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Johnson sólido

En geometría , un sólido de Johnson , a veces también conocido como sólido de Johnson-Zalgaller , es un poliedro estrictamente convexo cuyas caras son polígonos regulares . A veces se definen para excluir los poliedros uniformes . Hay noventa y dos sólidos con esta propiedad: los primeros sólidos son las pirámides , las cúpulas y una rotonda ; algunos de los sólidos pueden construirse uniéndolos con esos sólidos anteriores, mientras que otros no. Estos sólidos reciben su nombre de los matemáticos Norman Johnson y Victor Zalgaller .

Definición y antecedentes

Entre estos tres poliedros, sólo el primero, la girobicúpula cuadrada alargada , es un sólido de Johnson. El segundo, la stella octangula , no es convexo , ya que algunas de sus diagonales quedan fuera de la forma. El tercero presenta caras coplanares .

Un sólido de Johnson es un poliedro convexo cuyas caras son todas polígonos regulares . [1] Aquí, se dice que un poliedro es convexo si el camino más corto entre dos de sus vértices se encuentra dentro de su interior o en su límite, ninguna de sus caras es coplanar (lo que significa que no comparten el mismo plano y no "se encuentran planas"), y ninguna de sus aristas es colineal (lo que significa que no son segmentos de la misma línea). [2] [3] Aunque no hay ninguna restricción de que cualquier polígono regular dado no pueda ser una cara de un sólido de Johnson, algunos autores exigieron que los sólidos de Johnson no sean uniformes . Esto significa que un sólido de Johnson no es un sólido platónico , sólido de Arquímedes , prisma o antiprisma . [4] [5] Un poliedro convexo en el que todas las caras son casi regulares, pero algunas no son precisamente regulares, se conoce como un sólido de Johnson casi regular . [6]

El sólido de Johnson, a veces conocido como sólido de Johnson-Zalgaller, recibió su nombre en honor a los matemáticos Norman Johnson y Victor Zalgaller . [7] Johnson (1966) publicó una lista que incluía noventa y dos sólidos de Johnson (excluyendo los cinco sólidos platónicos, los trece sólidos de Arquímedes, los infinitos prismas uniformes y los infinitos antiprismas uniformes) y les dio sus nombres y números. No demostró que solo hubiera noventa y dos, pero sí conjeturó que no había otros. [8] Zalgaller (1969) demostró que la lista de Johnson estaba completa. [9]

Denominación y enumeración

Un ejemplo es el prisma triangular triaumentado . En este caso, se construye a partir de un prisma triangular uniendo tres pirámides cuadradas equiláteras sobre cada uno de sus cuadrados (tri-). El proceso de esta construcción se conoce como "aumentación", de ahí su nombre original "triaugmented".

La denominación de los sólidos de Johnson sigue una fórmula descriptiva flexible y precisa que permite nombrar a muchos sólidos de múltiples formas diferentes sin comprometer la precisión de cada nombre como descripción. La mayoría de los sólidos de Johnson se pueden construir a partir de los primeros sólidos ( pirámides , cúpulas y una rotonda ), junto con los sólidos platónicos y arquimedianos , prismas y antiprismas ; el centro del nombre de un sólido en particular reflejará estos ingredientes. A partir de allí, se adjunta una serie de prefijos a la palabra para indicar adiciones, rotaciones y transformaciones: [10]

Se pueden encontrar ejemplos de para- y meta- en el prisma hexagonal parabiaumentado y el prisma hexagonal metabiaumentado.

Las últimas tres operaciones ( aumento , disminución y giro ) se pueden realizar varias veces para ciertos sólidos grandes. Bi- y Tri- indican una operación doble y triple respectivamente. Por ejemplo, un sólido bigirato tiene dos cúpulas rotadas y un sólido tridisminuido tiene tres pirámides o cúpulas eliminadas. En ciertos sólidos grandes, se hace una distinción entre sólidos donde las caras alteradas son paralelas y sólidos donde las caras alteradas son oblicuas. Para- indica el primero, que el sólido en cuestión tiene caras paralelas alteradas, y meta- el segundo, caras oblicuas alteradas. Por ejemplo, un sólido parabiaumentado tiene dos caras paralelas aumentadas y un sólido metabigirado tiene dos caras oblicuas giradas. [10]

Los últimos sólidos de Johnson tienen nombres basados ​​en ciertos complejos poligonales a partir de los cuales se ensamblan. Estos nombres están definidos por Johnson con la siguiente nomenclatura: [10]

La enumeración de los sólidos de Johnson puede denotarse como , donde se denota la enumeración de la lista (un ejemplo se denota como el primer sólido de Johnson, la pirámide cuadrada equilátera). [7] La ​​siguiente es la lista de noventa y dos sólidos de Johnson, con la enumeración seguida de acuerdo con la lista de Johnson (1966):

  1. Pirámide cuadrada equilátera
  2. Pirámide pentagonal
  3. Cúpula triangular
  4. Cúpula cuadrada
  5. Cúpula pentagonal
  6. Rotonda pentagonal
  7. Pirámide triangular alargada
  8. Pirámide cuadrada alargada
  9. Pirámide pentagonal alargada
  10. Pirámide cuadrada giroelongada
  11. Pirámide pentagonal giroelongada
  12. Bipirámide triangular
  13. Bipirámide pentagonal
  14. Bipirámide triangular alargada
  15. Bipirámide cuadrada alargada
  16. Bipirámide pentagonal alargada
  17. Bipirámide cuadrada giroelongada
  18. Cúpula triangular alargada
  19. Cúpula cuadrada alargada
  20. Cúpula pentagonal alargada
  21. Rotonda pentagonal alargada
  22. Cúpula triangular giroelongada
  23. Cúpula cuadrada giroelongada
  24. Cúpula pentagonal giroelongada
  25. Rotonda pentagonal giroelongada
  26. Girobifastigium
  27. Ortobicúpula triangular
  28. Ortobicúpula cuadrada
  29. Girobicúpula cuadrada
  30. Ortobicúpula pentagonal
  31. Girobicúpula pentagonal
  32. Ortocupularrotonda pentagonal
  33. Rotonda girocupular pentagonal
  34. Ortobirotonda pentagonal
  35. Ortobicúpula triangular alargada
  36. Girobicúpula triangular alargada
  37. Girobicúpula cuadrada alargada
  38. Ortobicúpula pentagonal alargada
  39. Girobicúpula pentagonal alargada
  40. Ortocupularotunda pentagonal alargada
  41. Rotonda girocupular pentagonal alargada
  42. Ortobirotonda pentagonal alargada
  43. Girobirotunda pentagonal alargada
  44. Bicúpula triangular giroelongada
  45. Bicúpula cuadrada giroelongada
  46. Bicúpula pentagonal giroelongada
  47. Cupularotunda pentagonal giroelongada
  48. Birotunda pentagonal giroelongada
  49. Prisma triangular aumentado
  50. Prisma triangular biaumentado
  51. Prisma triangular triaumentado
  52. Prisma pentagonal aumentado
  53. Prisma pentagonal biaumentado
  54. Prisma hexagonal aumentado
  55. Prisma hexagonal parabiaumentado
  56. Prisma hexagonal metabiaumentado
  57. Prisma hexagonal triaumentado
  58. Dodecaedro aumentado
  59. Dodecaedro parabiaumentado
  60. Dodecaedro metabiaumentado
  61. Dodecaedro triaumentado
  62. Icosaedro metabidisminuido
  63. Icosaedro tri-disminuido
  64. Icosaedro tridisminuido aumentado
  65. Tetraedro truncado aumentado
  66. Cubo truncado aumentado
  67. Cubo truncado biaumentado
  68. Dodecaedro truncado aumentado
  69. Dodecaedro truncado parabiaumentado
  70. Dodecaedro truncado metabiaumentado
  71. Dodecaedro truncado triaumentado
  72. Rombicosidodecaedro girado
  73. Parabigirato rombicosidodecaedro
  74. rombicosidodecaedro metabigirato
  75. Rombicosidodecaedro trigirado
  76. Rombicosidodecaedro disminuido
  77. Paragira rombicosidodecaedro disminuido
  78. Rombosidodecaedro disminuido metagirado
  79. Bigirato rombicosidodecaedro disminuido
  80. Rombicosidodecaedro parabidisminuido
  81. Rombicosidodecaedro metabidisminuido
  82. Rombicosidodecaedro bidisminuido girado
  83. Rombicosidodecaedro tridisminuido
  84. Disfenoides chato
  85. Antiprisma cuadrado chato
  86. Esfenocorona
  87. Esfenocorona aumentada
  88. Esfenomegacorona
  89. Hebesfenomegacorona
  90. Disfenocingulum
  91. Bilunabirotunda
  92. Hebesfenorrotunda triangular

Algunos de los sólidos de Johnson pueden clasificarse como poliedros elementales . Esto significa que el poliedro no puede separarse por un plano para crear dos pequeños poliedros convexos con caras regulares; ejemplos de sólidos de Johnson son los primeros seis sólidos de Johnson: pirámide cuadrada , pirámide pentagonal , cúpula triangular , cúpula cuadrada , cúpula pentagonal y rotonda pentagonal : icosaedro tridisminuido , rombicosidodecaedro parabidisminuido , rombicosidodecaedro tridisminuido , disfenoide romo , antiprisma cuadrado romo , esfenocorona , esfenomegacorona , hebesfenomegacorona , disfenocíngulo , bilunabirotonda y hebesfenorrotonda triangular . [8] [11] Los otros sólidos de Johnson son poliedros compuestos porque se construyen uniendo algunos poliedros elementales. [12]

Propiedades

Según la definición anterior, un sólido de Johnson es un poliedro convexo con polígonos regulares como caras. Sin embargo, cada uno de ellos posee varias propiedades.

Véase también

Referencias

  1. ^ Diudea, MV (2018). Cúmulos poliédricos de múltiples capas. Materiales de carbono: química y física. Vol. 10. Springer. p. 39. doi :10.1007/978-3-319-64123-2. ISBN 978-3-319-64123-2.
  2. ^ Litchenberg, Dorovan R. (1988). "Pirámides, prismas, antiprismas y deltaedros". El profesor de matemáticas . 81 (4): 261–265. doi :10.5951/MT.81.4.0261. JSTOR  27965792.
  3. ^ Boissonnat, JD; Yvinec, M. (junio de 1989). "Explorando una escena de poliedros no convexos". Actas del quinto simposio anual sobre geometría computacional . págs. 237–246. doi :10.1145/73833.73860. ISBN . 0-89791-318-3.
  4. ^ Todesco, Gian Marco (2020). "Hyperbolic Honeycomb". En Emmer, Michele; Abate, Marco (eds.). Imagine Math 7: Between Culture and Mathematics. Springer. pág. 282. doi :10.1007/978-3-030-42653-8. ISBN 978-3-030-42653-8.
  5. ^ Williams, Kim; Monteleone, Cosino (2021). La perspectiva de Daniele Barbaro de 1568. Springer. pag. 23.doi :10.1007/978-3-030-76687-0 . ISBN 978-3-030-76687-0.
  6. ^ Kaplan, Craig S.; Hart, George W. (2001). "Symmetrohedra: Polyedras from Symmetric Placement of Regular Polygons" (PDF) . Puentes: Conexiones matemáticas en el arte, la música y la ciencia : 21–28.
  7. ^ ab Uehara, Ryuhei (2020). Introducción al origami computacional: el mundo de la nueva geometría computacional. Springer. pág. 62. doi :10.1007/978-981-15-4470-5. ISBN 978-981-15-4470-5.
  8. ^ ab Johnson, Norman (1966). "Sólidos convexos con caras regulares". Revista Canadiense de Matemáticas . 18 : 169–200. doi :10.4153/CJM-1966-021-8.
  9. ^ Zalgaller, Victor A. (1969). Poliedros convexos con caras regulares . Consultants Bureau.
  10. ^ abc Berman, Martin (1971). "Poliedros convexos de caras regulares". Revista del Instituto Franklin . 291 (5): 329–352. doi :10.1016/0016-0032(71)90071-8. MR  0290245.
  11. ^ Hartshorne, Robin (2000). Geometría: Euclides y más allá. Textos de pregrado en matemáticas. Springer-Verlag. pág. 464. ISBN 9780387986500.
  12. ^ Timofeenko, AV (2010). "Unión de poliedros no compuestos" (PDF) . Revista Matemática de San Petersburgo . 21 (3): 483–512. doi :10.1090/S1061-0022-10-01105-2.
  13. ^ Fredriksson, Albin (2024). "Optimización para la propiedad de Rupert". The American Mathematical Monthly . 131 (3): 255–261. arXiv : 2210.00601 . doi :10.1080/00029890.2023.2285200.
  14. ^ Cromwell, Peter R. (1997). Poliedros. Cambridge University Press . pág. 91. ISBN. 978-0-521-55432-9.
  15. ^ Grünbaum, Branko (2009). «Un error duradero» (PDF) . Elementos de Matemáticas . 64 (3): 89-101. doi : 10.4171/EM/120 . SEÑOR  2520469.Reimpreso en Pitici, Mircea, ed. (2011). Los mejores escritos sobre matemáticas 2010. Princeton University Press. págs. 18–31.
  16. ^ Lando, Sergei K.; Zvonkin, Alexander K. (2004). Gráficos sobre superficies y sus aplicaciones. Springer. pág. 114. doi :10.1007/978-3-540-38361-1. ISBN 978-3-540-38361-1.

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