En geometría , un sólido platónico es un poliedro regular convexo en un espacio euclidiano tridimensional . Ser un poliedro regular significa que las caras son polígonos regulares congruentes (idénticas en forma y tamaño) (todos los ángulos congruentes y todas las aristas congruentes), y el mismo número de caras se encuentran en cada vértice. Sólo hay cinco poliedros de este tipo:
Los geómetras han estudiado los sólidos platónicos durante miles de años. [1] Llevan el nombre del antiguo filósofo griego Platón , quien planteó la hipótesis en uno de sus diálogos, el Timeo , de que los elementos clásicos estaban hechos de estos sólidos regulares. [2]
Los sólidos platónicos se conocen desde la antigüedad. Se ha sugerido que ciertas bolas de piedra talladas creadas por el pueblo escocés del Neolítico tardío representan estas formas; sin embargo, estas bolas tienen perillas redondeadas en lugar de ser poliédricas, el número de perillas difiere con frecuencia del número de vértices de los sólidos platónicos, no hay ninguna bola cuyas perillas coincidan con los 20 vértices del dodecaedro y la disposición de las perillas no era siempre simétrico. [3]
Los antiguos griegos estudiaron extensamente los sólidos platónicos. Algunas fuentes (como Proclo ) atribuyen su descubrimiento a Pitágoras . Otras evidencias sugieren que pudo haber estado familiarizado sólo con el tetraedro, el cubo y el dodecaedro y que el descubrimiento del octaedro y el icosaedro pertenecen a Teeteto , un contemporáneo de Platón. En cualquier caso, Teeteto dio una descripción matemática de los cinco y puede haber sido responsable de la primera prueba conocida de que no existe ningún otro poliedro regular convexo.
Los sólidos platónicos ocupan un lugar destacado en la filosofía de Platón , su homónimo. Platón escribió sobre ellos en el diálogo Timeo c. 360 a. C. en el que asoció cada uno de los cuatro elementos clásicos ( tierra , aire , agua y fuego ) con un sólido regular. La Tierra estaba asociada con el cubo, el aire con el octaedro, el agua con el icosaedro y el fuego con el tetraedro.
Del quinto sólido platónico, el dodecaedro, Platón comentó oscuramente: "... el dios [lo] usó para ordenar las constelaciones en todo el cielo". Aristóteles añadió un quinto elemento, aither (aether en latín, "éter" en inglés) y postuló que los cielos estaban hechos de este elemento, pero no tenía ningún interés en compararlo con el quinto sólido de Platón. [4]
Euclides describió de forma completamente matemática los sólidos platónicos en los Elementos , cuyo último libro (libro XIII) está dedicado a sus propiedades. Las proposiciones 13 a 17 del Libro XIII describen la construcción del tetraedro, octaedro, cubo, icosaedro y dodecaedro en ese orden. Para cada sólido, Euclides encuentra la relación entre el diámetro de la esfera circunscrita y la longitud del borde. En la Proposición 18 sostiene que no hay más poliedros regulares convexos. Andreas Speiser ha defendido la opinión de que la construcción de los cinco sólidos regulares es el objetivo principal del sistema deductivo canonizado en los Elementos . [5] Gran parte de la información del Libro XIII probablemente se deriva del trabajo de Teeteto.
En el siglo XVI, el astrónomo alemán Johannes Kepler intentó relacionar los cinco planetas extraterrestres conocidos entonces con los cinco sólidos platónicos. En Mysterium Cosmographicum , publicado en 1596, Kepler propuso un modelo del Sistema Solar en el que los cinco sólidos estaban colocados uno dentro del otro y separados por una serie de esferas inscritas y circunscritas. Kepler propuso que las relaciones de distancia entre los seis planetas conocidos en ese momento podían entenderse en términos de los cinco sólidos platónicos encerrados dentro de una esfera que representaba la órbita de Saturno . Cada una de las seis esferas correspondía a uno de los planetas ( Mercurio , Venus , Tierra , Marte , Júpiter y Saturno). Los sólidos se ordenaron siendo el más interno el octaedro, seguido del icosaedro, dodecaedro, tetraedro y finalmente el cubo, dictando así la estructura del sistema solar y las relaciones de distancia entre los planetas por los sólidos platónicos. Al final, la idea original de Kepler tuvo que ser abandonada, pero de su investigación surgieron sus tres leyes de la dinámica orbital , la primera de las cuales fue que las órbitas de los planetas son elipses en lugar de círculos, cambiando el curso de la física y la astronomía. También descubrió los sólidos de Kepler , que son dos poliedros regulares no convexos .
Para los sólidos platónicos centrados en el origen, a continuación se dan las coordenadas cartesianas simples de los vértices. La letra griega φ se utiliza para representar la proporción áurea. 1 + √ 5/2≈ 1,6180.
Las coordenadas del tetraedro, dodecaedro e icosaedro se dan en dos posiciones de modo que cada una pueda deducirse de la otra: en el caso del tetraedro, cambiando todas las coordenadas de signo ( simetría central ), o, en los demás casos, intercambiando dos coordenadas ( reflexión con respecto a cualquiera de los tres planos diagonales).
Estas coordenadas revelan ciertas relaciones entre los sólidos platónicos: los vértices del tetraedro representan la mitad de los del cubo, como {4,3} o
, uno de dos conjuntos de 4 vértices en posiciones duales, como h{4,3} o
. Ambas posiciones tetraédricas forman el octaedro estrellado compuesto .
Las coordenadas del icosaedro están relacionadas con dos conjuntos alternos de coordenadas de un octaedro truncado no uniforme , t{3,4} o, también llamado octaedro chato , como s{3,4} o, y visto en el compuesto de dos icosaedros .
Ocho de los vértices del dodecaedro se comparten con el cubo. Completar todas las orientaciones conduce al compuesto de cinco cubos .
Un poliedro convexo es un sólido platónico si y sólo si se cumplen los tres requisitos siguientes.
Por lo tanto, a cada sólido platónico se le puede asignar un par { p , q } de números enteros, donde p es el número de aristas (o, equivalentemente, vértices) de cada cara, y q es el número de caras (o, equivalentemente, aristas) que se encuentran en cada vértice. Este par { p , q }, llamado símbolo de Schläfli , da una descripción combinatoria del poliedro. Los símbolos de Schläfli de los cinco sólidos platónicos se muestran en la siguiente tabla.
Toda la demás información combinatoria sobre estos sólidos, como el número total de vértices ( V ), aristas ( E ) y caras ( F ), se puede determinar a partir de p y q . Como cualquier arista une dos vértices y tiene dos caras adyacentes debemos tener:
La otra relación entre estos valores viene dada por la fórmula de Euler :
Esto se puede demostrar de muchas maneras. Juntas, estas tres relaciones determinan completamente V , E y F :
Al intercambiar p y q se intercambian F y V , dejando E sin cambios. Para obtener una interpretación geométrica de esta propiedad, consulte § Poliedros duales.
Los elementos de un poliedro se pueden expresar en una matriz de configuración . Las filas y columnas corresponden a vértices, aristas y caras. Los números diagonales indican cuántos de cada elemento se encuentran en todo el poliedro. Los números no diagonales dicen cuántos elementos de la columna ocurren en o en el elemento de la fila. Los pares duales de poliedros tienen sus matrices de configuración giradas 180 grados entre sí. [6]
El resultado clásico es que sólo existen cinco poliedros regulares convexos. Dos argumentos comunes a continuación demuestran que no pueden existir más de cinco sólidos platónicos, pero demostrar positivamente la existencia de cualquier sólido dado es una cuestión aparte, que requiere una construcción explícita.
El siguiente argumento geométrico es muy similar al dado por Euclides en los Elementos :
Se puede hacer una prueba puramente topológica utilizando únicamente información combinatoria sobre los sólidos. La clave es la observación de Euler de que V − E + F = 2, y el hecho de que pF = 2 E = qV , donde p representa el número de aristas de cada cara y q el número de aristas que se encuentran en cada vértice. Combinando estas ecuaciones se obtiene la ecuación
Una manipulación algebraica simple da entonces
Como E es estrictamente positivo debemos tener
Utilizando el hecho de que p y q deben ser al menos 3, se puede ver fácilmente que sólo hay cinco posibilidades para { p , q }:
Hay varios ángulos asociados con cada sólido platónico. El ángulo diédrico es el ángulo interior entre dos planos de cara cualesquiera. El ángulo diédrico, θ , del sólido { p , q } viene dado por la fórmula
A veces esto se expresa más convenientemente en términos de la tangente por
La cantidad h (llamada número de Coxeter ) es 4, 6, 6, 10 y 10 para el tetraedro, el cubo, el octaedro, el dodecaedro y el icosaedro, respectivamente.
La deficiencia angular en el vértice de un poliedro es la diferencia entre la suma de los ángulos de las caras en ese vértice y 2 π . El defecto, δ , en cualquier vértice de los sólidos platónicos { p , q } es
Según un teorema de Descartes, esto es igual a 4 π dividido por el número de vértices (es decir, el defecto total en todos los vértices es 4 π ).
El análogo tridimensional de un ángulo plano es un ángulo sólido . El ángulo sólido, Ω , en el vértice de un sólido platónico está dado en términos del ángulo diédrico por
Esto se desprende de la fórmula del exceso esférico para un polígono esférico y del hecho de que la figura del vértice del poliedro { p , q } es un q -gón regular.
El ángulo sólido de una cara subtendida desde el centro de un sólido platónico es igual al ángulo sólido de una esfera completa (4 π estereorradianes) dividido por el número de caras. Esto es igual a la deficiencia angular de su dual.
Los diversos ángulos asociados con los sólidos platónicos se tabulan a continuación. Los valores numéricos de los ángulos sólidos se dan en estereorradiánes . La constante φ =1 + √ 5/2es la proporción áurea .
Otra virtud de la regularidad es que todos los sólidos platónicos poseen tres esferas concéntricas:
Los radios de estas esferas se llaman circunradio , medio radio e inradio . Estas son las distancias desde el centro del poliedro hasta los vértices, los puntos medios de las aristas y los centros de las caras, respectivamente. El circunradio R y el inradio r del sólido { p , q } con longitud de arista a están dados por
donde θ es el ángulo diédrico. El radio medio ρ viene dado por
donde h es la cantidad utilizada anteriormente en la definición del ángulo diédrico ( h = 4, 6, 6, 10 o 10). La relación entre el circunradio y el inradio es simétrica en p y q :
El área de superficie , A , de un sólido platónico { p , q } se calcula fácilmente como el área de un p -gón regular multiplicado por el número de caras F. Esto es:
El volumen se calcula como F multiplicado por el volumen de la pirámide cuya base es un p -gón regular y cuya altura es el inradio r . Eso es,
La siguiente tabla enumera los distintos radios de los sólidos platónicos junto con su superficie y volumen. El tamaño total se fija tomando la longitud del borde, a , igual a 2.
Las constantes φ y ξ en lo anterior están dadas por
Entre los sólidos platónicos, el dodecaedro o el icosaedro pueden considerarse la mejor aproximación a la esfera. El icosaedro tiene el mayor número de caras y el mayor ángulo diédrico, abraza con mayor fuerza su esfera inscrita y su relación entre área de superficie y volumen es la más cercana a la de una esfera del mismo tamaño (es decir, la misma área de superficie o la misma superficie). mismo volumen). El dodecaedro, por otro lado, tiene el defecto angular más pequeño, el ángulo sólido de vértice más grande y es el que llena al máximo su esfera circunscrita.
Para un punto arbitrario en el espacio de un sólido platónico con circunradio R , cuyas distancias al centroide del sólido platónico y sus n vértices son L y d i respectivamente, y
tenemos [7]
Para los cinco sólidos platónicos, tenemos [7]
Si d i son las distancias desde los n vértices del sólido platónico hasta cualquier punto de su esfera circunscrita, entonces [7]
Se dice que un poliedro P tiene la propiedad de Rupert si un poliedro del mismo o mayor tamaño y la misma forma que P puede pasar a través de un agujero en P. [8] Los cinco sólidos platónicos tienen esta propiedad. [8] [9] [10]
Todo poliedro tiene un poliedro dual (o "polar") con caras y vértices intercambiados . El dual de cada sólido platónico es otro sólido platónico, de modo que podemos ordenar los cinco sólidos en pares duales.
Si un poliedro tiene el símbolo de Schläfli { p , q }, entonces su dual tiene el símbolo { q , p }. De hecho, cada propiedad combinatoria de un sólido platónico puede interpretarse como otra propiedad combinatoria del dual.
Se puede construir el poliedro dual tomando los vértices del dual como los centros de las caras de la figura original. Conectar los centros de caras adyacentes en el original forma las aristas del dual y, por lo tanto, intercambia el número de caras y vértices manteniendo el número de aristas.
De manera más general, se puede dualizar un sólido platónico con respecto a una esfera de radio d concéntrica con el sólido. Los radios ( R , ρ , r ) de un sólido y los de su dual ( R *, ρ *, r *) están relacionados por
La dualización con respecto a la esfera media ( d = ρ ) suele ser conveniente porque la esfera media tiene la misma relación con ambos poliedros. Tomando d 2 = Rr se obtiene un sólido dual con el mismo circunradio e inradio (es decir, R * = R y r * = r ).
En matemáticas, el concepto de simetría se estudia con la noción de grupo matemático . Todo poliedro tiene asociado un grupo de simetría , que es el conjunto de todas las transformaciones ( isometrías euclidianas ) que dejan invariante al poliedro. El orden del grupo de simetría es el número de simetrías del poliedro. A menudo se distingue entre el grupo de simetría total , que incluye reflexiones , y el grupo de simetría propia , que incluye sólo rotaciones .
Los grupos de simetría de los sólidos platónicos son una clase especial de grupos de puntos tridimensionales conocidos como grupos poliédricos . El alto grado de simetría de los sólidos platónicos se puede interpretar de varias maneras. Lo más importante es que los vértices de cada sólido son todos equivalentes bajo la acción del grupo de simetría, al igual que las aristas y las caras. Se dice que la acción del grupo de simetría es transitiva sobre los vértices, aristas y caras. De hecho, esta es otra forma de definir la regularidad de un poliedro: un poliedro es regular si y sólo si es uniforme en el vértice , uniforme en las aristas y uniforme en las caras .
Sólo hay tres grupos de simetría asociados con los sólidos platónicos en lugar de cinco, ya que el grupo de simetría de cualquier poliedro coincide con el de su dual. Esto se ve fácilmente al examinar la construcción del poliedro dual. Cualquier simetría del original debe ser una simetría del dual y viceversa. Los tres grupos poliédricos son:
Los órdenes de los grupos propios (de rotación) son 12, 24 y 60 respectivamente, exactamente el doble del número de aristas en los respectivos poliedros. Los órdenes de los grupos de simetría completos vuelven a ser el doble (24, 48 y 120). Véase (Coxeter 1973) para una derivación de estos hechos. Todos los sólidos platónicos, excepto el tetraedro, son centralmente simétricos, lo que significa que se conservan bajo reflexión a través del origen .
La siguiente tabla enumera las diversas propiedades de simetría de los sólidos platónicos. Los grupos de simetría enumerados son los grupos completos con los subgrupos de rotación entre paréntesis (lo mismo ocurre con el número de simetrías). La construcción del caleidoscopio de Wythoff es un método para construir poliedros directamente a partir de sus grupos de simetría. Se enumeran como referencia el símbolo de Wythoff para cada uno de los sólidos platónicos.
El tetraedro, el cubo y el octaedro se encuentran de forma natural en estructuras cristalinas . Estos de ninguna manera agotan el número de formas posibles de cristales. Sin embargo, ni el icosaedro regular ni el dodecaedro regular se encuentran entre ellos. Una de las formas, llamada piritoedro (llamado así por el grupo de minerales del que es típico) tiene doce caras pentagonales, dispuestas en el mismo patrón que las caras del dodecaedro regular. Sin embargo, las caras del piritoedro no son regulares, por lo que el piritoedro tampoco es regular. Los alótropos del boro y muchos compuestos de boro , como el carburo de boro , incluyen icosaedros B 12 discretos dentro de sus estructuras cristalinas. Los ácidos carboranos también tienen estructuras moleculares que se aproximan a los icosaedros regulares.
A principios del siglo XX, Ernst Haeckel describió (Haeckel, 1904) varias especies de Radiolaria , algunos de cuyos esqueletos tienen la forma de varios poliedros regulares. Los ejemplos incluyen Circoporus octahedrus , Circogonia icosahedra , Lithocubus geometricus y Circorrhegma dodecahedra . Las formas de estas criaturas deberían ser obvias por sus nombres.
Muchos virus , como el virus del herpes [11] , tienen la forma de un icosaedro regular. Las estructuras virales están formadas por subunidades de proteínas idénticas repetidas y el icosaedro es la forma más fácil de ensamblar utilizando estas subunidades. Se utiliza un poliedro regular porque puede construirse a partir de una única unidad básica de proteína utilizada una y otra vez; esto ahorra espacio en el genoma viral .
En meteorología y climatología , los modelos numéricos globales del flujo atmosférico son de creciente interés y emplean cuadrículas geodésicas basadas en un icosaedro (refinado mediante triangulación ) en lugar de la cuadrícula de longitud / latitud más comúnmente utilizada . Esto tiene la ventaja de una resolución espacial uniformemente distribuida sin singularidades (es decir, los polos) a expensas de una dificultad numérica algo mayor.
La geometría de los marcos espaciales a menudo se basa en sólidos platónicos. En el sistema MERO, los sólidos platónicos se utilizan para nombrar convenciones de varias configuraciones de estructuras espaciales. Por ejemplo,1/2O+T se refiere a una configuración formada por la mitad de un octaedro y un tetraedro.
Se han sintetizado varios hidrocarburos platónicos , entre ellos el cubano y el dodecaedrano y no el tetraedrano .
Los sólidos platónicos se utilizan a menudo para hacer dados , porque los dados con estas formas pueden hacerse justos . Los dados de 6 caras son muy comunes, pero los demás números se utilizan habitualmente en los juegos de rol . Estos dados se denominan comúnmente d n donde n es el número de caras (d8, d20, etc.); consulte la notación de dados para obtener más detalles.
Estas formas aparecen con frecuencia en otros juegos o rompecabezas. Los rompecabezas similares al cubo de Rubik vienen en las cinco formas (ver poliedros mágicos ).
Para la fase material intermedia llamada cristales líquidos , la existencia de tales simetrías fue propuesta por primera vez en 1981 por H. Kleinert y K. Maki. [12] [13] En el aluminio, la estructura icosaédrica fue descubierta tres años después por Dan Shechtman , lo que le valió el Premio Nobel de Química en 2011.
Existen cuatro poliedros regulares que no son convexos, llamados poliedros de Kepler-Poinsot . Todos ellos tienen simetría icosaédrica y pueden obtenerse como estelaciones del dodecaedro y el icosaedro.
Los siguientes poliedros convexos más regulares después de los sólidos platónicos son el cuboctaedro , que es una rectificación del cubo y el octaedro, y el icosidodecaedro , que es una rectificación del dodecaedro y el icosaedro (la rectificación del tetraedro autodual es una octaedro regular). Ambos son cuasi-regulares , lo que significa que son uniformes en vértices y aristas y tienen caras regulares, pero no todas las caras son congruentes (vienen en dos clases diferentes). Forman dos de los trece sólidos de Arquímedes , que son los poliedros uniformes convexos con simetría poliédrica. Sus duales, el dodecaedro rómbico y el triacontaedro rómbico , son transitivos de aristas y caras, pero sus caras no son regulares y sus vértices son de dos tipos cada uno; son dos de los trece sólidos catalanes .
Los poliedros uniformes forman una clase mucho más amplia de poliedros. Estas figuras tienen vértices uniformes y tienen uno o más tipos de polígonos regulares o estrella para las caras. Estos incluyen todos los poliedros mencionados anteriormente junto con un conjunto infinito de prismas , un conjunto infinito de antiprismas y otras 53 formas no convexas.
Los sólidos de Johnson son poliedros convexos que tienen caras regulares pero no uniformes. Entre ellos se encuentran cinco de los ocho deltaedros convexos , que tienen caras idénticas y regulares (todos triángulos equiláteros) pero no son uniformes. (Los otros tres deltaedros convexos son el tetraedro, el octaedro y el icosaedro platónicos).
Las tres teselaciones regulares del plano están estrechamente relacionadas con los sólidos platónicos. De hecho, se pueden considerar los sólidos platónicos como teselados regulares de la esfera . Esto se hace proyectando cada sólido sobre una esfera concéntrica. Las caras se proyectan sobre polígonos esféricos regulares que cubren exactamente la esfera. Los mosaicos esféricos proporcionan dos infinitos conjuntos adicionales de mosaicos regulares, el hosoedro , {2, n } con 2 vértices en los polos y caras lunares , y el didedro dual , { n ,2} con 2 caras hemisféricas y vértices regularmente espaciados en el ecuador. Tales teselaciones se degenerarían en el verdadero espacio 3D como poliedros.
Se puede demostrar que cada teselación regular de la esfera se caracteriza por un par de números enteros { p , q } con1/pag + 1/q > 1/2. Asimismo, una teselación regular del plano se caracteriza por la condición1/pag + 1/q = 1/2. Hay tres posibilidades:
De manera similar, se pueden considerar teselados regulares del plano hiperbólico . Estos se caracterizan por la condición1/pag + 1/q < 1/2. Existe una familia infinita de tales teselados.
En más de tres dimensiones, los poliedros se generalizan a politopos , siendo los politopos regulares convexos de dimensiones superiores los equivalentes de los sólidos platónicos tridimensionales.
A mediados del siglo XIX, el matemático suizo Ludwig Schläfli descubrió los análogos tetradimensionales de los sólidos platónicos, llamados 4 politopos regulares convexos . Hay exactamente seis de estas figuras; cinco son análogos a los sólidos platónicos: 5 celdas como {3,3,3}, 16 celdas como {3,3,4}, 600 celdas como {3,3,5}, teseracto como {4,3 ,3}, y de 120 celdas como {5,3,3}, y un sexto, el autodual de 24 celdas , {3,4,3}.
En todas las dimensiones superiores a cuatro, sólo hay tres politopos regulares convexos: el simplex como {3,3,...,3}, el hipercubo como {4,3,...,3} y el politopo cruzado. como {3,3,...,4}. [14] En tres dimensiones, estos coinciden con el tetraedro como {3,3}, el cubo como {4,3} y el octaedro como {3,4}.
![{\displaystyle {\begin{aligned}R&={\frac {a}{2}}\tan \left({\frac {\pi }{q}}\right)\tan \left({\frac {\ theta }{2}}\right)\\[3pt]r&={\frac {a}{2}}\cot \left({\frac {\pi }{p}}\right)\tan \left( {\frac {\theta }{2}}\right)\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/cd89ad09dadad2c68f092a9317b285619b2b983a)
![{\displaystyle S_{[n]}^{(2m)}={\frac {1}{n}}\sum _{i=1}^{n}d_{i}^{2m}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/96afa0c1c6a4c8a062079f55e03d16851d9a16e2)
![{\displaystyle {\begin{alineado}S_{[4]}^{(2)}=S_{[6]}^{(2)}=S_{[8]}^{(2)}=S_{ [12]}^{(2)}=S_{[20]}^{(2)}&=R^{2}+L^{2},\\[4px]S_{[4]}^{ (4)}=S_{[6]}^{(4)}=S_{[8]}^{(4)}=S_{[12]}^{(4)}=S_{[20]} ^{(4)}&=\left(R^{2}+L^{2}\right)^{2}+{\frac {4}{3}}R^{2}L^{2} ,\\[4px]S_{[6]}^{(6)}=S_{[8]}^{(6)}=S_{[12]}^{(6)}=S_{[20] }^{(6)}&=\izquierda(R^{2}+L^{2}\derecha)^{3}+4R^{2}L^{2}\izquierda(R^{2}+ L^{2}\right),\\[4px]S_{[12]}^{(8)}=S_{[20]}^{(8)}&=\left(R^{2}+ L^{2}\right)^{4}+8R^{2}L^{2}\left(R^{2}+L^{2}\right)^{2}+{\frac {16 }{5}}R^{4}L^{4},\\[4px]S_{[12]}^{(10)}=S_{[20]}^{(10)}&=\izquierda (R^{2}+L^{2}\right)^{5}+{\frac {40}{3}}R^{2}L^{2}\left(R^{2}+L ^{2}\right)^{3}+16R^{4}L^{4}\left(R^{2}+L^{2}\right).\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7d9176ee953f697a0ba986708952e59cd36667bd)
![{\displaystyle S_{[n]}^{(4)}+{\frac {16}{9}}R^{4}=\left(S_{[n]}^{(2)}+{\ frac {2}{3}}R^{2}\right)^{2}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6ef9cf67f66eda33140f041686061cc19d193b73)
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