Modelo de Gross-Neveu

El modelo Gross-Neveu (GN) es un modelo de teoría cuántica de campos de fermiones de Dirac que interactúan a través de interacciones de cuatro fermiones en una dimensión espacial y una dimensión temporal. Fue introducido en 1974 por David Gross y André Neveu ^[1] como un modelo de juguete para la cromodinámica cuántica (QCD) , la teoría de interacciones fuertes. Comparte varias características de la QCD: la teoría GN es asintóticamente libre, por lo que en el acoplamiento fuerte la fuerza de la interacción se debilita y la función correspondiente del acoplamiento de interacción es negativa, la teoría tiene un mecanismo de generación de masa dinámica con ruptura de simetría quiral, y en el límite de gran número de sabores ( ), la teoría GN se comporta como el gran límite de t'Hooft en QCD. ^[2] ${\estilo de visualización \beta}$ $\mathbb {Z} _ {2}$ $N\to \infty$ $Estilo de visualización N_{c}$

Está formado por N fermiones de Dirac . La densidad lagrangiana es $\psi _{1},\psi _{2},\cdots,\psi _{N}$

{\mathcal {L}}={\bar {\psi }}_{a}\left(i\partial \!\!\!/-m\right)\psi ^{a}+{\frac {g^{2}}{2N}}\left[{\bar {\psi }}_{a}\psi ^{a}\right]^{2}

Se utiliza la notación de suma de Einstein , es un objeto de espinor de dos componentes y es la constante de acoplamiento . Si la masa no es cero, el modelo es masivo clásicamente, de lo contrario disfruta de una simetría quiral . $\psi ^{a}$ ${\estilo de visualización g}$ ${\estilo de visualización m}$

Este modelo tiene una simetría interna global U(N) . Si se toma N=1 (que permite sólo una interacción cuártica) y no se hace ningún intento de continuar analíticamente la dimensión , el modelo se reduce al modelo masivo de Thirring (que es completamente integrable). ^[3]

Se trata de una versión bidimensional del modelo Nambu-Jona-Lasinio (NJL) de cuatro dimensiones, que se introdujo 14 años antes como modelo de ruptura de simetría quiral dinámica (pero sin confinamiento de quarks ) modelado sobre la teoría BCS de superconductividad. La versión bidimensional tiene la ventaja de que la interacción de 4 fermi es renormalizable, lo que no ocurre en un número mayor de dimensiones.

Características de la teoría

Gross y Neveu estudiaron este modelo en el límite grande, expandiendo los parámetros relevantes en una expansión 1/N . Después de demostrar que este y otros modelos relacionados son asintóticamente libres, encontraron que, en el orden subprincipal, para masas de fermiones pequeñas, el condensado de bifermiones adquiere un valor esperado de vacío (VEV) y, como resultado, los fermiones fundamentales se vuelven masivos. Encuentran que la masa no es analítica en la constante de acoplamiento g. El valor esperado de vacío rompe espontáneamente la simetría quiral de la teoría. ${\estilo de visualización N}$ ${\overline {\psi }}_{a}\psi ^{a}$

Más precisamente, expandiendo sobre el vacío sin valor esperado de vacío para el condensado bilineal, encontraron un taquión. Para ello, resolvieron las ecuaciones del grupo de renormalización para el propagador del campo de bifermiones, utilizando el hecho de que la única renormalización de la constante de acoplamiento proviene de la renormalización de la función de onda del campo compuesto. Luego calcularon, en el orden principal en una expansión 1/N pero en todos los órdenes de la constante de acoplamiento, la dependencia de la energía potencial en el condensado utilizando las técnicas de acción efectiva introducidas el año anterior por Sidney Coleman en la Escuela Internacional de Verano de Física de Erice . Encontraron que este potencial se minimiza en un valor distinto de cero del condensado, lo que indica que este es el valor verdadero del condensado. Ampliando la teoría sobre el nuevo vacío, se encontró que el taquión ya no estaba presente y, de hecho, como la teoría BCS de la superconductividad, hay una brecha de masa .

Luego, elaboraron una serie de argumentos generales sobre la generación dinámica de masa en las teorías cuánticas de campos. Por ejemplo, demostraron que no todas las masas pueden generarse dinámicamente en teorías que son estables en el infrarrojo, y utilizaron esto para argumentar que, al menos en el orden principal en 1/N, la teoría de 4 dimensiones no existe. También argumentaron que en las teorías asintóticamente libres las masas generadas dinámicamente nunca dependen analíticamente de las constantes de acoplamiento . $\phi ^{4}$

Generalizaciones

Gross y Neveu consideraron varias generalizaciones. En primer lugar, consideraron un lagrangiano con una interacción cuártica adicional.

{\mathcal {L}}={\bar {\psi }}_{a}\left(i\partial \!\!\!/-m\right)\psi ^{a}+{\frac {g^{2}}{2N}}(\left[{\bar {\psi }}_{a}\psi ^{a}\right]^{2}-\left[{\bar {\psi }}_{a}\gamma _{5}\psi ^{a}\right]^{2})

El modelo original se eligió de modo que la simetría quiral discreta se mejora a una simetría quiral continua con valor U(1) . La ruptura de la simetría quiral ocurre como antes, causada por el mismo VEV. Sin embargo, como la simetría rota espontáneamente ahora es continua, aparece un bosón de Goldstone sin masa en el espectro. Aunque esto no conduce a problemas en el orden principal en la expansión 1/N, las partículas sin masa en las teorías cuánticas de campos bidimensionales conducen inevitablemente a divergencias infrarrojas y, por lo tanto, la teoría parece no existir. $\psi \rightarrow \gamma _ {5}\psi$ $\psi \rightarrow e^{i\theta \gamma _{5}}\psi$

Se consideraron dos modificaciones más de la teoría modificada que solucionan este problema. En una de ellas se aumenta el número de dimensiones, por lo que el campo sin masa no conduce a divergencias. En la otra modificación se mide la simetría quiral, por lo que el bosón de Golstone es devorado por el mecanismo de Higgs a medida que el fotón se vuelve masivo, por lo que no conduce a ninguna divergencia.

Véase también

Referencias

^ Gross, David J. y Neveu, André (1974). "Ruptura dinámica de la simetría en teorías de campos asintóticamente libres". Phys. Rev. D . 10 (10): 3235–3253. Bibcode :1974PhRvD..10.3235G. doi :10.1103/PhysRevD.10.3235.{{cite journal}}: CS1 maint: varios nombres: lista de autores ( enlace )
^ Pannullo, L.; Lenz, J.; Wagner, M.; Wellegehausen, B.; Wipf, A. (2020). "Fases no homogéneas en el modelo Gross--Neveu de dimensión 1+1 con un número finito de sabores fermiónicos". Acta Physica Polonica B Proceedings Supplement . 13 (1): 127. arXiv : 1902.11066 . doi : 10.5506/aphyspolbsupp.13.127 . ISSN 1899-2358. S2CID 119425380.
^ L. Fei, S. Giombi, IR Klebanov y G. Tarnopolsky (2016). "CFT de Yukawa y supersimetría emergente". arXiv : 1607.05316 [hep-th].{{cite arXiv}}: CS1 maint: varios nombres: lista de autores ( enlace )