Modelo Soler

Tipo de teoría cuántica de campos de 3+1 dimensiones

El modelo Soler es un modelo de teoría cuántica de campos de fermiones de Dirac que interactúan a través de cuatro interacciones de fermiones en 3 dimensiones espaciales y 1 dimensión temporal. Fue introducido en 1938 por Dmitri Ivanenko ^[1] y reintroducido e investigado en 1970 por Mario Soler ^[2] como un modelo de juguete de electrón autointeractuante .

Este modelo se describe mediante la densidad lagrangiana

${\displaystyle {\mathcal {L}}={\overline {\psi }}\left(i\partial \!\!\!/-m\right)\psi +{\frac {g}{2}}\left({\overline {\psi }}\psi \right)^{2}}$

donde es la constante de acoplamiento , en la notación de barra de Feynman , . Aquí , , son matrices gamma de Dirac . ${\displaystyle g}$ ${\displaystyle \partial \!\!\!/=\sum _{\mu =0}^{3}\gamma ^{\mu }{\frac {\partial }{\partial x^{\mu }}}}$ ${\displaystyle {\overline {\psi }}=\psi ^{*}\gamma ^{0}}$ ${\displaystyle \gamma ^{\mu }}$ ${\displaystyle 0\leq \mu \leq 3}$

La ecuación correspondiente se puede escribir como

${\displaystyle i{\frac {\partial }{\partial t}}\psi =-i\sum _{j=1}^{3}\alpha ^{j}{\frac {\partial }{\partial x^{j}}}\psi +m\beta \psi -g({\overline {\psi }}\psi )\beta \psi }$,

donde , , y son las matrices de Dirac . En una dimensión, este modelo se conoce como el modelo masivo de Gross-Neveu . ^{[3] [4]} ${\displaystyle \alpha ^{j}}$ ${\displaystyle 1\leq j\leq 3}$ ${\displaystyle \beta }$

Generalizaciones

Una generalización comúnmente considerada es

${\displaystyle {\mathcal {L}}={\overline {\psi }}\left(i\partial \!\!\!/-m\right)\psi +g{\frac {\left({\overline {\psi }}\psi \right)^{k+1}}{k+1}}}$

con , o incluso ${\displaystyle k>0}$

${\displaystyle {\mathcal {L}}={\overline {\psi }}\left(i\partial \!\!\!/-m\right)\psi +F\left({\overline {\psi }}\psi \right)}$,

donde es una función suave. ${\displaystyle F}$

Características

Simetría interna

Además de la simetría unitaria U(1) , en las dimensiones 1, 2 y 3 la ecuación tiene simetría interna global SU(1,1) . ^[5]

Renormalizabilidad

El modelo Soler es renormalizable mediante el conteo de potencia para y en una sola dimensión, y no renormalizable para valores superiores de y en dimensiones superiores. ${\displaystyle k=1}$ ${\displaystyle k}$

Soluciones de ondas solitarias

El modelo de Soler admite soluciones de ondas solitarias de la forma donde está localizado (se hace pequeño cuando es grande) y es un número real . ^[6] ${\displaystyle \phi (x)e^{-i\omega t},}$ ${\displaystyle \phi }$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle \omega }$

Reducción al modelo masivo Thirring

En la dimensión espacial 2, el modelo de Soler coincide con el modelo masivo de Thirring, debido a la relación , con el escalar relativista y la densidad de carga-corriente. La relación se deduce de la identidad , para cualquier . ^[7] ${\displaystyle ({\bar {\psi }}\psi )^{2}=J_{\mu }J^{\mu }}$ ${\displaystyle {\bar {\psi }}\psi =\psi ^{*}\sigma _{3}\psi }$ ${\displaystyle J^{\mu }=(\psi ^{*}\psi ,\psi ^{*}\sigma _{1}\psi ,\psi ^{*}\sigma _{2}\psi )}$ ${\displaystyle (\psi ^{*}\sigma _{1}\psi )^{2}+(\psi ^{*}\sigma _{2}\psi )^{2}+(\psi ^{*}\sigma _{3}\psi )^{2}=(\psi ^{*}\psi )^{2}}$ ${\displaystyle \psi \in \mathbb {C} ^{2}}$

Véase también

• Ecuación de Dirac
• Modelo de Gross-Neveu
• Ecuación de Dirac no lineal
• Modelo sediento

Referencias

1. Dmitri Ivanenko (1938). "Notas a la teoría de la interacción a través de partículas" (PDF) . Zh. Eksp. Teor. Fiz . 8 : 260–266.
2. Mario Soler (1970). "Campo de espinores no lineal, estable y clásico con energía positiva en reposo". Phys. Rev. D . 1 (10): 2766–2769. Bibcode :1970PhRvD...1.2766S. doi :10.1103/PhysRevD.1.2766.
3. Gross, David J. y Neveu, André (1974). "Ruptura dinámica de la simetría en teorías de campos asintóticamente libres". Phys. Rev. D . 10 (10): 3235–3253. Bibcode :1974PhRvD..10.3235G. doi :10.1103/PhysRevD.10.3235.{{cite journal}}: CS1 maint: multiple names: authors list (link)
4. SY Lee y A. Gavrielides (1975). "Cuantización de las soluciones localizadas en teorías de campo bidimensionales de fermiones masivos". Phys. Rev. D . 12 (12): 3880–3886. Código Bibliográfico :1975PhRvD..12.3880L. doi :10.1103/PhysRevD.12.3880.
5. Galindo, A. (1977). "Una notable invariancia de los lagrangianos de Dirac clásicos". Lettere al Nuovo Cimento . 20 (6): 210–212. doi :10.1007/BF02785129. S2CID  121750127.
6. Thierry Cazenave y Luis Vázquez (1986). "Existencia de soluciones localizadas para un cuerpo de Dirac no lineal clásico". Comm. Math. Phys . 105 (1): 35–47. Bibcode :1986CMaPh.105...35C. doi :10.1007/BF01212340. S2CID  121018463.
7. J. Cuevas-Maraver; PG Kevrekidis; A. Saxena; A. Comech y R. Lan (2016). "Estabilidad de ondas solitarias y vórtices en un modelo de Dirac no lineal 2D". Phys. Rev. Lett . 116 (21): 214101. arXiv : 1512.03973 . Bibcode :2016PhRvL.116u4101C. doi :10.1103/PhysRevLett.116.214101. PMID  27284659. S2CID  15719805.