 18.796.760 ⁴ = 20.615.673 ⁴ .
45. Elkies, Noam (1988), "En A4 + B4 + C4 = D4", Matemáticas de la Computación , 51 (184): 825–835, doi :10.2307/2008781, JSTOR  2008781, MR  0930224
46. Kak, S. y Prabhu, M. Aplicaciones criptográficas de ternas pitagóricas primitivas. Criptología, 38:215–222, 2014. [1]

Referencias

• Alperin, Roger C. (2005), "El árbol modular de Pitágoras" (PDF) , American Mathematical Monthly , 112 (9): 807–816, CiteSeerX  10.1.1.112.3085 , doi :10.2307/30037602, JSTOR  30037602, MR  2179860
• Berggren, B. (1934), "Pytagoreiska trianglar", Tidskrift för Elementär Matematik, Fysik och Kemi (en sueco), 17 : 129-139
• Barning, FJM (1963), "Over pythagorese en bijna-pythagorese driehoeken en een generatieproces met behulp van unimodulaire matrices" (PDF) , Math. Centrum Ámsterdam Afd. Zuivere Wisk. (en holandés), ZW-011: 37
• Eckert, Ernest (1992), "Triples pitagóricos primitivos", The College Mathematics Journal , 23 (5): 413–417, doi :10.2307/2686417, JSTOR  2686417
• Elkies, Noam , las ternas pitagóricas y el teorema 90 de Hilbert (PDF)
• Heath, Thomas (1956), Los trece libros de los elementos de Euclides, vol. 1 (Libros I y II) (2ª ed.), Publicaciones de Dover, ISBN 978-0-486-60088-8
• Long, Calvin T. (1972), Introducción elemental a la teoría de números (2ª ed.), Lexington: DC Heath and Company , LCCN  77171950
• Martin, Artemas (1875), "Triángulos rectángulos racionales casi isósceles", The Analyst , 3 (2): 47–50, doi :10.2307/2635906, JSTOR  2635906
• McCullough, Darryl (2005), "Altura y exceso de ternas pitagóricas" (PDF) , Revista de Matemáticas , 78 (1): 26–44, doi :10.1080/0025570X.2005.11953298, S2CID  1701449
• Romik, Dan (2008), "La dinámica de las ternas pitagóricas" (PDF) , trad. América. Matemáticas. Soc. , 360 (11): 6045–6064, arXiv : math.DS/0406512 , doi : 10.1090/S0002-9947-08-04467-X , MR  2425702
• Teigen, MG; Hadwin, DW (1971), "Sobre la generación de ternas pitagóricas", The American Mathematical Monthly , 78 (4): 378–379, doi :10.2307/2316903, JSTOR  2316903
• Trautman, Andrzej (1998), "Espinores pitagóricos y giros de Penrose", en SA Hugget; LJ Mason; KP Tod; ST Tsu; NMJ Woodhouse (eds.), Universo geométrico (Posdata)

enlaces externos

• Álgebras de Clifford y parametrización de ternas pitagóricas de Euclides
• Curiosas consecuencias de una cuadrática mal copiada
• Discusión de propiedades de ternas pitagóricas, calculadoras interactivas, acertijos y problemas.
• Generar ternas pitagóricas usando progresiones aritméticas
• "Números pitagóricos", Enciclopedia de Matemáticas , EMS Press , 2001 [1994]
• Calculadora interactiva para ternas pitagóricas
• La ecuación negativa de Pell y las ternas pitagóricas
• Parametrización de ternas pitagóricas mediante una única terna de polinomios
• Price, H. Lee (2008), El árbol pitagórico: una nueva especie , arXiv : 0809.4324
• Las ternas pitagóricas y el círculo unitario, cap. 2-3, en "Una introducción amistosa a la teoría de números" de Joseph H. Silverman, 3.ª ed., 2006, Pearson Prentice Hall, Upper Saddle River, Nueva Jersey, ISBN 0-13-186137-9 
• Triples pitagóricas en el subprograma interactivo Cut-the-Knot que muestra las relaciones del círculo unitario con las triples pitagóricas
• Trillizos pitagóricos
• El notable círculo de un triángulo
• Soluciones a pares cuadráticos compatibles en relación con ternas pitagóricas
• Propiedades teóricas de las ternas pitagóricas y conexiones con la geometría.
• Los árboles trinarios subyacentes a los triples pitagóricos primitivos al cortar el nudo
• Weisstein, Eric W. , "Triple pitagórica", MathWorld