Álgebra homológica

Rama de las matemáticas

Un diagrama utilizado en el lema de la serpiente , un resultado básico en álgebra homológica.

El álgebra homológica es la rama de las matemáticas que estudia la homología en un contexto algebraico general. Es una disciplina relativamente joven, cuyos orígenes se remontan a las investigaciones en topología combinatoria (precursora de la topología algebraica ) y álgebra abstracta (teoría de módulos y sicigias ) a finales del siglo XIX, principalmente por Henri Poincaré y David Hilbert .

El álgebra homológica es el estudio de los funtores homológicos y las intrincadas estructuras algebraicas que implican; su desarrollo estuvo estrechamente relacionado con el surgimiento de la teoría de categorías . Un concepto central es el de los complejos de cadenas , que pueden estudiarse a través de su homología y cohomología .

El álgebra homológica proporciona los medios para extraer información contenida en estos complejos y presentarla en forma de invariantes homológicos de anillos , módulos, espacios topológicos y otros objetos matemáticos "tangibles". Una secuencia espectral es una herramienta poderosa para esto.

Ha desempeñado un papel enorme en la topología algebraica. Su influencia se ha expandido gradualmente y actualmente incluye el álgebra conmutativa , la geometría algebraica , la teoría algebraica de números , la teoría de la representación , la física matemática , las álgebras de operadores , el análisis complejo y la teoría de ecuaciones diferenciales parciales . La K -teoría es una disciplina independiente que se basa en métodos del álgebra homológica, al igual que la geometría no conmutativa de Alain Connes .

Historia

El álgebra homológica comenzó a estudiarse en su forma más básica en el siglo XIX como una rama de la topología y en la década de 1940 se convirtió en una materia independiente con el estudio de objetos como el funtor ext y el funtor tor , entre otros. ^[1]

Complejos de cadena y homología

La noción de complejo de cadena es central en el álgebra homológica. Un complejo de cadena abstracto es una secuencia de grupos abelianos y homomorfismos de grupo , con la propiedad de que la composición de dos funciones consecutivas cualesquiera es cero: ${\displaystyle (C_{\bullet },d_{\bullet })}$

${\displaystyle C_{\bullet }:\cdots \longrightarrow C_{n+1}{\stackrel {d_{n+1}}{\longrightarrow }}C_{n}{\stackrel {d_{n}}{\longrightarrow }}C_{n-1}{\stackrel {d_{n-1}}{\longrightarrow }}\cdots ,\quad d_{n}\circ d_{n+1}=0.}$

Los elementos de C _n se denominan n - cadenas y los homomorfismos d _n se denominan funciones límite o diferenciales . Los grupos de cadenas C _n pueden estar dotados de estructura extra; por ejemplo, pueden ser espacios vectoriales o módulos sobre un anillo fijo R . Las diferenciales deben conservar la estructura extra si existe; por ejemplo, deben ser funciones lineales u homomorfismos de R -módulos. Por conveniencia de notación, restrinja la atención a los grupos abelianos (más correctamente, a la categoría Ab de grupos abelianos); un célebre teorema de Barry Mitchell implica que los resultados se generalizarán a cualquier categoría abeliana . Cada complejo de cadena define dos secuencias adicionales de grupos abelianos, los ciclos Z _n  = Ker d _n y las funciones límite B _n  = Im d _{n +1} , donde Ker  d e Im  d denotan el núcleo y la imagen de d . Dado que la composición de dos funciones límite consecutivas es cero, estos grupos están incrustados entre sí como

${\displaystyle B_{n}\subseteq Z_{n}\subseteq C_{n}.}$

Los subgrupos de grupos abelianos son automáticamente normales ; por lo tanto, podemos definir el n- ésimo grupo de homología H _n ( C ) como el grupo factorial de los n -ciclos por los n -límites,

${\displaystyle H_{n}(C)=Z_{n}/B_{n}=\operatorname {Ker} \,d_{n}/\operatorname {Im} \,d_{n+1}.}$

Un complejo de cadena se denomina acíclico o secuencia exacta si todos sus grupos de homología son cero.

Los complejos de cadenas surgen en abundancia en álgebra y topología algebraica . Por ejemplo, si X es un espacio topológico , entonces las cadenas singulares C _n ( X ) son combinaciones lineales formales de aplicaciones continuas del n - símplice estándar en X ; si K es un complejo simplicial , entonces las cadenas simpliciales C _n ( K ) son combinaciones lineales formales de los n -símplices de K ; si A  =  F / R es una presentación de un grupo abeliano A por generadores y relaciones , donde F es un grupo abeliano libre abarcado por los generadores y R es el subgrupo de relaciones, entonces dejando C ₁ ( A ) =  R , C ₀ ( A ) =  F y C _n ( A ) = 0 para todos los demás n define una secuencia de grupos abelianos. En todos estos casos, existen diferenciales naturales d _n que hacen de C _n un complejo en cadena, cuya homología refleja la estructura del espacio topológico X , el complejo simplicial K o el grupo abeliano A . En el caso de los espacios topológicos, llegamos a la noción de homología singular , que juega un papel fundamental en la investigación de las propiedades de tales espacios, por ejemplo, las variedades .

A nivel filosófico, el álgebra homológica nos enseña que ciertos complejos de cadenas asociados a objetos algebraicos o geométricos (espacios topológicos, complejos simpliciales, R -módulos) contienen mucha información algebraica valiosa sobre ellos, siendo la homología sólo la parte más fácilmente disponible. A nivel técnico, el álgebra homológica proporciona las herramientas para manipular complejos y extraer esta información. A continuación se presentan dos ejemplos generales.

• Dos objetos X e Y están conectados por una función f entre ellos. El álgebra homológica estudia la relación, inducida por la función f , entre complejos de cadena asociados con X e Y y su homología. Esto se generaliza al caso de varios objetos y funciones que los conectan. Expresado en el lenguaje de la teoría de categorías , el álgebra homológica estudia las propiedades funcionales de varias construcciones de complejos de cadena y de la homología de estos complejos.
• Un objeto X admite múltiples descripciones (por ejemplo, como un espacio topológico y como un complejo simplicial) o el complejo se construye utilizando alguna 'presentación' de X , que implica elecciones no canónicas. Es importante conocer el efecto del cambio en la descripción de X sobre los complejos de cadena asociados con X . Típicamente, el complejo y su homología son funcionales con respecto a la presentación; y la homología (aunque no el complejo en sí) es en realidad independiente de la presentación elegida, por lo tanto es un invariante de X . ${\displaystyle C_{\bullet }(X)}$ ${\displaystyle H_{\bullet }(C)}$

Herramientas estándar

Secuencias exactas

En el contexto de la teoría de grupos , una secuencia

${\displaystyle G_{0}\;{\xrightarrow {f_{1}}}\;G_{1}\;{\xrightarrow {f_{2}}}\;G_{2}\;{\xrightarrow {f_{3}}}\;\cdots \;{\xrightarrow {f_{n}}}\;G_{n}}$

de grupos y homomorfismos de grupos se llama exacta si la imagen de cada homomorfismo es igual al núcleo del siguiente:

${\displaystyle \mathrm {im} (f_{k})=\mathrm {ker} (f_{k+1}).\!}$

Téngase en cuenta que la secuencia de grupos y homomorfismos puede ser finita o infinita.

Se puede hacer una definición similar para ciertas otras estructuras algebraicas . Por ejemplo, se podría tener una secuencia exacta de espacios vectoriales y aplicaciones lineales , o de módulos y homomorfismos de módulos . De manera más general, la noción de una secuencia exacta tiene sentido en cualquier categoría con núcleos y conúcleos .

Corto

El tipo más común de secuencia exacta es la secuencia exacta corta . Se trata de una secuencia exacta de la forma

${\displaystyle A\;{\overset {f}{\hookrightarrow }}\;B\;{\overset {g}{\twoheadrightarrow }}\;C}$

donde ƒ es un monomorfismo y g es un epimorfismo . En este caso, A es un subobjeto de B y el cociente correspondiente es isomorfo a C :

${\displaystyle C\cong B/f(A).}$

(donde f(A) = im( f )).

Una secuencia exacta corta de grupos abelianos también puede escribirse como una secuencia exacta con cinco términos:

${\displaystyle 0\;{\xrightarrow {}}\;A\;{\xrightarrow {f}}\;B\;{\xrightarrow {g}}\;C\;{\xrightarrow {}}\;0}$

donde 0 representa el objeto cero , como el grupo trivial o un espacio vectorial de dimensión cero. La ubicación de los 0 obliga a ƒ a ser un monomorfismo y a g a ser un epimorfismo (ver más abajo).

Largo

Una secuencia exacta larga es una secuencia exacta indexada por los números naturales .

Cinco lemas

Considere el siguiente diagrama conmutativo en cualquier categoría abeliana (como la categoría de grupos abelianos o la categoría de espacios vectoriales sobre un cuerpo dado ) o en la categoría de grupos .

El quinto lema establece que, si las filas son exactas , m y p son isomorfismos , l es un epimorfismo y q es un monomorfismo , entonces n también es un isomorfismo.

Lema de la serpiente

En una categoría abeliana (como la categoría de grupos abelianos o la categoría de espacios vectoriales sobre un cuerpo dado ), considere un diagrama conmutativo :

donde las filas son secuencias exactas y 0 es el objeto cero . Entonces hay una secuencia exacta que relaciona los núcleos y conúcleos de a , b y c :

${\displaystyle \ker a\to \ker b\to \ker c{\overset {d}{\to }}\operatorname {coker} a\to \operatorname {coker} b\to \operatorname {coker} c}$

Además, si el morfismo f es un monomorfismo , entonces también lo es el morfismo ker  a → ker  b , y si g' es un epimorfismo , entonces también lo es coker  b → coker  c .

Categorías abelianas

En matemáticas , una categoría abeliana es una categoría en la que se pueden agregar morfismos y objetos y en la que existen núcleos y conúcleos y tienen propiedades deseables. El ejemplo prototipo motivador de una categoría abeliana es la categoría de grupos abelianos , Ab . La teoría se originó en un intento tentativo de unificar varias teorías de cohomología por Alexander Grothendieck . Las categorías abelianas son categorías muy estables , por ejemplo, son regulares y satisfacen el lema de la serpiente . La clase de categorías abelianas está cerrada bajo varias construcciones categóricas, por ejemplo, la categoría de complejos de cadena de una categoría abeliana, o la categoría de funtores de una categoría pequeña a una categoría abeliana también son abelianas. Estas propiedades de estabilidad las hacen inevitables en el álgebra homológica y más allá; la teoría tiene aplicaciones importantes en geometría algebraica , cohomología y teoría de categorías puras . Las categorías abelianas reciben su nombre de Niels Henrik Abel .

Más concretamente, una categoría es abeliana si

• Tiene un objeto cero ,
• Tiene todos los productos binarios y coproductos binarios , y
• Tiene todos los kernels y cokernels .
• Todos los monomorfismos y epimorfismos son normales .

Functor derivado

Supongamos que se nos da un funtor covariante exacto por la izquierda F  : A → B entre dos categorías abelianas A y B . Si 0 → A → B → C → 0 es una secuencia exacta corta en A , entonces la aplicación de F produce la secuencia exacta 0 → F ( A ) → F ( B ) → F ( C ) y uno podría preguntarse cómo continuar esta secuencia hacia la derecha para formar una secuencia exacta larga. Estrictamente hablando, esta pregunta está mal planteada, ya que siempre hay numerosas formas diferentes de continuar una secuencia exacta dada hacia la derecha. Pero resulta que (si A es lo suficientemente "amable") hay una forma canónica de hacerlo, dada por los funtores derivados por la derecha de F . Para cada i ≥1, hay un funtor R ⁱ F : A → B , y la secuencia anterior continúa así: 0 → F ( A ) → F ( B ) → F ( C ) → R ¹ F ( A ) → R ¹ F ( B ) → R ¹ F ( C ) → R ² F ( A ) → R ² F ( B ) → ... . De esto vemos que F es un funtor exacto si y solo si R ¹ F = 0; así que en cierto sentido los funtores derivados correctos de F miden "qué tan lejos" está F de ser exacto.

Función ext.

Sea R un anillo y sea Mod _R la categoría de módulos sobre R . Sea B en Mod _R y establezca T ( B ) = Hom _R ( A,B ), para A fijo en Mod _R . Este es un funtor exacto por la izquierda y, por lo tanto, tiene funtores derivados por la derecha R ⁿ T . El funtor Ext se define por

${\displaystyle \operatorname {Ext} _{R}^{n}(A,B)=(R^{n}T)(B).}$

Esto se puede calcular tomando cualquier resolución inyectiva.

${\displaystyle 0\rightarrow B\rightarrow I^{0}\rightarrow I^{1}\rightarrow \cdots ,}$

y computación

${\displaystyle 0\rightarrow \operatorname {Hom} _{R}(A,I^{0})\rightarrow \operatorname {Hom} _{R}(A,I^{1})\rightarrow \cdots .}$

Entonces ( R ⁿ T )( B ) es la cohomología de este complejo. Nótese que Hom _R ( A,B ) está excluido del complejo.

Se da una definición alternativa utilizando el funtor G ( A )=Hom _R ( A,B ). Para un módulo fijo B , este es un funtor exacto por la izquierda contravariante y, por lo tanto, también tenemos funtores derivados por la derecha R ⁿ G , y podemos definir

${\displaystyle \operatorname {Ext} _{R}^{n}(A,B)=(R^{n}G)(A).}$

Esto se puede calcular eligiendo cualquier resolución proyectiva.

${\displaystyle \dots \rightarrow P^{1}\rightarrow P^{0}\rightarrow A\rightarrow 0,}$

y procediendo dualmente mediante el cálculo

${\displaystyle 0\rightarrow \operatorname {Hom} _{R}(P^{0},B)\rightarrow \operatorname {Hom} _{R}(P^{1},B)\rightarrow \cdots .}$

Entonces ( R ⁿ G )( A ) es la cohomología de este complejo. Nuevamente note que Hom _R ( A,B ) está excluido.

Estas dos construcciones resultan en resultados isomorfos , por lo que ambas pueden usarse para calcular el funtor Ext.

Función Tor

Supóngase que R es un anillo , y se denota por R - Mod la categoría de los R -módulos izquierdos y por Mod - R la categoría de los R -módulos derechos (si R es conmutativo , las dos categorías coinciden). Fijemos un módulo B en R - Mod . Para A en Mod - R , hagamos T ( A ) = A ⊗ _R B. Entonces T es un funtor exacto derecho de Mod - R a la categoría de los grupos abelianos Ab (en el caso en que R sea conmutativo, es un funtor exacto derecho de Mod - R a Mod - R ) y sus funtores derivados izquierdos L _n T están definidos. Fijamos

${\displaystyle \mathrm {Tor} _{n}^{R}(A,B)=(L_{n}T)(A)}$

es decir, tomamos una resolución proyectiva

${\displaystyle \cdots \rightarrow P_{2}\rightarrow P_{1}\rightarrow P_{0}\rightarrow A\rightarrow 0}$

Luego, elimine el término A y tense la resolución proyectiva con B para obtener el complejo.

${\displaystyle \cdots \rightarrow P_{2}\otimes _{R}B\rightarrow P_{1}\otimes _{R}B\rightarrow P_{0}\otimes _{R}B\rightarrow 0}$

(tenga en cuenta que A ⊗ _R B no aparece y la última flecha es solo el mapa cero) y tome la homología de este complejo.

Secuencia espectral

Fijar una categoría abeliana , como una categoría de módulos sobre un anillo. Una secuencia espectral es una elección de un entero no negativo r ₀ y una colección de tres secuencias:

1. Para todos los números enteros r ≥ r ₀ , un objeto E _r , llamado hoja (como en una hoja de papel ), o a veces una página o un término ,
2. Endomorfismos d _r  : E _r → E _r que satisfacen d _r o d _r = 0, llamados mapas de contorno o diferenciales ,
3. Isomorfismos de E _r+1 con H ( E _r ), la homología de E _r con respecto a d _r .

La hoja E ₂ de una secuencia espectral cohomológica

Una secuencia espectral doblemente graduada tiene una enorme cantidad de datos que controlar, pero existe una técnica de visualización común que hace que la estructura de la secuencia espectral sea más clara. Tenemos tres índices, r , p y q . Para cada r , imaginemos que tenemos una hoja de papel cuadriculado. En esta hoja, tomaremos p como la dirección horizontal y q como la dirección vertical. En cada punto de la red tenemos el objeto . ${\displaystyle E_{r}^{p,q}}$

Es muy común que n = p + q sea otro índice natural en la secuencia espectral. n corre diagonalmente, de noroeste a sureste, a través de cada hoja. En el caso homológico, los diferenciales tienen bigrado (− r ,  r  − 1), por lo que disminuyen n en uno. En el caso cohomológico, n se incrementa en uno. Cuando r es cero, el diferencial mueve los objetos un espacio hacia abajo o hacia arriba. Esto es similar al diferencial en un complejo de cadena. Cuando r es uno, el diferencial mueve los objetos un espacio hacia la izquierda o hacia la derecha. Cuando r es dos, el diferencial mueve los objetos como el movimiento de un caballo en ajedrez . Para r más alto , el diferencial actúa como un movimiento de caballo generalizado.

Funcionalidad

Una función continua de espacios topológicos da lugar a un homomorfismo entre sus n -ésimos grupos de homología para todo n . Este hecho básico de la topología algebraica encuentra una explicación natural a través de ciertas propiedades de los complejos de cadenas. Puesto que es muy común estudiar varios espacios topológicos simultáneamente, en el álgebra homológica se llega a considerar simultáneamente múltiples complejos de cadenas.

Un morfismo entre dos complejos de cadena, es una familia de homomorfismos de grupos abelianos que conmutan con los diferenciales, en el sentido de que para todo n . Un morfismo de complejos de cadena induce un morfismo de sus grupos de homología, consistente en los homomorfismos para todo n . Un morfismo F se denomina cuasi-isomorfismo si induce un isomorfismo en la homología n º para todo n . ${\displaystyle F:C_{\bullet }\to D_{\bullet },}$ ${\displaystyle F_{n}:C_{n}\to D_{n}}$ ${\displaystyle F_{n-1}\circ d_{n}^{C}=d_{n}^{D}\circ F_{n}}$ ${\displaystyle H_{\bullet }(F)}$ ${\displaystyle H_{n}(F):H_{n}(C)\to H_{n}(D)}$

Muchas construcciones de complejos de cadenas que surgen en álgebra y geometría, incluida la homología singular , tienen la siguiente propiedad de funtorialidad : si dos objetos X e Y están conectados por una función f , entonces los complejos de cadenas asociados están conectados por un morfismo y, además, la composición de las funciones f :  X  →  Y y g :  Y  →  Z induce el morfismo que coincide con la composición. De ello se deduce que los grupos de homología también son funtoriales, de modo que los morfismos entre objetos algebraicos o topológicos dan lugar a funciones compatibles entre su homología. ${\displaystyle F=C(f):C_{\bullet }(X)\to C_{\bullet }(Y),}$ ${\displaystyle g\circ f}$ ${\displaystyle C(g\circ f):C_{\bullet }(X)\to C_{\bullet }(Z)}$ ${\displaystyle C(g)\circ C(f).}$ ${\displaystyle H_{\bullet }(C)}$

La siguiente definición surge de una situación típica en álgebra y topología. Una terna formada por tres complejos de cadena y dos morfismos entre ellos se denomina terna exacta o secuencia corta exacta de complejos y se escribe como ${\displaystyle L_{\bullet },M_{\bullet },N_{\bullet }}$ ${\displaystyle f:L_{\bullet }\to M_{\bullet },g:M_{\bullet }\to N_{\bullet },}$

${\displaystyle 0\longrightarrow L_{\bullet }{\overset {f}{\longrightarrow }}M_{\bullet }{\overset {g}{\longrightarrow }}N_{\bullet }\longrightarrow 0,}$

Si para cualquier n , la secuencia

${\displaystyle 0\longrightarrow L_{n}{\overset {f_{n}}{\longrightarrow }}M_{n}{\overset {g_{n}}{\longrightarrow }}N_{n}\longrightarrow 0}$

es una secuencia corta exacta de grupos abelianos. Por definición, esto significa que f _n es una inyección , g _n es una sobreyección e Im f _n  = Ker g _n . Uno de los teoremas más básicos del álgebra homológica, a veces conocido como el lema del zigzag , establece que, en este caso, hay una secuencia larga exacta en homología.

${\displaystyle \cdots \longrightarrow H_{n}(L){\overset {H_{n}(f)}{\longrightarrow }}H_{n}(M){\overset {H_{n}(g)}{\longrightarrow }}H_{n}(N){\overset {\delta _{n}}{\longrightarrow }}H_{n-1}(L){\overset {H_{n-1}(f)}{\longrightarrow }}H_{n-1}(M)\longrightarrow \cdots ,}$

donde los grupos de homología de L , M y N se suceden cíclicamente, y δ _n son ciertos homomorfismos determinados por f y g , llamados homomorfismos de conexión . Las manifestaciones topológicas de este teorema incluyen la secuencia de Mayer-Vietoris y la secuencia exacta larga para homología relativa .

Aspectos fundamentales

Se han definido teorías de cohomología para muchos objetos diferentes, como espacios topológicos , haces , grupos , anillos , álgebras de Lie y álgebras C* . El estudio de la geometría algebraica moderna sería casi impensable sin la cohomología de haces .

El concepto de secuencia exacta es central en el álgebra homológica ; se puede utilizar para realizar cálculos reales. Una herramienta clásica del álgebra homológica es la del funtor derivado ; los ejemplos más básicos son los funtores Ext y Tor .

Teniendo en mente un conjunto diverso de aplicaciones, era natural tratar de uniformizar todo el tema. Hubo varios intentos antes de que el tema se estableciera. Una historia aproximada puede resumirse de la siguiente manera:

• Cartan - Eilenberg : En su libro de 1956 "Álgebra homológica", estos autores utilizaron resoluciones de módulos proyectivos e inyectivos .
• 'Tohoku': El enfoque de un célebre artículo de Alexander Grothendieck que apareció en la Segunda Serie del Tohoku Mathematical Journal en 1957, utilizando el concepto de categoría abeliana (para incluir haces de grupos abelianos).
• La categoría derivada de Grothendieck y Verdier . Las categorías derivadas se remontan a la tesis de Verdier de 1967. Son ejemplos de categorías trianguladas utilizadas en varias teorías modernas.

Estos pasan de la computabilidad a la generalidad.

El machete computacional por excelencia es la secuencia espectral ; ésta es esencial en los enfoques de Cartan-Eilenberg y Tohoku, donde se la necesita, por ejemplo, para calcular los funtores derivados de una composición de dos funtores. Las secuencias espectrales son menos esenciales en el enfoque de categorías derivadas, pero aún desempeñan un papel cuando se necesitan cálculos concretos.

Ha habido intentos de teorías "no conmutativas" que extienden la primera cohomología como torsores (importantes en la cohomología de Galois ).

Véase también

• Absurdo abstracto , término que designa al álgebra homológica y la teoría de categorías
• Derivador
• Álgebra homotópica
• Lista de temas de álgebra homológica

Referencias

1. Weibel, Charles A. (1999). "Historia del álgebra homológica". Historia de la topología . págs. 797–836. doi :10.1016/b978-044482375-5/50029-8. ISBN 9780444823755.

• Henri Cartan , Samuel Eilenberg , Álgebra homológica . Con un apéndice de David A. Buchsbaum. Reimpresión del original de 1956. Princeton Landmarks in Mathematics. Princeton University Press, Princeton, NJ, 1999. xvi+390 pp. ISBN 0-691-04991-2 
• Grothendieck, Alejandro (1957). "Sur quelques point d'algèbre homologique, I". Revista matemática de Tohoku . 9 (2): 119–221. doi : 10.2748/tmj/1178244839 .
• Saunders Mac Lane , Homología . Reimpresión de la edición de 1975. Classics in Mathematics. Springer-Verlag, Berlín, 1995. x+422 pp. ISBN 3-540-58662-8 
• Peter Hilton ; Stammbach, U. Un curso de álgebra homológica . Segunda edición. Textos de posgrado en matemáticas, 4. Springer-Verlag, Nueva York, 1997. xii+364 pp. ISBN 0-387-94823-6 
• Gelfand, Sergei I.; Yuri Manin , Métodos de álgebra homológica . Traducido del ruso, edición de 1988. Segunda edición. Springer Monographs in Mathematics. Springer-Verlag, Berlín, 2003. xx+372 pp. ISBN 3-540-43583-2 
• Gelfand, Sergei I.; Yuri Manin, Homological algebra . Traducido del original ruso de 1989 por los autores. Reimpresión de la edición original en inglés de la serie Encyclopaedia of Mathematical Sciences ( Algebra , V, Encyclopaedia Math. Sci., 38, Springer, Berlín, 1994). Springer-Verlag, Berlín, 1999. iv+222 pp. ISBN 3-540-65378-3 
• Weibel, Charles A. (1994). Introducción al álgebra homológica . Cambridge Studies in Advanced Mathematics. Vol. 38. Cambridge University Press. ISBN 978-0-521-55987-4. Sr.  1269324. OCLC  36131259.