En física teórica, se dice que una teoría cuántica de campos tiene una anomalía de paridad si su acción clásica es invariante bajo un cambio de paridad del universo, pero la teoría cuántica no es invariante.
Este tipo de anomalía puede ocurrir en teorías de calibración de dimensión impar con fermiones cuyos grupos de calibración tienen números de Coxeter duales impares . Fueron introducidas por primera vez por Antti J. Niemi y Gordon Walter Semenoff en la carta Axial-Anomaly-Induced Fermion Fractionization and Effective Gauge-Theory Actions in Odd-Dimensional Space-Times y por A. Norman Redlich en la carta Gauge Noninvariance and Parity Nonconservation of Three-Dimensional Fermions y el artículo Parity breach and gauge noninvariance of theeffective gauge field action in three dimensions. Es en cierto sentido una versión de dimensión impar de la anomalía SU(2) de Edward Witten en 4 dimensiones, y de hecho Redlich escribe que su demostración sigue a la de Witten.
Consideremos una teoría de calibración invariante en paridad clásica cuyo grupo de calibración G tiene un número dual de Coxeter h en 3 dimensiones. Incluyamos n fermiones de Majorana que se transforman bajo una representación real de G. Esta teoría sufre ingenuamente de una divergencia ultravioleta . Si se incluye un regulador invariante en paridad , entonces la invariancia de paridad cuántica de la teoría se romperá si h y n son impares.
Consideremos, por ejemplo, la regularización de Pauli-Villars . Es necesario añadir n fermiones de Majorana masivos con estadísticas opuestas y llevar sus masas al infinito. La complicación surge del hecho de que el término de masa de Majorana tridimensional no es invariante de paridad, por lo tanto, existe la posibilidad de que la violación de la invariancia de paridad pueda permanecer cuando la masa tiende al infinito. De hecho, esta es la fuente de la anomalía.
Si n es par, entonces se pueden reescribir los n fermiones de Majorana como n /2 fermiones de Dirac . Estos tienen términos de masa invariantes con respecto a la paridad, por lo que se puede utilizar el método de Pauli-Villars para regular las divergencias y no surge ninguna anomalía de paridad. Por lo tanto, para n par no hay anomalía. Además, como la contribución de 2n fermiones de Majorana a la función de partición es el cuadrado de la contribución de n fermiones, el cuadrado de la contribución a la anomalía de n fermiones debe ser igual a uno. Por lo tanto, la fase anómala solo puede ser igual a una raíz cuadrada de uno, en otras palabras, más o menos uno. Si es igual a uno, entonces no hay anomalía. Por lo tanto, la pregunta es, ¿cuándo hay una ambigüedad en la función de partición de un factor de -1?
Queremos saber cuándo la elección del signo de la función de partición está mal definida. La posibilidad de que esté mal definida existe porque la acción contiene el término cinético del fermión.
donde ψ es un fermión de Majorana y A es el potencial vectorial . En la integral de trayectoria , la exponencial de la acción se integra sobre todos los campos. Al integrar el término anterior sobre los campos de fermiones se obtiene un factor de la raíz cuadrada del determinante del operador de Dirac para cada uno de los n fermiones de Majorana.
Como es habitual con una raíz cuadrada, es necesario determinar su signo. La fase global de la función de partición no es un observable en mecánica cuántica, y por lo tanto, para una configuración dada, esta elección de signo puede hacerse de manera arbitraria. Pero es necesario comprobar que la elección de signo es consistente. Para ello, deformemos la configuración a través del espacio de configuración , en un camino que finalmente regresa a la configuración original. Si la elección de signo fue consistente, entonces, al regresar a la configuración original, se tendrá el signo original. Esto es lo que se debe comprobar.
El espacio-tiempo original es tridimensional, llamémoslo espacio M. Ahora estamos considerando un círculo en el espacio de configuración, que es lo mismo que una configuración simple en el espacio . Para averiguar el número de veces que el signo de la raíz cuadrada se desvanece al dar una vuelta alrededor del círculo, basta con contar el número de ceros del determinante en , porque cada vez que un par de valores propios cambia de signo habrá un cero. Nótese que los valores propios vienen en pares, como se analiza por ejemplo en Índice supersimétrico de la teoría de calibración tridimensional, y por lo tanto, siempre que un valor propio cruza cero, dos lo cruzarán.
Resumiendo, queremos saber cuántas veces cambia de signo el signo de la raíz cuadrada del determinante de un operador de Dirac cuando se circunnavega el círculo. Los valores propios del operador de Dirac vienen en pares, y el signo cambia cada vez que un par cruza el cero. Por lo tanto, estamos contando los ceros del operador de Dirac en el espacio . Estos ceros se cuentan mediante el teorema del índice de Atiyah-Singer , que da la respuesta h veces la segunda clase de Chern del fibrado de calibración sobre . Esta segunda clase de Chern puede ser cualquier número entero. En particular, puede ser uno, en cuyo caso el signo cambia h veces. Si el signo cambia un número impar de veces, la función de partición está mal definida y, por lo tanto, hay una anomalía.
En conclusión, hemos encontrado que existe una anomalía si el número n de fermiones de Majorana es impar y si el número dual de Coxeter h del grupo de calibración también es impar.
Las teorías de calibración de Chern-Simons tridimensionales también son anómalas cuando su nivel es semiintegral. De hecho, la derivación es idéntica a la anterior. Utilizando el teorema de Stokes y el hecho de que la derivada exterior de la acción de Chern-Simons es igual al número de instantones , la teoría tetradimensional tiene un ángulo theta igual al nivel de la teoría de Chern-Simons, y por lo tanto la función de partición tetradimensional es igual a -1 precisamente cuando el número de instantones es impar. Esto implica que la función de partición tridimensional está mal definida por un factor de -1 cuando se consideran deformaciones sobre una trayectoria con un número impar de instantones.
En particular, las anomalías provenientes de los fermiones y los términos de Chern-Simons de medio nivel se cancelarán si y solo si el número de fermiones de Majorana más el doble del nivel de Chern-Simons es par. En el caso n=1, esta afirmación es la condición de cuantificación de medio entero en las teorías de calibración de Chern-Simons supersimétricas presentadas en El coeficiente de Chern-Simons en las teorías de calibración de Yang-Mills supersimétricas. Cuando n=2, esta contribución a la función de partición se encontró en y 3 teorías de calibración en Branes and Supersymmetry Breaking in Three Dimensional Gauge Theories.
El hecho de que tanto los términos de Chern-Simons como los fermiones de Majorana sean anómalos bajo deformaciones con números de instantones impares no es una coincidencia. Cuando la masa de Pauli-Villars para n fermiones de Majorana se lleva al infinito, Redlich encontró que la contribución restante a la función de partición es igual a un término de Chern-Simons en el nivel − n /2. Esto significa en particular que la integración de n fermiones de Majorana cargados renormaliza el nivel de Chern-Simons de la teoría de calibración correspondiente por − n /2. El hecho de que el nivel de Chern-Simons solo pueda tomar valores discretos implica que la constante de acoplamiento no puede entrar en la corrección del nivel. Esto solo ocurre para la corrección de 1 bucle, por lo tanto, la contribución de los fermiones de Majorana al nivel de Chern-Simons puede calcularse con precisión en 1 bucle y todas las correcciones de bucle superiores se desvanecen.
