Serie de Fourier

Decomposition of periodic functions into sums of simpler sinusoidal forms

Una serie de Fourier ( / ˈ f ʊr i eɪ , - i ər / ^[1] ) es una expansión de una función periódica en una suma de funciones trigonométricas . La serie de Fourier es un ejemplo de una serie trigonométrica , pero no todas las series trigonométricas son series de Fourier. ^[2] Al expresar una función como una suma de senos y cosenos, muchos problemas que involucran la función se vuelven más fáciles de analizar porque las funciones trigonométricas se entienden bien. Por ejemplo, las series de Fourier fueron utilizadas por primera vez por Joseph Fourier para encontrar soluciones a la ecuación del calor . Esta aplicación es posible porque las derivadas de las funciones trigonométricas caen en patrones simples. Las series de Fourier no se pueden utilizar para aproximar funciones arbitrarias, porque la mayoría de las funciones tienen infinitos términos en su serie de Fourier, y las series no siempre convergen . Las funciones de buen comportamiento, por ejemplo, las funciones suaves , tienen series de Fourier que convergen a la función original. Los coeficientes de la serie de Fourier se determinan mediante integrales de la función multiplicada por funciones trigonométricas, descritas en Formas comunes de la serie de Fourier a continuación.

El estudio de la convergencia de las series de Fourier se centra en el comportamiento de las sumas parciales , lo que implica estudiar el comportamiento de la suma a medida que se suman más y más términos de la serie. Las figuras siguientes ilustran algunos resultados de series parciales de Fourier para los componentes de una onda cuadrada .

• 
  Una onda cuadrada (representada como el punto azul) se aproxima mediante su sexta suma parcial (representada como el punto violeta), formada al sumar los primeros seis términos (representados como flechas) de la serie de Fourier de la onda cuadrada. Cada flecha comienza en la suma vertical de todas las flechas a su izquierda (es decir, la suma parcial anterior).
• 
  Las primeras cuatro sumas parciales de la serie de Fourier para una onda cuadrada . A medida que se añaden más armónicos, las sumas parciales convergen (se vuelven cada vez más parecidas) a la onda cuadrada.
• 
  La función (en rojo) es una suma de la serie de Fourier de 6 ondas sinusoidales armónicamente relacionadas (en azul). Su transformada de Fourier es una representación en el dominio de la frecuencia que revela las amplitudes de las ondas sinusoidales sumadas. ${\displaystyle s_{6}(x)}$ ${\displaystyle S(f)}$

Las series de Fourier están estrechamente relacionadas con la transformada de Fourier , una herramienta más general que incluso puede encontrar la información de frecuencia para funciones que no son periódicas. Las funciones periódicas se pueden identificar con funciones en un círculo; por esta razón, las series de Fourier son objeto del análisis de Fourier en un círculo, generalmente denotado como o . La transformada de Fourier también es parte del análisis de Fourier , pero se define para funciones en . ${\displaystyle \mathbb {T} }$ ${\displaystyle S_{1}}$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$

Desde la época de Fourier, se han descubierto muchos enfoques diferentes para definir y comprender el concepto de serie de Fourier, todos ellos coherentes entre sí, pero cada uno de los cuales enfatiza diferentes aspectos del tema. Algunos de los enfoques más potentes y elegantes se basan en ideas y herramientas matemáticas que no estaban disponibles en la época de Fourier. Fourier definió originalmente la serie de Fourier para funciones de valor real de argumentos reales, y utilizó las funciones seno y coseno en la descomposición. Desde entonces se han definido muchas otras transformadas relacionadas con Fourier , lo que extendió su idea inicial a muchas aplicaciones y dio origen a un área de las matemáticas llamada análisis de Fourier .

Formas comunes de la serie de Fourier

Una serie de Fourier es una función periódica continua creada por la suma de funciones sinusoidales relacionadas armónicamente. Tiene varias formas diferentes, pero equivalentes, que se muestran aquí como sumas parciales. Pero en teoría, los símbolos con subíndice, llamados coeficientes , y el período, determinan la función de la siguiente manera : ${\displaystyle N\rightarrow \infty .}$ ${\displaystyle P,}$ ${\displaystyle s_{\scriptscriptstyle N}(x)}$

Fig. 1. El gráfico superior muestra una función no periódica s ( x ) en azul definida solo en el intervalo rojo de 0 a P . La función se puede analizar en este intervalo para producir la serie de Fourier en el gráfico inferior. La serie de Fourier siempre es una función periódica, incluso si la función original s ( x ) no lo es.

Serie de Fourier, forma amplitud-fase

Serie de Fourier, forma seno-coseno

Serie de Fourier, forma exponencial

Los armónicos se indexan mediante un número entero, que es también el número de ciclos que dan las sinusoides correspondientes en el intervalo . Por lo tanto, las sinusoides tienen : ${\displaystyle n,}$ ${\displaystyle P}$

• una longitud de onda igual a en las mismas unidades que . ${\displaystyle {\tfrac {P}{n}}}$ ${\displaystyle x}$
• una frecuencia igual a en las unidades recíprocas de . ${\displaystyle {\tfrac {n}{P}}}$ ${\displaystyle x}$

Claramente, estas series pueden representar funciones que son simplemente una suma de una o más frecuencias armónicas. Lo notable es que también pueden representar frecuencias intermedias y/o funciones no sinusoidales debido al número infinito de términos. La forma amplitud-fase es particularmente útil por su comprensión de la lógica de los coeficientes de la serie (véase § Derivación). La forma exponencial es más fácil de generalizar para funciones de valores complejos (véase § Funciones de valores complejos).

La equivalencia de estas formas requiere ciertas relaciones entre los coeficientes. Por ejemplo, la identidad trigonométrica :

Equivalencia de formas polares y rectangulares

significa que :

Por lo tanto y son las coordenadas rectangulares de un vector con coordenadas polares y ${\displaystyle A_{n}}$ ${\displaystyle B_{n}}$ ${\displaystyle D_{n}}$ ${\displaystyle \varphi _{n}.}$

Los coeficientes pueden darse o suponerse, como en el caso de un sintetizador musical o de muestras de tiempo de una forma de onda. En este último caso, la forma exponencial de la serie de Fourier sintetiza una transformada de Fourier de tiempo discreto donde la variable representa la frecuencia en lugar del tiempo. ${\displaystyle x}$

Pero normalmente los coeficientes se determinan mediante el análisis de frecuencia/armónico de una función de valor real dada y representan el tiempo : ${\displaystyle s(x),}$ ${\displaystyle x}$

Análisis de series de Fourier

El objetivo es converger a como máximo o a todos los valores de en un intervalo de longitud. Para las funciones de buen comportamiento típicas de los procesos físicos, habitualmente se supone la igualdad, y las condiciones de Dirichlet proporcionan condiciones suficientes. ${\displaystyle s_{\scriptstyle {\infty }}}$ ${\displaystyle s(x)}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle P.}$

La notación representa la integración sobre el intervalo elegido. Las opciones típicas son y . Algunos autores definen porque simplifica los argumentos de las funciones sinusoidales, a expensas de la generalidad. Y algunos autores suponen que también es -periódica, en cuyo caso se aproxima a la función completa. El factor de escala se explica tomando un caso simple : Solo se necesita el término de la ecuación 2 para la convergencia, con y   En consecuencia, la ecuación 5 proporciona : ${\displaystyle \int _{P}}$ ${\displaystyle [-P/2,P/2]}$ ${\displaystyle [0,P]}$ ${\displaystyle P\triangleq 2\pi }$ ${\displaystyle s(x)}$ ${\displaystyle P}$ ${\displaystyle s_{\scriptstyle {\infty }}}$ ${\displaystyle {\tfrac {2}{P}}}$ ${\displaystyle s(x)=\cos \left(2\pi {\tfrac {k}{P}}x\right).}$ ${\displaystyle n=k}$ ${\displaystyle A_{k}=1}$ ${\displaystyle B_{k}=0.}$

${\displaystyle A_{k}={\frac {2}{P}}\underbrace {\int _{P}\cos ^{2}\left(2\pi {\tfrac {k}{P}}x\right)\,dx} _{P/2}=1,}$       según sea necesario.

Coeficientes en forma exponencial

Otra identidad aplicable es la fórmula de Euler :

${\displaystyle {\begin{aligned}\cos \left(2\pi {\tfrac {n}{P}}x-\varphi _{n}\right)&{}\equiv {\tfrac {1}{2}}e^{i\left(2\pi {\tfrac {n}{P}}x-\varphi _{n}\right)}+{\tfrac {1}{2}}e^{-i\left(2\pi {\tfrac {n}{P}}x-\varphi _{n}\right)}\\[6pt]&=\left({\tfrac {1}{2}}e^{-i\varphi _{n}}\right)\cdot e^{i2\pi {\tfrac {+n}{P}}x}+\left({\tfrac {1}{2}}e^{-i\varphi _{n}}\right)^{*}\cdot e^{i2\pi {\tfrac {-n}{P}}x}\end{aligned}}}$

(Nota : el ∗ denota conjugación compleja ).

Sustituyendo esto en la ecuación 1 y comparándolo con la ecuación 3, finalmente se revela :

Coeficientes en forma exponencial

En cambio :

Relaciones inversas

${\displaystyle {\begin{aligned}A_{0}&=C_{0}&\\A_{n}&=C_{n}+C_{-n}\qquad &{\textrm {for}}~n>0\\B_{n}&=i(C_{n}-C_{-n})\qquad &{\textrm {for}}~n>0\end{aligned}}}$

Sustituyendo la ecuación 5 en la ecuación 6 también se revela : ^[3]

Análisis de series de Fourier

Funciones de valores complejos

Las ecuaciones 7 y 3 también se aplican cuando es una función de valor complejo. ^[A] Esto se deduce expresando y como series de Fourier de valores reales separadas, y ${\displaystyle s(x)}$ ${\displaystyle \operatorname {Re} (s_{N}(x))}$ ${\displaystyle \operatorname {Im} (s_{N}(x))}$ ${\displaystyle s_{N}(x)=\operatorname {Re} (s_{N}(x))+i\ \operatorname {Im} (s_{N}(x)).}$

Derivación

Los coeficientes y pueden entenderse y derivarse en términos de la correlación cruzada entre y una sinusoide en la frecuencia . Para una frecuencia general y un intervalo de análisis, la función de correlación cruzada : ${\displaystyle D_{n}}$ ${\displaystyle \varphi _{n}}$ ${\displaystyle s(x)}$ ${\displaystyle {\tfrac {n}{P}}}$ ${\displaystyle f,}$ ${\displaystyle [x_{0},x_{0}+P],}$

Fig. 2. La curva azul es la correlación cruzada de una onda cuadrada y una función coseno, ya que el desfase del coseno varía a lo largo de un ciclo. La amplitud y el desfase en el valor máximo son las coordenadas polares de un armónico en la expansión de la serie de Fourier de la onda cuadrada. Las coordenadas rectangulares correspondientes se pueden determinar evaluando la correlación cruzada con solo dos desfases separados por 90º.

Derivación de la ecuación 1

es esencialmente un filtro adaptado , con plantilla . El máximo de es una medida de la amplitud de la frecuencia en la función , y el valor de en el máximo determina la fase de esa frecuencia. La figura 2 es un ejemplo, donde es una onda cuadrada (no se muestra) y la frecuencia es el armónico. También es un ejemplo de derivación del máximo a partir de solo dos muestras, en lugar de buscar en toda la función. Al combinar la ecuación 8 con la ecuación 4 se obtiene : ${\displaystyle \cos(2\pi fx)}$ ${\displaystyle \mathrm {X} _{f}(\tau )}$ ${\displaystyle (D)}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle s(x)}$ ${\displaystyle \tau }$ ${\displaystyle (\varphi )}$ ${\displaystyle s(x)}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle 4^{\text{th}}}$

${\displaystyle {\begin{aligned}\mathrm {X} _{n}(\varphi )&={\tfrac {2}{P}}\int _{P}s(x)\cdot \cos \left(2\pi {\tfrac {n}{P}}x-\varphi \right)\,dx;\quad \varphi \in [0,2\pi ]\\&=\cos(\varphi )\cdot \underbrace {{\tfrac {2}{P}}\int _{P}s(x)\cdot \cos \left(2\pi {\tfrac {n}{P}}x\right)\,dx} _{A}+\sin(\varphi )\cdot \underbrace {{\tfrac {2}{P}}\int _{P}s(x)\cdot \sin \left(2\pi {\tfrac {n}{P}}x\right)\,dx} _{B}\\&=\cos(\varphi )\cdot A+\sin(\varphi )\cdot B\end{aligned}}}$

La derivada de es cero en la fase de máxima correlación. ${\displaystyle \mathrm {X} _{n}(\varphi )}$

${\displaystyle \mathrm {X} '_{n}(\varphi )=\sin(\varphi )\cdot A-\cos(\varphi )\cdot B=0\quad \longrightarrow \quad \tan(\varphi )={\frac {B}{A}}\quad \longrightarrow \quad \varphi =\arctan(B,A)}$

Por lo tanto, al calcular y según la ecuación 5 se crea la fase de máxima correlación del componente . Y la amplitud del componente es : ${\displaystyle A_{n}}$ ${\displaystyle B_{n}}$ ${\displaystyle \varphi _{n}}$

${\displaystyle {\begin{aligned}D_{n}\triangleq \mathrm {X} _{n}(\varphi _{n})\ &=\cos(\varphi _{n})\cdot A_{n}+\sin(\varphi _{n})\cdot B_{n}\\&={\frac {A_{n}}{\sqrt {A_{n}^{2}+B_{n}^{2}}}}\cdot A_{n}+{\frac {B_{n}}{\sqrt {A_{n}^{2}+B_{n}^{2}}}}\cdot B_{n}={\frac {A_{n}^{2}+B_{n}^{2}}{\sqrt {A_{n}^{2}+B_{n}^{2}}}}&={\sqrt {A_{n}^{2}+B_{n}^{2}}}.\end{aligned}}}$

Otras notaciones comunes

La notación es inadecuada para analizar los coeficientes de Fourier de varias funciones diferentes. Por lo tanto, se suele reemplazar por una forma modificada de la función ( en este caso), como o , y la notación funcional a menudo reemplaza el subíndice : ${\displaystyle C_{n}}$ ${\displaystyle s,}$ ${\displaystyle {\widehat {s}}(n)}$ ${\displaystyle S[n]}$

${\displaystyle {\begin{aligned}s(x)&=\sum _{n=-\infty }^{\infty }{\widehat {s}}(n)\cdot e^{i2\pi {\tfrac {n}{P}}x}&&\scriptstyle {\text{common mathematics notation}}\\&=\sum _{n=-\infty }^{\infty }S[n]\cdot e^{i2\pi {\tfrac {n}{P}}x}&&\scriptstyle {\text{common engineering notation}}\end{aligned}}}$

En ingeniería, en particular cuando la variable representa el tiempo, la secuencia de coeficientes se denomina representación del dominio de frecuencia . Los corchetes se utilizan a menudo para enfatizar que el dominio de esta función es un conjunto discreto de frecuencias. ${\displaystyle x}$

Otra representación del dominio de frecuencia comúnmente utilizada utiliza los coeficientes de la serie de Fourier para modular un peine de Dirac :

${\displaystyle S(f)\ \triangleq \ \sum _{n=-\infty }^{\infty }S[n]\cdot \delta \left(f-{\frac {n}{P}}\right),}$

donde representa un dominio de frecuencia continua. Cuando la variable tiene unidades de segundos, tiene unidades de hercios . Los "dientes" del peine están espaciados en múltiplos (es decir, armónicos ) de , lo que se denomina frecuencia fundamental . se puede recuperar a partir de esta representación mediante una transformada de Fourier inversa : ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle {\tfrac {1}{P}}}$ ${\displaystyle s_{\infty }(x)}$

${\displaystyle {\begin{aligned}{\mathcal {F}}^{-1}\{S(f)\}&=\int _{-\infty }^{\infty }\left(\sum _{n=-\infty }^{\infty }S[n]\cdot \delta \left(f-{\frac {n}{P}}\right)\right)e^{i2\pi fx}\,df,\\[6pt]&=\sum _{n=-\infty }^{\infty }S[n]\cdot \int _{-\infty }^{\infty }\delta \left(f-{\frac {n}{P}}\right)e^{i2\pi fx}\,df,\\[6pt]&=\sum _{n=-\infty }^{\infty }S[n]\cdot e^{i2\pi {\tfrac {n}{P}}x}\ \ \triangleq \ s_{\infty }(x).\end{aligned}}}$

Por lo tanto, la función construida se denomina comúnmente transformada de Fourier , aunque la integral de Fourier de una función periódica no es convergente en las frecuencias armónicas. ^[B] ${\displaystyle S(f)}$

Ejemplo de análisis

Gráfico de la onda de diente de sierra , una continuación periódica de la función lineal en el intervalo ${\displaystyle s(x)=x/\pi }$ ${\displaystyle (-\pi ,\pi ]}$

Trama animada de las primeras cinco series parciales sucesivas de Fourier

Consideremos una función de diente de sierra :

${\displaystyle s(x)={\frac {x}{\pi }},\quad \mathrm {for} -\pi <x<\pi ,}$

${\displaystyle s(x+2\pi k)=s(x),\quad \mathrm {for} -\pi <x<\pi {\text{ and }}k\in \mathbb {Z} .}$

En este caso, los coeficientes de Fourier vienen dados por

${\displaystyle {\begin{aligned}A_{n}&={\frac {1}{\pi }}\int _{-\pi }^{\pi }s(x)\cos(nx)\,dx=0,\quad n\geq 0.\\[4pt]B_{n}&={\frac {1}{\pi }}\int _{-\pi }^{\pi }s(x)\sin(nx)\,dx\\[4pt]&=-{\frac {2}{\pi n}}\cos(n\pi )+{\frac {2}{\pi ^{2}n^{2}}}\sin(n\pi )\\[4pt]&={\frac {2\,(-1)^{n+1}}{\pi n}},\quad n\geq 1.\end{aligned}}}$

Se puede demostrar que la serie de Fourier converge a en cada punto donde es diferenciable, y por lo tanto : ${\displaystyle s(x)}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle s}$

Cuando , la serie de Fourier converge a 0, que es la mitad de la suma de los límites izquierdo y derecho de s en . Este es un caso particular del teorema de Dirichlet para la serie de Fourier. ${\displaystyle x=\pi }$ ${\displaystyle x=\pi }$

Este ejemplo conduce a una solución del problema de Basilea .

Convergencia

En el § Teorema de Fourier que demuestra la convergencia de las series de Fourier se presenta una prueba de que una serie de Fourier es una representación válida de cualquier función periódica (que satisface las condiciones de Dirichlet ).

En aplicaciones de ingeniería , generalmente se supone que la serie de Fourier converge excepto en discontinuidades de salto, ya que las funciones que se encuentran en ingeniería se comportan mejor que las funciones que se encuentran en otras disciplinas. En particular, si es continua y la derivada de (que puede no existir en todas partes) es integrable al cuadrado, entonces la serie de Fourier de converge de manera absoluta y uniforme a . ^[4] Si una función es integrable al cuadrado en el intervalo , entonces la serie de Fourier converge a la función en casi todas partes . Es posible definir coeficientes de Fourier para funciones o distribuciones más generales, en cuyo caso la convergencia puntual a menudo falla, y generalmente se estudia la convergencia en la norma o convergencia débil . ${\displaystyle s}$ ${\displaystyle s(x)}$ ${\displaystyle s}$ ${\displaystyle s(x)}$ ${\displaystyle [x_{0},x_{0}+P]}$

• Cuatro sumas parciales (series de Fourier) de longitudes de 1, 2, 3 y 4 términos, que muestran cómo la aproximación a una onda cuadrada mejora a medida que aumenta el número de términos (animación)
• Cuatro sumas parciales (series de Fourier) de longitudes 1, 2, 3 y 4 términos, que muestran cómo la aproximación a una onda de diente de sierra mejora a medida que aumenta el número de términos (animación)
• 
  Ejemplo de convergencia hacia una función algo arbitraria. Nótese el desarrollo del "ringing" ( fenómeno de Gibbs ) en las transiciones hacia/desde las secciones verticales.

Historia

La serie de Fourier recibe su nombre en honor a Jean-Baptiste Joseph Fourier (1768-1830), quien realizó importantes contribuciones al estudio de las series trigonométricas , después de las investigaciones preliminares de Leonhard Euler , Jean le Rond d'Alembert y Daniel Bernoulli . ^[C] Fourier introdujo la serie con el propósito de resolver la ecuación del calor en una placa de metal, publicando sus resultados iniciales en su Mémoire sur la propagation de la chaleur dans les corps solides ( Tratado sobre la propagación del calor en los cuerpos sólidos ) de 1807, y publicando su Théorie analytique de la chaleur ( Teoría analítica del calor ) en 1822. La Mémoire introdujo el análisis de Fourier, específicamente las series de Fourier. A través de la investigación de Fourier se estableció el hecho de que una función arbitraria (al principio, continua ^[5] y luego generalizada a cualquier sección -suave ^[6] ) puede representarse mediante una serie trigonométrica. El primer anuncio de este gran descubrimiento fue realizado por Fourier en 1807, ante la Academia Francesa . ^[7] Las primeras ideas de descomposición de una función periódica en la suma de funciones oscilantes simples se remontan al siglo III a. C., cuando los astrónomos antiguos propusieron un modelo empírico de los movimientos planetarios, basado en deferentes y epiciclos .

La ecuación del calor es una ecuación diferencial parcial . Antes del trabajo de Fourier, no se conocía ninguna solución a la ecuación del calor en el caso general, aunque se conocían soluciones particulares si la fuente de calor se comportaba de una manera simple, en particular, si la fuente de calor era una onda seno o coseno . Estas soluciones simples ahora se denominan a veces soluciones propias . La idea de Fourier era modelar una fuente de calor complicada como una superposición (o combinación lineal ) de ondas seno y coseno simples, y escribir la solución como una superposición de las soluciones propias correspondientes . Esta superposición o combinación lineal se llama serie de Fourier.

Desde un punto de vista moderno, los resultados de Fourier son algo informales, debido a la falta de una noción precisa de función e integral a principios del siglo XIX. Posteriormente, Peter Gustav Lejeune Dirichlet ^[8] y Bernhard Riemann ^{[9] [10] [11]} expresaron los resultados de Fourier con mayor precisión y formalidad.

Aunque la motivación original era resolver la ecuación del calor, más tarde se hizo evidente que las mismas técnicas podrían aplicarse a una amplia gama de problemas matemáticos y físicos, y especialmente a aquellos que involucran ecuaciones diferenciales lineales con coeficientes constantes, para los cuales las soluciones propias son senos paranasales . La serie de Fourier tiene muchas aplicaciones de este tipo en ingeniería eléctrica , análisis de vibraciones , acústica , óptica , procesamiento de señales , procesamiento de imágenes , mecánica cuántica , econometría , ^[12] teoría de capas , ^[13] etc.

Principios

Joseph Fourier escribió: ^{[ dudoso – discutir ]}

${\displaystyle \varphi (y)=a_{0}\cos {\frac {\pi y}{2}}+a_{1}\cos 3{\frac {\pi y}{2}}+a_{2}\cos 5{\frac {\pi y}{2}}+\cdots .}$

Multiplicando ambos lados por , y luego integrando de a obtenemos: ${\displaystyle \cos(2k+1){\frac {\pi y}{2}}}$ ${\displaystyle y=-1}$ ${\displaystyle y=+1}$

${\displaystyle a_{k}=\int _{-1}^{1}\varphi (y)\cos(2k+1){\frac {\pi y}{2}}\,dy.}$

—  Joseph Fourier, Mémoire sur la propagation de la chaleur dans les corps solides . (1807) ^{[14] [D]}

Esto da inmediatamente cualquier coeficiente a _k de la serie trigonométrica para φ( y ) para cualquier función que tenga dicha expansión. Funciona porque si φ tiene dicha expansión, entonces (bajo supuestos de convergencia adecuados) la integral puede llevarse a cabo término por término. Pero todos los términos que involucran para j ≠ k se anulan cuando se integran de −1 a 1, dejando solo el término. $${\displaystyle {\begin{aligned}a_{k}&=\int _{-1}^{1}\varphi (y)\cos(2k+1){\frac {\pi y}{2}}\,dy\\&=\int _{-1}^{1}\left(a\cos {\frac {\pi y}{2}}\cos(2k+1){\frac {\pi y}{2}}+a'\cos 3{\frac {\pi y}{2}}\cos(2k+1){\frac {\pi y}{2}}+\cdots \right)\,dy\end{aligned}}}$$ ${\displaystyle \cos(2j+1){\frac {\pi y}{2}}\cos(2k+1){\frac {\pi y}{2}}}$ ${\displaystyle k^{\text{th}}}$

En estas pocas líneas, que se aproximan al formalismo moderno utilizado en las series de Fourier, Fourier revolucionó tanto las matemáticas como la física. Aunque Euler , d'Alembert , Daniel Bernoulli y Gauss habían utilizado series trigonométricas similares , Fourier creía que dichas series trigonométricas podían representar cualquier función arbitraria. En qué sentido esto es realmente cierto es una cuestión un tanto sutil y los intentos a lo largo de muchos años de aclarar esta idea han conducido a importantes descubrimientos en las teorías de convergencia , espacios de funciones y análisis armónico .

Cuando Fourier presentó un ensayo de competición posterior en 1811, el comité (que incluía a Lagrange , Laplace , Malus y Legendre , entre otros) concluyó: ...la manera en que el autor llega a estas ecuaciones no está exenta de dificultades y... su análisis para integrarlas todavía deja algo que desear en cuanto a generalidad e incluso rigor . ^{[ cita requerida ]}

La motivación de Fourier

Distribución de calor en una placa metálica, según el método de Fourier

La expansión de la serie de Fourier de la función diente de sierra (arriba) parece más complicada que la fórmula simple , por lo que no resulta inmediatamente evidente por qué se necesitaría la serie de Fourier. Si bien existen muchas aplicaciones, la motivación de Fourier fue resolver la ecuación del calor . Por ejemplo, considere una placa de metal con forma de cuadrado cuyos lados miden metros, con coordenadas . Si no hay una fuente de calor dentro de la placa, y si tres de los cuatro lados se mantienen a 0 grados Celsius, mientras que el cuarto lado, dado por , se mantiene en el gradiente de temperatura grados Celsius, para en , entonces se puede demostrar que la distribución de calor estacionaria (o la distribución de calor después de que haya transcurrido un largo período de tiempo) está dada por ${\displaystyle s(x)={\tfrac {x}{\pi }}}$ ${\displaystyle \pi }$ ${\displaystyle (x,y)\in [0,\pi ]\times [0,\pi ]}$ ${\displaystyle y=\pi }$ ${\displaystyle T(x,\pi )=x}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle (0,\pi )}$

${\displaystyle T(x,y)=2\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {(-1)^{n+1}}{n}}\sin(nx){\sinh(ny) \over \sinh(n\pi )}.}$

Aquí, sinh es la función seno hiperbólica . Esta solución de la ecuación del calor se obtiene multiplicando cada término de la ecuación 9 por . Si bien nuestra función de ejemplo parece tener una serie de Fourier innecesariamente complicada, la distribución del calor no es trivial. La función no se puede escribir como una expresión de forma cerrada . Este método de resolver el problema del calor fue posible gracias al trabajo de Fourier. ${\displaystyle \sinh(ny)/\sinh(n\pi )}$ ${\displaystyle s(x)}$ ${\displaystyle T(x,y)}$ ${\displaystyle T}$

Otras aplicaciones

Otra aplicación es resolver el problema de Basilea utilizando el teorema de Parseval . El ejemplo se generaliza y se puede calcular ζ (2 n ), para cualquier entero positivo n .

Tabla de series de Fourier comunes

En la siguiente tabla se muestran algunos pares comunes de funciones periódicas y sus coeficientes de series de Fourier.

• ${\displaystyle s(x)}$designa una función periódica con período . ${\displaystyle P}$
• ${\displaystyle A_{0},A_{n},B_{n}}$designar los coeficientes de la serie de Fourier (forma seno-coseno) de la función periódica . ${\displaystyle s(x)}$

Tabla de propiedades básicas

Esta tabla muestra algunas operaciones matemáticas en el dominio del tiempo y el efecto correspondiente en los coeficientes de la serie de Fourier. Notación:

• La conjugación compleja se denota con un asterisco.
• ${\displaystyle s(x),r(x)}$designar funciones periódicas o funciones definidas únicamente para ${\displaystyle P}$ ${\displaystyle x\in [0,P].}$
• ${\displaystyle S[n],R[n]}$designar los coeficientes de la serie de Fourier (forma exponencial) de y ${\displaystyle s}$ ${\displaystyle r.}$

Propiedades de simetría

Cuando las partes reales e imaginarias de una función compleja se descomponen en sus partes pares e impares , hay cuatro componentes, denotados a continuación por los subíndices RE, RO, IE e IO. Y hay una correspondencia biunívoca entre los cuatro componentes de una función de tiempo compleja y los cuatro componentes de su transformada de frecuencia compleja: ^[17]

${\displaystyle {\begin{array}{rccccccccc}{\text{Time domain}}&s&=&s_{_{\text{RE}}}&+&s_{_{\text{RO}}}&+&is_{_{\text{IE}}}&+&\underbrace {i\ s_{_{\text{IO}}}} \\&{\Bigg \Updownarrow }{\mathcal {F}}&&{\Bigg \Updownarrow }{\mathcal {F}}&&\ \ {\Bigg \Updownarrow }{\mathcal {F}}&&\ \ {\Bigg \Updownarrow }{\mathcal {F}}&&\ \ {\Bigg \Updownarrow }{\mathcal {F}}\\{\text{Frequency domain}}&S&=&S_{\text{RE}}&+&\overbrace {\,i\ S_{\text{IO}}\,} &+&iS_{\text{IE}}&+&S_{\text{RO}}\end{array}}}$

De aquí se desprenden diversas relaciones, por ejemplo:

• La transformada de una función de valor real ( s _RE + s _RO ) es la función simétrica par S _RE + i S _IO . Por el contrario, una transformada simétrica par implica un dominio temporal de valor real.
• La transformada de una función de valor imaginario ( i s _IE + i s _IO ) es la función simétrica impar S _RO + i S _IE , y la inversa es verdadera.
• La transformada de una función par-simétrica ( s _RE + i s _IO ) es la función de valor real S _RE + S _RO , y lo inverso es cierto.
• La transformada de una función impar-simétrica ( s _RO + i s _IE ) es la función de valor imaginario i S _IE + i S _IO , y lo inverso es cierto.

Otras propiedades

Lema de Riemann-Lebesgue

Si es integrable , , y Este resultado se conoce como el lema de Riemann-Lebesgue . ${\displaystyle S}$ ${\textstyle \lim _{|n|\to \infty }S[n]=0}$ ${\textstyle \lim _{n\to +\infty }a_{n}=0}$ ${\textstyle \lim _{n\to +\infty }b_{n}=0.}$

Teorema de Parseval

Si pertenece a (periódico sobre un intervalo de longitud ) entonces : ${\displaystyle s}$ ${\displaystyle L^{2}(P)}$ ${\displaystyle P}$ ${\textstyle {\frac {1}{P}}\int _{P}|s(x)|^{2}\,dx=\sum _{n=-\infty }^{\infty }{\Bigl |}S[n]{\Bigr |}^{2}.}$

Teorema de Plancherel

Si son coeficientes y entonces existe una función única tal que para cada . ${\displaystyle c_{0},\,c_{\pm 1},\,c_{\pm 2},\ldots }$ ${\textstyle \sum _{n=-\infty }^{\infty }|c_{n}|^{2}<\infty }$ ${\displaystyle s\in L^{2}(P)}$ ${\displaystyle S[n]=c_{n}}$ ${\displaystyle n}$

Teoremas de convolución

Dadas funciones periódicas y con coeficientes de series de Fourier y ${\displaystyle P}$ ${\displaystyle s_{_{P}}}$ ${\displaystyle r_{_{P}}}$ ${\displaystyle S[n]}$ ${\displaystyle R[n],}$ ${\displaystyle n\in \mathbb {Z} ,}$

• El producto puntual : también es periódico, y sus coeficientes de serie de Fourier están dados por la convolución discreta de las secuencias y : $${\displaystyle h_{_{P}}(x)\triangleq s_{_{P}}(x)\cdot r_{_{P}}(x)}$$ ${\displaystyle P}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle R}$ $${\displaystyle H[n]=\{S*R\}[n].}$$
• La convolución periódica : también es -periódica, con coeficientes de la serie de Fourier : $${\displaystyle h_{_{P}}(x)\triangleq \int _{P}s_{_{P}}(\tau )\cdot r_{_{P}}(x-\tau )\,d\tau }$$ ${\displaystyle P}$ $${\displaystyle H[n]=P\cdot S[n]\cdot R[n].}$$
• Una secuencia doblemente infinita en es la secuencia de coeficientes de Fourier de una función en si y sólo si es una convolución de dos secuencias en . Véase ^[18] ${\displaystyle \left\{c_{n}\right\}_{n\in Z}}$ ${\displaystyle c_{0}(\mathbb {Z} )}$ ${\displaystyle L^{1}([0,2\pi ])}$ ${\displaystyle \ell ^{2}(\mathbb {Z} )}$

Propiedad derivada

Decimos que pertenece a si es una función periódica 2 π en la que es diferenciable 2 veces, y su derivada es continua. ${\displaystyle s}$ ${\displaystyle C^{k}(\mathbb {T} )}$ ${\displaystyle s}$ ${\displaystyle \mathbb {R} }$ ${\displaystyle k}$ ${\displaystyle k^{\text{th}}}$

• Si , entonces los coeficientes de Fourier de la derivada se pueden expresar en términos de los coeficientes de Fourier de la función , mediante la fórmula . ${\displaystyle s\in C^{1}(\mathbb {T} )}$ ${\displaystyle {\widehat {s'}}[n]}$ ${\displaystyle s'}$ ${\displaystyle {\widehat {s}}[n]}$ ${\displaystyle s}$ ${\displaystyle {\widehat {s'}}[n]=in{\widehat {s}}[n]}$
• Si , entonces . En particular, dado que para un fijo tenemos como , se deduce que tiende a cero, lo que significa que los coeficientes de Fourier convergen a cero más rápido que la k -ésima potencia de n para cualquier . ${\displaystyle s\in C^{k}(\mathbb {T} )}$ ${\displaystyle {\widehat {s^{(k)}}}[n]=(in)^{k}{\widehat {s}}[n]}$ ${\displaystyle k\geq 1}$ ${\displaystyle {\widehat {s^{(k)}}}[n]\to 0}$ ${\displaystyle n\to \infty }$ ${\displaystyle |n|^{k}{\widehat {s}}[n]}$ ${\displaystyle k\geq 1}$

Grupos compactos

Una de las propiedades interesantes de la transformada de Fourier que hemos mencionado es que lleva a cabo convoluciones en productos puntuales. Si esa es la propiedad que buscamos preservar, se pueden producir series de Fourier en cualquier grupo compacto . Ejemplos típicos incluyen aquellos grupos clásicos que son compactos. Esto generaliza la transformada de Fourier a todos los espacios de la forma L ² ( G ), donde G es un grupo compacto, de tal manera que la transformada de Fourier lleva a cabo convoluciones en productos puntuales. La serie de Fourier existe y converge de manera similar al caso [− π , π ] .

Una extensión alternativa a los grupos compactos es el teorema de Peter-Weyl , que demuestra resultados sobre representaciones de grupos compactos análogos a los de los grupos finitos.

Los orbitales atómicos de la química se describen parcialmente mediante armónicos esféricos , que pueden usarse para producir series de Fourier en la esfera .

Variedades de Riemann

Si el dominio no es un grupo, entonces no hay una convolución definida intrínsecamente. Sin embargo, si es una variedad riemanniana compacta , tiene un operador de Laplace-Beltrami . El operador de Laplace-Beltrami es el operador diferencial que corresponde al operador de Laplace para la variedad riemanniana . Entonces, por analogía, uno puede considerar ecuaciones de calor en . Dado que Fourier llegó a su base al intentar resolver la ecuación de calor, la generalización natural es usar las soluciones propias del operador de Laplace-Beltrami como base. Esto generaliza las series de Fourier a espacios del tipo , donde es una variedad riemanniana. La serie de Fourier converge de formas similares al caso. Un ejemplo típico es tomar como la esfera con la métrica habitual, en cuyo caso la base de Fourier consiste en armónicos esféricos . ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle L^{2}(X)}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle [-\pi ,\pi ]}$ ${\displaystyle X}$

Grupos abelianos localmente compactos

La generalización a grupos compactos que se analizó anteriormente no se puede generalizar a grupos no compactos, no abelianos . Sin embargo, existe una generalización directa a grupos abelianos localmente compactos (LCA) .

Esto generaliza la transformada de Fourier a o , donde es un grupo LCA. Si es compacto, también se obtiene una serie de Fourier, que converge de manera similar al caso, pero si no es compacto, se obtiene en cambio una integral de Fourier . Esta generalización produce la transformada de Fourier habitual cuando el grupo abeliano localmente compacto subyacente es . ${\displaystyle L^{1}(G)}$ ${\displaystyle L^{2}(G)}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle [-\pi ,\pi ]}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle \mathbb {R} }$

Extensiones

Serie de Fourier sobre un cuadrado

También podemos definir la serie de Fourier para funciones de dos variables y en el cuadrado : ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle y}$ ${\displaystyle [-\pi ,\pi ]\times [-\pi ,\pi ]}$ $${\displaystyle {\begin{aligned}f(x,y)&=\sum _{j,k\in \mathbb {Z} }c_{j,k}e^{ijx}e^{iky},\\[5pt]c_{j,k}&={\frac {1}{4\pi ^{2}}}\int _{-\pi }^{\pi }\int _{-\pi }^{\pi }f(x,y)e^{-ijx}e^{-iky}\,dx\,dy.\end{aligned}}}$$

Además de ser útil para resolver ecuaciones diferenciales parciales como la ecuación del calor, una aplicación notable de las series de Fourier sobre el cuadrado es la compresión de imágenes . En particular, el estándar de compresión de imágenes JPEG utiliza la transformada de coseno discreta bidimensional , una forma discreta de la transformada de coseno de Fourier , que utiliza solo el coseno como función base.

En el caso de matrices bidimensionales con una apariencia escalonada, la mitad de los coeficientes de la serie de Fourier desaparecen debido a la simetría adicional. ^[19]

Serie de Fourier de la función periódica de la red de Bravais

Una red de Bravais tridimensional se define como el conjunto de vectores de la forma: donde son números enteros y son tres vectores linealmente independientes. Suponiendo que tenemos alguna función, , tal que obedece la condición de periodicidad para cualquier vector de la red de Bravais , , podríamos hacer una serie de Fourier de ella. Este tipo de función puede ser, por ejemplo, el potencial efectivo que un electrón "siente" dentro de un cristal periódico. Es útil hacer la serie de Fourier del potencial cuando se aplica el teorema de Bloch . Primero, podemos escribir cualquier vector de posición arbitrario en el sistema de coordenadas de la red: donde lo que significa que se define como la magnitud de , por lo que es el vector unitario dirigido a lo largo de . $${\displaystyle \mathbf {R} =n_{1}\mathbf {a} _{1}+n_{2}\mathbf {a} _{2}+n_{3}\mathbf {a} _{3}}$$ ${\displaystyle n_{i}}$ ${\displaystyle \mathbf {a} _{i}}$ ${\displaystyle f(\mathbf {r} )}$ ${\displaystyle \mathbf {R} }$ ${\displaystyle f(\mathbf {r} )=f(\mathbf {R} +\mathbf {r} )}$ ${\displaystyle \mathbf {r} }$ $${\displaystyle \mathbf {r} =x_{1}{\frac {\mathbf {a} _{1}}{a_{1}}}+x_{2}{\frac {\mathbf {a} _{2}}{a_{2}}}+x_{3}{\frac {\mathbf {a} _{3}}{a_{3}}},}$$ ${\displaystyle a_{i}\triangleq |\mathbf {a} _{i}|,}$ ${\displaystyle a_{i}}$ ${\displaystyle \mathbf {a} _{i}}$ ${\displaystyle {\hat {\mathbf {a} _{i}}}={\frac {\mathbf {a} _{i}}{a_{i}}}}$ ${\displaystyle \mathbf {a} _{i}}$

De esta manera podemos definir una nueva función, $${\displaystyle g(x_{1},x_{2},x_{3})\triangleq f(\mathbf {r} )=f\left(x_{1}{\frac {\mathbf {a} _{1}}{a_{1}}}+x_{2}{\frac {\mathbf {a} _{2}}{a_{2}}}+x_{3}{\frac {\mathbf {a} _{3}}{a_{3}}}\right).}$$

Esta nueva función, , es ahora una función de tres variables, cada una de las cuales tiene periodicidad , , y respectivamente: ${\displaystyle g(x_{1},x_{2},x_{3})}$ ${\displaystyle a_{1}}$ ${\displaystyle a_{2}}$ ${\displaystyle a_{3}}$ $${\displaystyle g(x_{1},x_{2},x_{3})=g(x_{1}+a_{1},x_{2},x_{3})=g(x_{1},x_{2}+a_{2},x_{3})=g(x_{1},x_{2},x_{3}+a_{3}).}$$

Esto nos permite construir un conjunto de coeficientes de Fourier, cada uno de ellos indexado por tres enteros independientes . En lo que sigue, utilizamos la notación de funciones para denotar estos coeficientes, donde antes usábamos subíndices. Si escribimos una serie para en el intervalo para , podemos definir lo siguiente: ${\displaystyle m_{1},m_{2},m_{3}}$ ${\displaystyle g}$ ${\displaystyle \left[0,a_{1}\right]}$ ${\displaystyle x_{1}}$ $${\displaystyle h^{\mathrm {one} }(m_{1},x_{2},x_{3})\triangleq {\frac {1}{a_{1}}}\int _{0}^{a_{1}}g(x_{1},x_{2},x_{3})\cdot e^{-i2\pi {\tfrac {m_{1}}{a_{1}}}x_{1}}\,dx_{1}}$$

Y luego podemos escribir: $${\displaystyle g(x_{1},x_{2},x_{3})=\sum _{m_{1}=-\infty }^{\infty }h^{\mathrm {one} }(m_{1},x_{2},x_{3})\cdot e^{i2\pi {\tfrac {m_{1}}{a_{1}}}x_{1}}}$$

Definiciones más detalladas: $${\displaystyle {\begin{aligned}h^{\mathrm {two} }(m_{1},m_{2},x_{3})&\triangleq {\frac {1}{a_{2}}}\int _{0}^{a_{2}}h^{\mathrm {one} }(m_{1},x_{2},x_{3})\cdot e^{-i2\pi {\tfrac {m_{2}}{a_{2}}}x_{2}}\,dx_{2}\\[12pt]&={\frac {1}{a_{2}}}\int _{0}^{a_{2}}dx_{2}{\frac {1}{a_{1}}}\int _{0}^{a_{1}}dx_{1}g(x_{1},x_{2},x_{3})\cdot e^{-i2\pi \left({\tfrac {m_{1}}{a_{1}}}x_{1}+{\tfrac {m_{2}}{a_{2}}}x_{2}\right)}\end{aligned}}}$$

Podemos escribir una vez más como: ${\displaystyle g}$ $${\displaystyle g(x_{1},x_{2},x_{3})=\sum _{m_{1}=-\infty }^{\infty }\sum _{m_{2}=-\infty }^{\infty }h^{\mathrm {two} }(m_{1},m_{2},x_{3})\cdot e^{i2\pi {\tfrac {m_{1}}{a_{1}}}x_{1}}\cdot e^{i2\pi {\tfrac {m_{2}}{a_{2}}}x_{2}}}$$

Finalmente aplicando lo mismo para la tercera coordenada, definimos: $${\displaystyle {\begin{aligned}h^{\mathrm {three} }(m_{1},m_{2},m_{3})&\triangleq {\frac {1}{a_{3}}}\int _{0}^{a_{3}}h^{\mathrm {two} }(m_{1},m_{2},x_{3})\cdot e^{-i2\pi {\tfrac {m_{3}}{a_{3}}}x_{3}}\,dx_{3}\\[12pt]&={\frac {1}{a_{3}}}\int _{0}^{a_{3}}dx_{3}{\frac {1}{a_{2}}}\int _{0}^{a_{2}}dx_{2}{\frac {1}{a_{1}}}\int _{0}^{a_{1}}dx_{1}g(x_{1},x_{2},x_{3})\cdot e^{-i2\pi \left({\tfrac {m_{1}}{a_{1}}}x_{1}+{\tfrac {m_{2}}{a_{2}}}x_{2}+{\tfrac {m_{3}}{a_{3}}}x_{3}\right)}\end{aligned}}}$$

Escribimos como: ${\displaystyle g}$ $${\displaystyle g(x_{1},x_{2},x_{3})=\sum _{m_{1}=-\infty }^{\infty }\sum _{m_{2}=-\infty }^{\infty }\sum _{m_{3}=-\infty }^{\infty }h^{\mathrm {three} }(m_{1},m_{2},m_{3})\cdot e^{i2\pi {\tfrac {m_{1}}{a_{1}}}x_{1}}\cdot e^{i2\pi {\tfrac {m_{2}}{a_{2}}}x_{2}}\cdot e^{i2\pi {\tfrac {m_{3}}{a_{3}}}x_{3}}}$$

Reorganizando: $${\displaystyle g(x_{1},x_{2},x_{3})=\sum _{m_{1},m_{2},m_{3}\in \mathbb {Z} }h^{\mathrm {three} }(m_{1},m_{2},m_{3})\cdot e^{i2\pi \left({\tfrac {m_{1}}{a_{1}}}x_{1}+{\tfrac {m_{2}}{a_{2}}}x_{2}+{\tfrac {m_{3}}{a_{3}}}x_{3}\right)}.}$$

Ahora bien, cada vector reticular recíproco puede escribirse (pero no significa que sea la única forma de escribirlo) como , donde son números enteros y son vectores reticulares recíprocos que satisfacen ( para , y para ). Entonces, para cualquier vector reticular recíproco arbitrario y cualquier vector de posición arbitrario en el espacio reticular de Bravais original, su producto escalar es: ${\displaystyle \mathbf {G} =m_{1}\mathbf {g} _{1}+m_{2}\mathbf {g} _{2}+m_{3}\mathbf {g} _{3}}$ ${\displaystyle m_{i}}$ ${\displaystyle \mathbf {g} _{i}}$ ${\displaystyle \mathbf {g_{i}} \cdot \mathbf {a_{j}} =2\pi \delta _{ij}}$ ${\displaystyle \delta _{ij}=1}$ ${\displaystyle i=j}$ ${\displaystyle \delta _{ij}=0}$ ${\displaystyle i\neq j}$ ${\displaystyle \mathbf {G} }$ ${\displaystyle \mathbf {r} }$ $${\displaystyle \mathbf {G} \cdot \mathbf {r} =\left(m_{1}\mathbf {g} _{1}+m_{2}\mathbf {g} _{2}+m_{3}\mathbf {g} _{3}\right)\cdot \left(x_{1}{\frac {\mathbf {a} _{1}}{a_{1}}}+x_{2}{\frac {\mathbf {a} _{2}}{a_{2}}}+x_{3}{\frac {\mathbf {a} _{3}}{a_{3}}}\right)=2\pi \left(x_{1}{\frac {m_{1}}{a_{1}}}+x_{2}{\frac {m_{2}}{a_{2}}}+x_{3}{\frac {m_{3}}{a_{3}}}\right).}$$

Por lo tanto, queda claro que en nuestra expansión de , la suma es en realidad sobre vectores reticulares recíprocos: ${\displaystyle g(x_{1},x_{2},x_{3})=f(\mathbf {r} )}$ $${\displaystyle f(\mathbf {r} )=\sum _{\mathbf {G} }h(\mathbf {G} )\cdot e^{i\mathbf {G} \cdot \mathbf {r} },}$$

dónde $${\displaystyle h(\mathbf {G} )={\frac {1}{a_{3}}}\int _{0}^{a_{3}}dx_{3}\,{\frac {1}{a_{2}}}\int _{0}^{a_{2}}dx_{2}\,{\frac {1}{a_{1}}}\int _{0}^{a_{1}}dx_{1}\,f\left(x_{1}{\frac {\mathbf {a} _{1}}{a_{1}}}+x_{2}{\frac {\mathbf {a} _{2}}{a_{2}}}+x_{3}{\frac {\mathbf {a} _{3}}{a_{3}}}\right)\cdot e^{-i\mathbf {G} \cdot \mathbf {r} }.}$$

Suponiendo que podemos resolver este sistema de tres ecuaciones lineales para , , y en términos de , y para calcular el elemento de volumen en el sistema de coordenadas rectangular original. Una vez que tenemos , , y en términos de , y , podemos calcular el determinante jacobiano : que después de algunos cálculos y de aplicar algunas identidades de productos cruzados no triviales se puede demostrar que es igual a: $${\displaystyle \mathbf {r} =(x,y,z)=x_{1}{\frac {\mathbf {a} _{1}}{a_{1}}}+x_{2}{\frac {\mathbf {a} _{2}}{a_{2}}}+x_{3}{\frac {\mathbf {a} _{3}}{a_{3}}},}$$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle y}$ ${\displaystyle z}$ ${\displaystyle x_{1}}$ ${\displaystyle x_{2}}$ ${\displaystyle x_{3}}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle y}$ ${\displaystyle z}$ ${\displaystyle x_{1}}$ ${\displaystyle x_{2}}$ ${\displaystyle x_{3}}$ $${\displaystyle {\begin{vmatrix}{\dfrac {\partial x_{1}}{\partial x}}&{\dfrac {\partial x_{1}}{\partial y}}&{\dfrac {\partial x_{1}}{\partial z}}\\[12pt]{\dfrac {\partial x_{2}}{\partial x}}&{\dfrac {\partial x_{2}}{\partial y}}&{\dfrac {\partial x_{2}}{\partial z}}\\[12pt]{\dfrac {\partial x_{3}}{\partial x}}&{\dfrac {\partial x_{3}}{\partial y}}&{\dfrac {\partial x_{3}}{\partial z}}\end{vmatrix}}}$$ $${\displaystyle {\frac {a_{1}a_{2}a_{3}}{\mathbf {a} _{1}\cdot (\mathbf {a} _{2}\times \mathbf {a} _{3})}}}$$

(it may be advantageous for the sake of simplifying calculations, to work in such a rectangular coordinate system, in which it just so happens that ${\displaystyle \mathbf {a} _{1}}$ is parallel to the x axis, ${\displaystyle \mathbf {a} _{2}}$ lies in the xy-plane, and ${\displaystyle \mathbf {a} _{3}}$ has components of all three axes). The denominator is exactly the volume of the primitive unit cell which is enclosed by the three primitive-vectors ${\displaystyle \mathbf {a} _{1}}$, ${\displaystyle \mathbf {a} _{2}}$ and ${\displaystyle \mathbf {a} _{3}}$. In particular, we now know that $${\displaystyle dx_{1}\,dx_{2}\,dx_{3}={\frac {a_{1}a_{2}a_{3}}{\mathbf {a} _{1}\cdot (\mathbf {a} _{2}\times \mathbf {a} _{3})}}\cdot dx\,dy\,dz.}$$

We can write now ${\displaystyle h(\mathbf {G} )}$ as an integral with the traditional coordinate system over the volume of the primitive cell, instead of with the ${\displaystyle x_{1}}$, ${\displaystyle x_{2}}$ and ${\displaystyle x_{3}}$ variables: $${\displaystyle h(\mathbf {G} )={\frac {1}{\mathbf {a} _{1}\cdot (\mathbf {a} _{2}\times \mathbf {a} _{3})}}\int _{C}d\mathbf {r} f(\mathbf {r} )\cdot e^{-i\mathbf {G} \cdot \mathbf {r} }}$$writing ${\displaystyle d\mathbf {r} }$ for the volume element ${\displaystyle dx\,dy\,dz}$; and where ${\displaystyle C}$ is the primitive unit cell, thus, ${\displaystyle \mathbf {a} _{1}\cdot (\mathbf {a} _{2}\times \mathbf {a} _{3})}$ is the volume of the primitive unit cell.

Hilbert space interpretation

In the language of Hilbert spaces, the set of functions ${\displaystyle \left\{e_{n}=e^{inx}:n\in \mathbb {Z} \right\}}$ is an orthonormal basis for the space ${\displaystyle L^{2}([-\pi ,\pi ])}$ of square-integrable functions on ${\displaystyle [-\pi ,\pi ]}$. This space is actually a Hilbert space with an inner product given for any two elements ${\displaystyle f}$ and ${\displaystyle g}$ by:

${\displaystyle \langle f,\,g\rangle \;\triangleq \;{\frac {1}{2\pi }}\int _{-\pi }^{\pi }f(x)g^{*}(x)\,dx,}$ where ${\displaystyle g^{*}(x)}$ is the complex conjugate of ${\displaystyle g(x).}$

The basic Fourier series result for Hilbert spaces can be written as

${\displaystyle f=\sum _{n=-\infty }^{\infty }\langle f,e_{n}\rangle \,e_{n}.}$

Sines and cosines form an orthogonal set, as illustrated above. The integral of sine, cosine and their product is zero (green and red areas are equal, and cancel out) when ${\displaystyle m}$, ${\displaystyle n}$ or the functions are different, and π only if ${\displaystyle m}$ and ${\displaystyle n}$ are equal, and the function used is the same. They would form an orthonormal set, if the integral equaled 1 (that is, each function would need to be scaled by ${\displaystyle 1/{\sqrt {\pi }}}$).

This corresponds exactly to the complex exponential formulation given above. The version with sines and cosines is also justified with the Hilbert space interpretation. Indeed, the sines and cosines form an orthogonal set: $${\displaystyle \int _{-\pi }^{\pi }\cos(mx)\,\cos(nx)\,dx={\frac {1}{2}}\int _{-\pi }^{\pi }\cos((n-m)x)+\cos((n+m)x)\,dx=\pi \delta _{mn},\quad m,n\geq 1,}$$ $${\displaystyle \int _{-\pi }^{\pi }\sin(mx)\,\sin(nx)\,dx={\frac {1}{2}}\int _{-\pi }^{\pi }\cos((n-m)x)-\cos((n+m)x)\,dx=\pi \delta _{mn},\quad m,n\geq 1}$$(where δ_mn is the Kronecker delta), and $${\displaystyle \int _{-\pi }^{\pi }\cos(mx)\,\sin(nx)\,dx={\frac {1}{2}}\int _{-\pi }^{\pi }\sin((n+m)x)+\sin((n-m)x)\,dx=0;}$$furthermore, the sines and cosines are orthogonal to the constant function ${\displaystyle 1}$. An orthonormal basis for ${\displaystyle L^{2}([-\pi ,\pi ])}$ consisting of real functions is formed by the functions ${\displaystyle 1}$ and ${\displaystyle {\sqrt {2}}\cos(nx)}$, ${\displaystyle {\sqrt {2}}\sin(nx)}$ with n= 1,2,.... The density of their span is a consequence of the Stone–Weierstrass theorem, but follows also from the properties of classical kernels like the Fejér kernel.

Fourier theorem proving convergence of Fourier series

These theorems, and informal variations of them that don't specify the convergence conditions, are sometimes referred to generically as Fourier's theorem or the Fourier theorem.^{[20][21][22][23]}

The earlier Eq.3:

${\displaystyle s_{_{N}}(x)=\sum _{n=-N}^{N}S[n]\ e^{i2\pi {\tfrac {n}{P}}x},}$

is a trigonometric polynomial of degree ${\displaystyle N}$ that can be generally expressed as:

${\displaystyle p_{_{N}}(x)=\sum _{n=-N}^{N}p[n]\ e^{i2\pi {\tfrac {n}{P}}x}.}$

Least squares property

Parseval's theorem implies that:

Theorem — The trigonometric polynomial ${\displaystyle s_{_{N}}}$ is the unique best trigonometric polynomial of degree ${\displaystyle N}$ approximating ${\displaystyle s(x)}$, in the sense that, for any trigonometric polynomial ${\displaystyle p_{_{N}}\neq s_{_{N}}}$ of degree ${\displaystyle N}$, we have: $${\displaystyle \|s_{_{N}}-s\|_{2}<\|p_{_{N}}-s\|_{2},}$$where the Hilbert space norm is defined as: $${\displaystyle \|g\|_{2}={\sqrt {{1 \over P}\int _{P}|g(x)|^{2}\,dx}}.}$$

Convergence theorems

Because of the least squares property, and because of the completeness of the Fourier basis, we obtain an elementary convergence result.

Theorem — If ${\displaystyle s}$ belongs to ${\displaystyle L^{2}(P)}$ (an interval of length ${\displaystyle P}$), then ${\displaystyle s_{\infty }}$ converges to ${\displaystyle s}$ in ${\displaystyle L^{2}(P)}$, that is,  ${\displaystyle \|s_{_{N}}-s\|_{2}}$ converges to 0 as ${\displaystyle N\to \infty }$.

We have already mentioned that if ${\displaystyle s}$ is continuously differentiable, then ${\displaystyle (i\cdot n)S[n]}$ is the ${\displaystyle n^{\text{th}}}$ Fourier coefficient of the derivative ${\displaystyle s'}$. Since the derivative is continuous, and therefore bounded, it is square-integrable and its Fourier coefficients are square-summable. Then, by the Cauchy–Schwarz inequality,

${\displaystyle \left(\sum _{n\neq 0}|S[n]|\right)^{2}\leq \sum _{n\neq 0}{\frac {1}{n^{2}}}\cdot \sum _{n\neq 0}|nS[n]|^{2}.}$

This means that ${\displaystyle s_{\infty }}$ is absolutely summable. The sum of this series is a continuous function, equal to ${\displaystyle s}$, since the Fourier series converges in ${\displaystyle L^{1}}$ to ${\displaystyle s}$:

Theorem — If ${\displaystyle s\in C^{1}(\mathbb {T} )}$, then ${\displaystyle s_{\infty }}$ converges to ${\displaystyle s}$ uniformly (and hence also pointwise.)

This result can be proven easily if ${\displaystyle s}$ is further assumed to be ${\displaystyle C^{2}}$, since in that case ${\displaystyle n^{2}S[n]}$ tends to zero as ${\displaystyle n\rightarrow \infty }$. More generally, the Fourier series is absolutely summable, thus converges uniformly to ${\displaystyle s}$, provided that ${\displaystyle s}$ satisfies a Hölder condition of order ${\displaystyle \alpha >1/2}$. In the absolutely summable case, the inequality:

${\displaystyle \sup _{x}|s(x)-s_{_{N}}(x)|\leq \sum _{|n|>N}|S[n]|}$

proves uniform convergence.

Many other results concerning the convergence of Fourier series are known, ranging from the moderately simple result that the series converges at ${\displaystyle x}$ if ${\displaystyle s}$ is differentiable at ${\displaystyle x}$, to Lennart Carleson's much more sophisticated result that the Fourier series of an ${\displaystyle L^{2}}$ function actually converges almost everywhere.

Divergence

Since Fourier series have such good convergence properties, many are often surprised by some of the negative results. For example, the Fourier series of a continuous T-periodic function need not converge pointwise. The uniform boundedness principle yields a simple non-constructive proof of this fact.

In 1922, Andrey Kolmogorov published an article titled Une série de Fourier-Lebesgue divergente presque partout in which he gave an example of a Lebesgue-integrable function whose Fourier series diverges almost everywhere. He later constructed an example of an integrable function whose Fourier series diverges everywhere.^[24]

It is possible to give explicit examples of a continuous function whose Fourier series diverges at 0: for instance, the even and 2π-periodic function f defined for all x in [0,π] by^[25]

${\displaystyle f(x)=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{n^{2}}}\sin \left[\left(2^{n^{3}}+1\right){\frac {x}{2}}\right].}$

Because the function is even the Fourier series contains only cosines:

${\displaystyle \sum _{m=0}^{\infty }C_{m}\cos(mx).}$

The coefficients are:

${\displaystyle C_{m}={\frac {1}{\pi }}\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{n^{2}}}\left\{{\frac {2}{2^{n^{3}}+1-2m}}+{\frac {2}{2^{n^{3}}+1+2m}}\right\}}$

As m increases, the coefficients will be positive and increasing until they reach a value of about ${\displaystyle C_{m}\approx 2/(n^{2}\pi )}$ at ${\displaystyle m=2^{n^{3}}/2}$ for some n and then become negative (starting with a value around ${\displaystyle -2/(n^{2}\pi )}$) and getting smaller, before starting a new such wave. At ${\displaystyle x=0}$ the Fourier series is simply the running sum of ${\displaystyle C_{m},}$ and this builds up to around

${\displaystyle {\frac {1}{n^{2}\pi }}\sum _{k=0}^{2^{n^{3}}/2}{\frac {2}{2k+1}}\sim {\frac {1}{n^{2}\pi }}\ln 2^{n^{3}}={\frac {n}{\pi }}\ln 2}$

in the nth wave before returning to around zero, showing that the series does not converge at zero but reaches higher and higher peaks. Note that though the function is continuous, it is not differentiable.

See also

• ATS theorem
• Carleson's theorem
• Dirichlet kernel
• Discrete Fourier transform
• Fast Fourier transform
• Fejér's theorem
• Fourier analysis
• Fourier sine and cosine series
• Fourier transform
• Gibbs phenomenon
• Half range Fourier series
• Laurent series – the substitution q = e^ix transforms a Fourier series into a Laurent series, or conversely. This is used in the q-series expansion of the j-invariant.
• Least-squares spectral analysis
• Multidimensional transform
• Sine and cosine transforms
• Spectral theory
• Sturm–Liouville theory
• Residue theorem integrals of f(z), singularities, poles

Notes

1. But ${\displaystyle C_{-n}\neq C_{n}^{*}}$, in general.
2. Since the integral defining the Fourier transform of a periodic function is not convergent, it is necessary to view the periodic function and its transform as distributions. In this sense ${\displaystyle {\mathcal {F}}\{e^{i2\pi {\tfrac {n}{P}}x}\}}$ is a Dirac delta function, which is an example of a distribution.
3. These three did some important early work on the wave equation, especially D'Alembert. Euler's work in this area was mostly comtemporaneous/ in collaboration with Bernoulli, although the latter made some independent contributions to the theory of waves and vibrations. (See Fetter & Walecka 2003, pp. 209–210).
4. These words are not strictly Fourier's. Whilst the cited article does list the author as Fourier, a footnote indicates that the article was actually written by Poisson (that it was not written by Fourier is also clear from the consistent use of the third person to refer to him) and that it is, "for reasons of historical interest", presented as though it were Fourier's original memoire.

References

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Further reading

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• Joseph Fourier, translated by Alexander Freeman (2003). The Analytical Theory of Heat. Dover Publications. ISBN 0-486-49531-0. 2003 unabridged republication of the 1878 English translation by Alexander Freeman of Fourier's work Théorie Analytique de la Chaleur, originally published in 1822.
• Enrique A. Gonzalez-Velasco (1992). "Connections in Mathematical Analysis: The Case of Fourier Series". American Mathematical Monthly. 99 (5): 427–441. doi:10.2307/2325087. JSTOR 2325087.
• Fetter, Alexander L.; Walecka, John Dirk (2003). Theoretical Mechanics of Particles and Continua. Courier. ISBN 978-0-486-43261-8.
• Felix Klein, Development of mathematics in the 19th century. Mathsci Press Brookline, Mass, 1979. Translated by M. Ackerman from Vorlesungen über die Entwicklung der Mathematik im 19 Jahrhundert, Springer, Berlin, 1928.
• Walter Rudin (1976). Principles of mathematical analysis (3rd ed.). New York: McGraw-Hill, Inc. ISBN 0-07-054235-X.
• A. Zygmund (2002). Trigonometric Series (third ed.). Cambridge: Cambridge University Press. ISBN 0-521-89053-5. The first edition was published in 1935.

External links

• "Fourier series", Encyclopedia of Mathematics, EMS Press, 2001 [1994]
• Hobson, Ernest (1911). "Fourier's Series" . Encyclopædia Britannica. Vol. 10 (11th ed.). pp. 753–758.
• Weisstein, Eric W. "Fourier Series". MathWorld.
• Joseph Fourier – A site on Fourier's life which was used for the historical section of this article at the Wayback Machine (archived December 5, 2001)

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