Teoría de Chern-Simons

Teoría de campos cuánticos topológicos tridimensionales cuya acción es la forma de Chern-Simons

La teoría de Chern-Simons es una teoría de campos cuánticos topológicos tridimensionales de tipo Schwarz desarrollada por Edward Witten . Fue descubierto por primera vez por el físico matemático Albert Schwarz . Lleva el nombre de los matemáticos Shiing-Shen Chern y James Harris Simons , quienes introdujeron la forma 3 de Chern-Simons . En la teoría de Chern-Simons, la acción es proporcional a la integral de la forma 3 de Chern-Simons.

En física de la materia condensada , la teoría de Chern-Simons describe el orden topológico en estados cuánticos fraccionarios de efecto Hall . En matemáticas, se ha utilizado para calcular invariantes de nudos e invariantes de tres variedades , como el polinomio de Jones . ^[1]

En particular, la teoría de Chern-Simons se especifica mediante la elección de un grupo de Lie simple G conocido como grupo de calibre de la teoría y también de un número denominado nivel de la teoría, que es una constante que multiplica la acción. La acción depende del calibre, sin embargo, la función de partición de la teoría cuántica está bien definida cuando el nivel es un número entero y la intensidad del campo del calibre desaparece en todos los límites del espacio-tiempo tridimensional.

También es el objeto matemático central en los modelos teóricos para computadoras cuánticas topológicas (TQC). Específicamente, una teoría SU (2) de Chern-Simons describe el modelo anyónico no abeliano más simple de un TQC, el modelo Yang-Lee-Fibonacci. ^{[2] [3]}

La dinámica de la teoría de Chern-Simons en el límite bidimensional de una variedad tridimensional está estrechamente relacionada con las reglas de fusión y los bloques conformes en la teoría de campos conformes y, en particular, la teoría WZW . ^{[1] [4]}

la teoría clásica

Origen matemático

En la década de 1940, SS Chern y A. Weil estudiaron las propiedades de curvatura global de variedades suaves M como cohomología de Rham ( teoría de Chern-Weil ), que es un paso importante en la teoría de clases características en geometría diferencial . Dado un paquete principal G plano P en M , existe un homomorfismo único, llamado homomorfismo de Chern-Weil , desde el álgebra de polinomios invariantes adjuntos G en g (álgebra de Lie de G ) hasta la cohomología . Si el polinomio invariante es homogéneo, se puede escribir concretamente cualquier k -forma de la conexión cerrada ω como alguna 2 k -forma de la forma de curvatura asociada Ω de ω . ${\displaystyle H^{*}(M,\mathbb {R} )}$

En 1974, SS Chern y JH Simons habían construido concretamente una forma (2 k  − 1) df ( ω ) tal que

${\displaystyle dTf(\omega )=f(\Omega ^{k}),}$

donde T es el homomorfismo de Chern-Weil. Esta forma se llama forma de Chern-Simons . Si df ( ω ) es cerrado, se puede integrar la fórmula anterior

${\displaystyle Tf(\omega )=\int _{C}f(\Omega ^{k}),}$

donde C es un  ciclo dimensional (2 k − 1) en M . Esta invariante se llama invariante de Chern-Simons . Como se señaló en la introducción del artículo de Chern-Simons, el invariante CS( M ) de Chern-Simons es el término límite que no puede determinarse mediante ninguna formulación combinatoria pura. También se puede definir como

${\displaystyle \operatorname {CS} (M)=\int _{s(M)}{\tfrac {1}{2}}Tp_{1}\in \mathbb {R} /\mathbb {Z} ,}$

donde es el primer número de Pontryagin y s ( M ) es la sección del paquete ortogonal normal P. Además, el término de Chern-Simons se describe como el invariante eta definido por Atiyah, Patodi y Singer. ${\displaystyle p_{1}}$

La invariancia de calibre y la invariancia métrica pueden verse como la invariancia bajo la acción del grupo de Lie adjunto en la teoría de Chern-Weil. La integral de acción ( integral de ruta ) de la teoría de campos en física se considera la integral lagrangiana de la forma de Chern-Simons y el bucle de Wilson, holonomía del haz de vectores en M. Estos explican por qué la teoría de Chern-Simons está estrechamente relacionada con la teoría de campos topológicos .

Configuraciones

Las teorías de Chern-Simons se pueden definir en cualquier variedad topológica M , con o sin límite. Como estas teorías son teorías topológicas de tipo Schwarz, no es necesario introducir ninguna métrica en M.

La teoría de Chern-Simons es una teoría de calibre , lo que significa que una configuración clásica en la teoría de Chern-Simons en M con un grupo de calibre G se describe mediante un paquete G principal en M. La conexión de este paquete se caracteriza por una conexión uniforme A que se valora en el álgebra de Lie g del grupo de Lie G . En general, la conexión A sólo se define en parches de coordenadas individuales , y los valores de A en diferentes parches están relacionados mediante mapas conocidos como transformaciones de calibre . Estos se caracterizan por la afirmación de que la derivada covariante , que es la suma del operador derivado exterior d y la conexión A , se transforma en la representación adjunta del grupo de calibre G. El cuadrado de la derivada covariante consigo misma se puede interpretar como una forma F de 2 valores g llamada forma de curvatura o intensidad de campo . También se transforma en la representación adjunta.

Dinámica

La acción S de la teoría de Chern-Simons es proporcional a la integral de la forma 3 de Chern-Simons

${\displaystyle S={\frac {k}{4\pi }}\int _{M}{\text{tr}}\,(A\wedge dA+{\tfrac {2}{3}}A\wedge A\wedge A).}$

La constante k se llama nivel de la teoría. La física clásica de la teoría de Chern-Simons es independiente de la elección del nivel k .

Clásicamente el sistema se caracteriza por sus ecuaciones de movimiento que son los extremos de la acción con respecto a las variaciones del campo A. En términos de la curvatura del campo.

${\displaystyle F=dA+A\wedge A\,}$

la ecuación de campo es explícitamente

${\displaystyle 0={\frac {\delta S}{\delta A}}={\frac {k}{2\pi }}F.}$

Por tanto, las ecuaciones clásicas del movimiento se satisfacen si y sólo si la curvatura desaparece en todas partes, en cuyo caso se dice que la conexión es plana . Por tanto, las soluciones clásicas a la teoría G de Chern-Simons son las conexiones planas de los principales G -haces en M . Las conexiones planas están determinadas enteramente por holonomías alrededor de ciclos no contráctiles en la base M. Más precisamente, están en correspondencia uno a uno con clases de equivalencia de homomorfismos desde el grupo fundamental de M hasta el grupo de calibre G hasta la conjugación.

Si M tiene un límite N , entonces hay datos adicionales que describen una elección de trivialización del paquete G principal en N. Esta elección caracteriza un mapa de N a G. La dinámica de este mapa se describe mediante el modelo Wess-Zumino-Witten (WZW) en N en el nivel k .

Cuantización

Para cuantificar canónicamente la teoría de Chern-Simons, se define un estado en cada superficie bidimensional Σ en M. Como en cualquier teoría cuántica de campos, los estados corresponden a rayos en un espacio de Hilbert . No existe una noción preferida de tiempo en una teoría de campos topológicos de tipo Schwarz, por lo que se puede exigir que Σ sea una superficie de Cauchy ; de hecho, se puede definir un estado en cualquier superficie.

Σ es de codimensión uno, por lo que se puede cortar M a lo largo de Σ. Después de tal corte, M será una variedad con límite y, en particular, clásicamente, la dinámica de Σ se describirá mediante un modelo WZW. Witten ha demostrado que esta correspondencia se cumple incluso en la mecánica cuántica. Más precisamente, demostró que el espacio de estados de Hilbert es siempre de dimensión finita y puede identificarse canónicamente con el espacio de bloques conformes del modelo G WZW en el nivel k.

Por ejemplo, cuando Σ es una 2 esferas, este espacio de Hilbert es unidimensional y, por lo tanto, solo hay un estado. Cuando Σ es un toro 2, los estados corresponden a las representaciones integrables del álgebra de Lie afín correspondiente a g en el nivel k. Las caracterizaciones de los bloques conformes en géneros superiores no son necesarias para la solución de Witten de la teoría de Chern-Simons.

Observables

Bucles Wilson

Los observables de la teoría de Chern-Simons son las funciones de correlación de n puntos de operadores invariantes de calibre. La clase de operadores invariantes de calibre más estudiada son los bucles de Wilson . Un bucle de Wilson es la holonomía alrededor de un bucle en M , trazado en una representación dada R de G. Como estaremos interesados ​​en productos de bucles de Wilson, sin pérdida de generalidad podemos restringir nuestra atención a representaciones irreducibles R .

Más concretamente, dada una representación irreducible R y un bucle K en M , se puede definir el bucle de Wilson por ${\displaystyle W_{R}(K)}$

${\displaystyle W_{R}(K)=\operatorname {Tr} _{R}\,{\mathcal {P}}\exp \left(i\oint _{K}A\right)}$

donde A es la forma 1 de la conexión y tomamos el valor principal de Cauchy de la integral de contorno y es la exponencial ordenada por trayectoria . ${\displaystyle {\mathcal {P}}\exp }$

Polinomios de HOMFLY y Jones

Considere un enlace L en M , que es una colección de ℓ bucles disjuntos. Un observable particularmente interesante es la función de correlación de punto ℓ formada a partir del producto de los bucles de Wilson alrededor de cada bucle disjunto, cada uno trazado en la representación fundamental de G. Se puede formar una función de correlación normalizada dividiendo este observable por la función de partición Z ( M ), que es solo la función de correlación de 0 puntos.

En el caso especial en el que M es la 3 esferas, Witten ha demostrado que estas funciones de correlación normalizadas son proporcionales a polinomios de nudos conocidos . Por ejemplo, en G  =  U ( N ) teoría de Chern-Simons en el nivel k la función de correlación normalizada es, hasta una fase, igual a

${\displaystyle {\frac {\sin(\pi /(k+N))}{\sin(\pi N/(k+N))}}}$

veces el polinomio HOMFLY . En particular, cuando N  = 2, el polinomio HOMFLY se reduce al polinomio de Jones . En el caso SO( N ), se encuentra una expresión similar con el polinomio de Kauffman .

La ambigüedad de fase refleja el hecho de que, como ha demostrado Witten, las funciones de correlación cuántica no están completamente definidas por los datos clásicos. El número de enlace de un bucle consigo mismo entra en el cálculo de la función de partición, pero este número no es invariante en caso de pequeñas deformaciones y, en particular, no es un invariante topológico. Este número se puede definir bien si se elige un marco para cada bucle, que es una elección del vector normal distinto de cero preferido en cada punto a lo largo del cual se deforma el bucle para calcular su número de autoenlace. Este procedimiento es un ejemplo del procedimiento de regularización por división de puntos introducido por Paul Dirac y Rudolf Peierls para definir cantidades aparentemente divergentes en la teoría cuántica de campos en 1934.

Sir Michael Atiyah ha demostrado que existe una elección canónica de 2 encuadres, ^{[ cita necesaria ]} que se usa generalmente en la literatura actual y conduce a un número de enlace bien definido. Con el marco canónico, la fase anterior es exponencial de 2π i /( k  +  N ) multiplicado por el número de enlace de L consigo mismo.

Problema (Extensión del polinomio de Jones a 3 variedades generales)　

"El polinomio de Jones original se definió para enlaces 1 en las 3 esferas (la bola 3, el R3 de 3 espacios). ¿Puedes definir el polinomio de Jones para enlaces 1 en cualquier variedad 3?"

Consulte la sección 1.1 de este artículo ^[5] para conocer los antecedentes y la historia de este problema. Kauffman presentó una solución en el caso del colector de producto de superficie orientada cerrada y el intervalo cerrado, mediante la introducción de 1 nudos virtuales. ^[6] En los demás casos está abierto. La integral de ruta de Witten para el polinomio de Jones está escrita formalmente para enlaces en cualquier variedad compacta de 3, pero el cálculo no se realiza ni siquiera en el nivel de física en ningún caso que no sea el de 3 esferas (el de 3 bolas, el de 3 espacios R ³ ) . . Este problema también está abierto a nivel de física. En el caso del polinomio de Alexander, este problema está resuelto.

Relaciones con otras teorías

Teorías topológicas de cuerdas

En el contexto de la teoría de cuerdas , una teoría U ( N ) de Chern-Simons sobre una subvariedad M lagrangiana orientada de una variedad X de 6 surge como la teoría del campo de cuerdas de cuerdas abiertas que terminan en una brana D que envuelve X en la A. -modelo de teoría de cuerdas topológica en X . La teoría topológica del campo de cuerdas abiertas del modelo B sobre el volumen mundial que llena el espacio de una pila de branas D5 es una variante de 6 dimensiones de la teoría de Chern-Simons conocida como teoría holomorfa de Chern-Simons.

WZW y modelos matriciales.

Las teorías de Chern-Simons están relacionadas con muchas otras teorías de campo. Por ejemplo, si uno considera una teoría de Chern-Simons con un grupo de calibre G en una variedad con límite, entonces todos los grados de libertad de propagación tridimensionales pueden ser medidos, dejando una teoría de campo conforme bidimensional conocida como G Wess. Modelo de Zumino-Witten en la frontera. Además, las teorías U ( N ) y SO ( N ) de Chern-Simons en general N se aproximan bien mediante modelos matriciales .

Teoría de la gravedad de Chern-Simons

En 1982, S. Deser , R. Jackiw y S. Templeton propusieron la teoría de la gravedad de Chern-Simons en tres dimensiones, en la que la acción de Einstein-Hilbert en la teoría de la gravedad se modifica añadiendo el término de Chern-Simons. (Deser, Jackiw y Templeton (1982))

En 2003, R. Jackiw y SY Pi ampliaron esta teoría a cuatro dimensiones (Jackiw y Pi (2003)) y la teoría de la gravedad de Chern-Simons tiene algunos efectos considerables no sólo en la física fundamental sino también en la teoría de la materia condensada y la astronomía.

El caso de cuatro dimensiones es muy análogo al caso de tres dimensiones. En tres dimensiones, el término gravitacional de Chern-Simons es

${\displaystyle \operatorname {CS} (\Gamma )={\frac {1}{2\pi ^{2}}}\int d^{3}x\varepsilon ^{ijk}{\biggl (}\Gamma _{iq}^{p}\partial _{j}\Gamma _{kp}^{q}+{\frac {2}{3}}\Gamma _{iq}^{p}\Gamma _{jr}^{q}\Gamma _{kp}^{r}{\biggr )}.}$

Esta variación le da al tensor Cotton

${\displaystyle =-{\frac {1}{2{\sqrt {g}}}}{\bigl (}\varepsilon ^{mij}D_{i}R_{j}^{n}+\varepsilon ^{nij}D_{i}R_{j}^{m}).}$

Luego, la modificación de Chern-Simons de la gravedad tridimensional se realiza agregando el tensor de Cotton anterior a la ecuación de campo, que se puede obtener como la solución de vacío variando la acción de Einstein-Hilbert.

Teorías de la materia de Chern-Simons

En 2013, Kenneth A. Intriligator y Nathan Seiberg resolvieron estas teorías de calibre tridimensional de Chern-Simons y sus fases utilizando monopolos con grados de libertad adicionales. El índice de Witten de los muchos vacíos descubiertos se calculó compactando el espacio activando parámetros de masa y luego calculando el índice. En algunos vacíos, se calculó que la supersimetría estaba rota. Estos monopolos estaban relacionados con vórtices de materia condensada . (Intriligador y Seiberg (2013))

La  teoría de la materia N = 6 de Chern-Simons es el dual holográfico de la teoría M en . ${\displaystyle AdS_{4}\times S_{7}}$

Teoría cuatridimensional de Chern-Simons

En 2013, Kevin Costello definió una teoría estrechamente relacionada definida en una variedad de cuatro dimensiones que consiste en el producto de un 'plano topológico' bidimensional y una curva compleja bidimensional (o de una dimensión compleja). ^[7] Posteriormente estudió la teoría con más detalle junto con Witten y Masahito Yamazaki, ^{[8] [9] [10]} demostrando cómo la teoría de calibre podría estar relacionada con muchas nociones de la teoría de sistemas integrables , incluidos modelos de red exactamente solubles (como el modelo de seis vértices o la cadena de espín XXZ ), teorías de campos cuánticos integrables (como el modelo de Gross-Neveu , el modelo quiral principal y los modelos sigma de conjunto lateral simétrico de espacio ), la ecuación de Yang-Baxter y grupos cuánticos como el Yangiano que describen simetrías que sustentan la integrabilidad de los sistemas antes mencionados.

La acción sobre la variedad de 4, donde es una variedad bidimensional y es una curva compleja, es ${\displaystyle M=\Sigma \times C}$ ${\displaystyle \Sigma }$ ${\displaystyle C}$

$${\displaystyle S=\int _{M}\omega \wedge CS(A)}$$

forma única meromórfica ${\displaystyle \omega }$ ${\displaystyle C}$

Términos de Chern-Simons en otras teorías

El término de Chern-Simons también se puede agregar a modelos que no son teorías topológicas de campos cuánticos. En 3D, esto da lugar a un fotón masivo si se suma este término a la acción de la teoría de la electrodinámica de Maxwell . Este término puede inducirse integrándose sobre un campo de Dirac cargado masivo . También aparece, por ejemplo, en el efecto Hall cuántico . La adición del término de Chern-Simons a varias teorías da lugar a soluciones de tipo vórtice o solitón ^{[11] [12]} Las generalizaciones de diez y once dimensiones de los términos de Chern-Simons aparecen en las acciones de todos los términos de diez y once dimensiones. Teorías de supergravedad dimensional .

Renormalización del nivel en un bucle

Si se añade materia a la teoría del calibre de Chern-Simons, en general ya no es topológica. Sin embargo, si se agregan n fermiones de Majorana , entonces, debido a la anomalía de paridad , cuando se integran conducen a una teoría pura de Chern-Simons con una renormalización de un bucle del nivel de Chern-Simons por − n /2, en otras palabras, el La teoría del nivel k con n fermiones es equivalente a la teoría del nivel k  −  n /2 sin fermiones.

Ver también

• Teoría del calibre (matemáticas)
• Forma de Chern-Simons
• Teoría de campos cuánticos topológicos
• Polinomio de Alejandro
• polinomio de Jones
• Gravedad topológica 2+1D
• Skyrmión

Referencias

• Arturo, K.; Tchrakian, DH; Y.-S., Yang (1996). "Solitones de Chern-Simons autoduales topológicos y no topológicos en un modelo sigma O (3) calibrado". Revisión física D. 54 (8): 5245–5258. Código bibliográfico : 1996PhRvD..54.5245A. doi : 10.1103/PhysRevD.54.5245. PMID  10021215.
• Chern, S.-S. y Simons, J. (1974). "Formas características e invariantes geométricas". Anales de Matemáticas . 99 (1): 48–69. doi :10.2307/1971013. JSTOR  1971013.
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Específico

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enlaces externos

• "Chern-Simons funcional". Enciclopedia de Matemáticas . Prensa EMS . 2001 [1994].