Teorema ATS

En matemáticas, el teorema ATS es el teorema sobre la aproximación de una suma trigonométrica por una suma más corta. La aplicación del teorema ATS en ciertos problemas de física matemática y teórica puede resultar muy útil.

Historia del problema

En algunos campos de las matemáticas y la física matemática , las sumas de la forma

${\displaystyle S=\sum _{a<k\leq b}\varphi (k)e^{2\pi if(k)}\qquad (1)}$

están bajo estudio.

Aquí y son funciones de valor real de un argumento real, y Tales sumas aparecen, por ejemplo, en la teoría de números , en el análisis de la función zeta de Riemann , en la solución de problemas relacionados con puntos enteros en los dominios del plano y del espacio, en el estudio de la serie de Fourier y en la solución de ecuaciones diferenciales tales como la ecuación de onda , la ecuación de potencial y la ecuación de conductividad térmica . ${\displaystyle \varphi (x)}$ ${\displaystyle f(x)}$ ${\displaystyle i^{2}=-1.}$

El problema de aproximación de la serie (1) mediante una función adecuada fue estudiado ya por Euler y Poisson .

Definiremos la longitud de la suma ${\displaystyle S}$ como el número (para los enteros y este es el número de los sumandos en ). ${\displaystyle b-a}$ ${\displaystyle a}$ ${\displaystyle b,}$ ${\displaystyle S}$

Bajo ciertas condiciones , la suma puede sustituirse con buena precisión por otra suma. ${\displaystyle \varphi (x)}$ ${\displaystyle f(x)}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle S_{1},}$

${\displaystyle S_{1}=\sum _{\alpha <k\leq \beta }\Phi (k)e^{2\pi iF(k)},\ \ \ (2)}$

donde la longitud es mucho menor que ${\displaystyle \beta -\alpha }$ ${\displaystyle b-a.}$

Primeras relaciones de la forma

${\displaystyle S=S_{1}+R,\qquad (3)}$

donde son las sumas (1) y (2) respectivamente, es un término restante, con funciones concretas y fueron obtenidos por GH Hardy y JE Littlewood , ^{[1] [2] [3]} cuando dedujeron la ecuación funcional aproximada para la función zeta de Riemann y por IM Vinogradov , ^[4] en el estudio de las cantidades de puntos enteros en los dominios del plano. En forma general el teorema fue demostrado por J. Van der Corput , ^{[5] [6]} (sobre los resultados recientes relacionados con el teorema de Van der Corput se puede leer en ^[7] ). ${\displaystyle S,}$ ${\displaystyle S_{1}}$ ${\displaystyle R}$ ${\displaystyle \varphi (x)}$ ${\displaystyle f(x),}$ ${\displaystyle \zeta (s)}$

En cada uno de los trabajos mencionados anteriormente, se impusieron algunas restricciones a las funciones y . Con restricciones convenientes (para aplicaciones) en y el teorema fue demostrado por AA Karatsuba en ^[8] (ver también, ^{[9] [10]} ). ${\displaystyle \varphi (x)}$ ${\displaystyle f(x)}$ ${\displaystyle \varphi (x)}$ ${\displaystyle f(x),}$

Ciertas notaciones

[1] Para que conste en acta ${\displaystyle B>0,B\to +\infty ,}$ ${\displaystyle B\to 0,}$

${\displaystyle 1\ll {\frac {A}{B}}\ll 1}$

significa que existen las constantes ${\displaystyle C_{1}>0}$

y ${\displaystyle C_{2}>0,}$

de tal manera que

${\displaystyle C_{1}\leq {\frac {|A|}{B}}\leq C_{2}.}$

[2]. Para un número real el registro significa que ${\displaystyle \alpha ,}$ ${\displaystyle \|\alpha \|}$

${\displaystyle \|\alpha \|=\min(\{\alpha \},1-\{\alpha \}),}$

dónde

${\displaystyle \{\alpha \}}$

es la parte fraccionaria de ${\displaystyle \alpha .}$

Teorema ATS

Sean las funciones reales ƒ ( x ) y satisfagan en el segmento [ a ,  b ] las siguientes condiciones: ${\displaystyle \varphi (x)}$

1) y son continuas; ${\displaystyle f''''(x)}$ ${\displaystyle \varphi ''(x)}$

2) existen números y tales que ${\displaystyle H,}$ ${\displaystyle U}$ ${\displaystyle V}$

${\displaystyle H>0,\qquad 1\ll U\ll V,\qquad 0<b-a\leq V}$

y

${\displaystyle {\begin{array}{rc}{\frac {1}{U}}\ll f''(x)\ll {\frac {1}{U}}\ ,&\varphi (x)\ll H,\\\\f'''(x)\ll {\frac {1}{UV}}\ ,&\varphi '(x)\ll {\frac {H}{V}},\\\\f''''(x)\ll {\frac {1}{UV^{2}}}\ ,&\varphi ''(x)\ll {\frac {H}{V^{2}}}.\\\\\end{array}}}$

Entonces, si definimos los números a partir de la ecuación ${\displaystyle x_{\mu }}$

${\displaystyle f'(x_{\mu })=\mu ,}$

tenemos

${\displaystyle \sum _{a<\mu \leq b}\varphi (\mu )e^{2\pi if(\mu )}=\sum _{f'(a)\leq \mu \leq f'(b)}C(\mu )Z(\mu )+R,}$

dónde

${\displaystyle R=O\left({\frac {HU}{b-a}}+HT_{a}+HT_{b}+H\log \left(f'(b)-f'(a)+2\right)\right);}$

${\displaystyle T_{j}={\begin{cases}0,&{\text{if }}f'(j){\text{ is an integer}};\\\min \left({\frac {1}{\|f'(j)\|}},{\sqrt {U}}\right),&{\text{if }}\|f'(j)\|\neq 0;\\\end{cases}}}$

${\displaystyle j=a,b;}$

${\displaystyle C(\mu )={\begin{cases}1,&{\text{if }}f'(a)<\mu <f'(b);\\{\frac {1}{2}},&{\text{if }}\mu =f'(a){\text{ or }}\mu =f'(b);\\\end{cases}}}$

${\displaystyle Z(\mu )={\frac {1+i}{\sqrt {2}}}{\frac {\varphi (x_{\mu })}{\sqrt {f''(x_{\mu })}}}e^{2\pi i(f(x_{\mu })-\mu x_{\mu })}\ .}$

La variante más simple del teorema formulado es el enunciado que en la literatura se denomina lema de Van der Corput .

Lema de Van der Corput

Sea una función diferenciable real en el intervalo además, dentro de este intervalo, su derivada es una función monótona y que conserva el signo, y para la constante tal que satisface la desigualdad Entonces ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle ]a,b],}$ ${\displaystyle f'}$ ${\displaystyle \delta }$ ${\displaystyle 0<\delta <1}$ ${\displaystyle |f'|\leq \delta .}$

${\displaystyle \sum _{a<k\leq b}e^{2\pi if(k)}=\int _{a}^{b}e^{2\pi if(x)}dx+\theta \left(3+{\frac {2\delta }{1-\delta }}\right),}$

dónde ${\displaystyle |\theta |\leq 1.}$

Observación

Si los parámetros y son números enteros, entonces es posible sustituir la última relación por las siguientes: ${\displaystyle a}$ ${\displaystyle b}$

${\displaystyle \sum _{a<k\leq b}e^{2\pi if(k)}=\int _{a}^{b}e^{2\pi if(x)}\,dx+{\frac {1}{2}}e^{2\pi if(b)}-{\frac {1}{2}}e^{2\pi if(a)}+\theta {\frac {2\delta }{1-\delta }},}$

dónde ${\displaystyle |\theta |\leq 1.}$

Fuentes adicionales

Sobre las aplicaciones de ATS a los problemas de física, véase:

• Karatsuba, Ekatherina A. (2004). "Aproximación de sumas de sumandos oscilantes en ciertos problemas físicos". Journal of Mathematical Physics . 45 (11). AIP Publishing: 4310–4321. doi :10.1063/1.1797552. ISSN  0022-2488.
• Karatsuba, Ekatherina A. (2007-07-20). "Sobre una aproximación al estudio de la suma de Jaynes–Cummings en óptica cuántica". Algoritmos numéricos . 45 (1–4). Springer Science and Business Media LLC: 127–137. doi :10.1007/s11075-007-9070-x. ISSN  1017-1398. S2CID  13485016.
• Chassande-Mottin, Éric; Pai, Archana (27 de febrero de 2006). "La mejor cadena de chirplets: detección casi óptima de chirridos de ondas gravitacionales". Physical Review D . 73 (4). American Physical Society (APS): 042003. arXiv : gr-qc/0512137 . doi :10.1103/physrevd.73.042003. hdl : 11858/00-001M-0000-0013-4BBD-B . ISSN  1550-7998. S2CID  56344234.
• Fleischhauer, M.; Schleich, WP (1993-05-01). "Renacimientos simplificados: fórmula de suma de Poisson como clave para los reavivamientos en el modelo de Jaynes-Cummings". Physical Review A . 47 (5). American Physical Society (APS): 4258–4269. doi :10.1103/physreva.47.4258. ISSN  1050-2947. PMID  9909432.

Notas

1. Hardy, GH; Littlewood, JE (1914). "Algunos problemas de aproximación diofántica: Parte II. Las series trigonométricas asociadas con las funciones θ elípticas". Acta Mathematica . 37 . International Press of Boston: 193–239. doi : 10.1007/bf02401834 . ISSN  0001-5962.
2. Hardy, GH; Littlewood, JE (1916). "Contribuciones a la teoría de la función zeta de Riemann y a la teoría de la distribución de primos". Acta Mathematica . 41 . International Press of Boston: 119–196. doi : 10.1007/bf02422942 . ISSN  0001-5962.
3. Hardy, GH; Littlewood, JE (1921). "Los ceros de la función zeta de Riemann en la línea crítica". Mathematische Zeitschrift . 10 (3–4). Springer Science and Business Media LLC: 283–317. doi :10.1007/bf01211614. ISSN  0025-5874. S2CID  126338046.
4. I. M. Vinogradov. Sobre el valor medio del número de clases de la forma puramente radical del determinante negativo Communic. de Khar. Math. Soc., 16 , 10–38 (1917).
5. van der Corput, JG (1921). "Zahlentheoretische Abschätzungen". Mathematische Annalen (en alemán). 84 (1–2). Springer Science y Business Media LLC: 53–79. doi :10.1007/bf01458693. ISSN  0025-5831. S2CID  179178113.
6. van der Corput, JG (1922). "Verschärfung der Abschätzung beim Teilerproblem". Mathematische Annalen (en alemán). 87 (1-2). Springer Science y Business Media LLC: 39–65. doi :10.1007/bf01458035. ISSN  0025-5831. S2CID  177789678.
7. Montgomery, Hugh (1994). Diez conferencias sobre la interfaz entre la teoría analítica de números y el análisis armónico . Providence, RI: Publicado para el Conference Board of the Mathematical Sciences por la American Mathematical Society. ISBN 978-0-8218-0737-8.OCLC 30811108  .
8. Karatsuba, AA (1987). "Aproximación de sumas exponenciales mediante sumas más cortas". Actas de la Academia India de Ciencias, Sección A . 97 (1–3). Springer Science and Business Media LLC: 167–178. doi :10.1007/bf02837821. ISSN  0370-0089. S2CID  120389154.
9. AA Karatsuba, SM Voronin. La función Zeta de Riemann. (W. de Gruyter, Verlag: Berlín, 1992).
10. A. A. Karatsuba, MA Korolev. Teorema sobre la aproximación de una suma trigonométrica por una más corta. Izv. Ross. Akad. Nauk, Ser. Mat. 71:3 , págs. 63-84 (2007).