Ecuación de Dirac no lineal

Consulte el cálculo de Ricci y la notación de Van der Waerden para la notación.

En la teoría cuántica de campos , la ecuación de Dirac no lineal es un modelo de fermiones de Dirac que interactúan entre sí . Este modelo se considera ampliamente en la física cuántica como un modelo de juguete de electrones que interactúan entre sí . ^[1]^[2]^[3]^[4]^[5]

La ecuación no lineal de Dirac aparece en la teoría de la gravedad de Einstein-Cartan -Sciama-Kibble, que extiende la relatividad general a la materia con momento angular intrínseco ( espín ). ^[6]^[7] Esta teoría elimina una restricción de la simetría de la conexión afín y trata su parte antisimétrica, el tensor de torsión , como una variable en la variación de la acción. En las ecuaciones de campo resultantes, el tensor de torsión es una función homogénea y lineal del tensor de espín . El acoplamiento mínimo entre la torsión y los espinores de Dirac genera así una interacción axial-axial, espín-espín en la materia fermiónica , que se vuelve significativa solo a densidades extremadamente altas. En consecuencia, la ecuación de Dirac se vuelve no lineal (cúbica) en el campo de espinores, ^[8]^[9] lo que hace que los fermiones se extiendan espacialmente y puede eliminar la divergencia ultravioleta en la teoría cuántica de campos. ^[10]

Modelos

Dos ejemplos comunes son el modelo masivo Thirring y el modelo Soler .

Modelo sediento

El modelo Thirring ^[11] se formuló originalmente como un modelo en dimensiones espacio-temporales (1 + 1) y se caracteriza por la densidad lagrangiana.

{\mathcal {L}}={\overline {\psi }}(i\partial \!\!\!/-m)\psi -{\frac {g}{2}}\left({\overline {\psi }}\gamma ^{\mu }\psi \right)\left({\overline {\psi }}\gamma _{\mu }\psi \right),

donde $ψ \in C 2$ es el campo de espinor , $ψ = ψ * γ 0$ es el espinor adjunto de Dirac ,

\partial \!\!\!/=\sum _{\mu =0,1}\gamma ^{\mu }{\frac {\partial }{\partial x^{\mu }}}\,,

( Se utiliza la notación de barra de Feynman ), $g$ es la constante de acoplamiento , $m$ es la masa y $γ μ$ son las matrices gamma bidimensionales , finalmente $μ$ = $0, 1$ es un índice .

Modelo Soler

El modelo de Soler ^[12] fue formulado originalmente en (3 + 1) dimensiones espacio-temporales. Se caracteriza por la densidad lagrangiana

{\mathcal {L}}={\overline {\psi }}\left(i\partial \!\!\!/-m\right)\psi +{\frac {g}{2}}\left({\overline {\psi }}\psi \right)^{2},

utilizando las mismas notaciones anteriores, excepto

\partial \!\!\!/=\sum _{\mu =0}^{3}\gamma ^{\mu }{\frac {\partial }{\partial x^{\mu }}}\,,

es ahora el operador de cuatro gradientes contraído con las matrices gamma de Dirac de cuatro dimensiones $γ$ $μ$ , por lo que allí $μ$ $= 0, 1, 2, 3$ .

Otros modelos

Además del modelo de Soler, se ha realizado un trabajo extenso en el que se utilizan versiones no lineales de la ecuación de Dirac para describir soluciones de tipo partícula (PLS) puramente clásicas y no lineales en dimensiones espacio-temporales (3 + 1). Rañada ha realizado una revisión del tema. ^[13] Aunque aparentemente no ha aparecido una revisión más reciente dedicada específicamente a las PLS puramente clásicas y no lineales, hay referencias pertinentes disponibles en varias publicaciones más recientes. ^[14]^[15]

Los modelos analizados por Rañada pretenden ser de naturaleza completamente clásica y deberían considerarse como algo que no tiene nada que ver con la mecánica cuántica, pero la variable dependiente en la ecuación de Dirac todavía se suele considerar como un espinor. Cuando se considera un modelo puramente clásico de esta naturaleza, el uso de un espinor como variable dependiente parece inadecuado.

Si se utiliza una pequeña modificación de la ecuación de Dirac subyacente, el problema se puede evitar de una manera relativamente sencilla. ^[16] En lugar de utilizar el vector columna habitual como variable dependiente en la ecuación de Dirac, se puede utilizar una matriz de 4 × 4. Cuando no hay transformación de coordenadas, la columna más a la izquierda de la matriz se utiliza en la ecuación de Dirac de la manera habitual, pero cuando debe haber una transformación en el espacio-tiempo, a veces se permite que los cuatro componentes de la variable dependiente aparezcan en varias posiciones diferentes en la matriz de 4 × 4.

El resultado puede entenderse en términos de un álgebra de Clifford, ya que la variable dependiente en la ecuación de Dirac puede representarse como un ideal izquierdo de 4 dimensiones de un álgebra de Clifford. En este caso, simplemente se permite que la variable dependiente se encuentre en un ideal izquierdo diferente cuando hay una transformación en el espacio-tiempo.

Teoría de Einstein-Cartan

En la teoría de Einstein-Cartan, la densidad lagrangiana para un campo de espinor de Dirac está dada por ( ) $c=\hbar =1$

{\mathcal {L}}={\sqrt {-g}}\left({\overline {\psi }}\left(i\gamma ^{\mu }D_{\mu }-m\right)\psi \right),

dónde

D_{\mu }=\partial _{\mu }+{\frac {1}{4}}\omega _{\nu \rho \mu }\gamma ^{\nu }\gamma ^{\rho }

es la derivada covariante de Fock-Ivanenko de un espinor con respecto a la conexión afín, es la conexión de espín , es el determinante del tensor métrico y las matrices de Dirac satisfacen $\omega _{\mu \nu \rho }$ $g$ $g_{\mu \nu }$

\gamma ^{\mu }\gamma ^{\nu }+\gamma ^{\nu }\gamma ^{\mu }=2g^{\mu \nu }I.

Las ecuaciones de campo de Einstein-Cartan para la conexión de espín producen una restricción algebraica entre la conexión de espín y el campo de espín en lugar de una ecuación diferencial parcial , lo que permite eliminar explícitamente la conexión de espín de la teoría. El resultado final es una ecuación de Dirac no lineal que contiene una autointeracción "espín-espín" efectiva,

i\gamma ^{\mu }D_{\mu }\psi -m\psi =i\gamma ^{\mu }\nabla _{\mu }\psi +{\frac {3\kappa }{8}}\left({\overline {\psi }}\gamma _{\mu }\gamma ^{5}\psi \right)\gamma ^{\mu }\gamma ^{5}\psi -m\psi =0,

donde es la derivada covariante relativista general de un espinor, y es la constante gravitacional de Einstein, . El término cúbico en esta ecuación se vuelve significativo en densidades del orden de . $\nabla _{\mu }$ $\kappa$ ${\textstyle {\frac {8\pi G}{c^{4}}}}$ ${\textstyle {\frac {m^{2}}{\kappa }}}$

Véase también

Referencias

^ Д.Д. Ivanenko (1938). "Замечание к теории взаимодействия через частицы" [traducido en: DD Ivanenko, Notas sobre la teoría de la interacción a través de partículas, Sov. Física. JETP 13 (1938), 141)] (PDF) . ЖЭТФ . 8 : 260–266.
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^ R. Finkelstein; C. Fronsdal y P. Kaus (1956). "Campo de espinor no lineal". Phys. Rev. 103 ( 5): 1571–1579. Código Bibliográfico :1956PhRv..103.1571F. doi :10.1103/PhysRev.103.1571.
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